5、明如下:
(1)用解析式表示函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)明扼要、規(guī)范準(zhǔn)確.已學(xué)過(guò)利用函數(shù)的解析式，求自變量x=a時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，還可利用函數(shù)的解析式，列表、描點(diǎn)、畫(huà)函數(shù)的圖象，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)，又可利用函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分析和發(fā)現(xiàn)自變量與函數(shù)間的依存關(guān)系，猜想或推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)(如對(duì)稱性、增減性等)，探求函數(shù)的應(yīng)用等.不足之處是有些變量與函數(shù)關(guān)系很難或不能用解析式表示，求x與y的對(duì)應(yīng)值需要逐個(gè)計(jì)算,有時(shí)比較繁雜.
(2)列表法的優(yōu)點(diǎn)是能鮮明地顯現(xiàn)出自變量與函數(shù)值之間的數(shù)量關(guān)系，于是一些數(shù)學(xué)用表應(yīng)運(yùn)而生.如用立方表、平方根表分別表示函數(shù).商店職員也制作售價(jià)與數(shù)量關(guān)系的計(jì)價(jià)表，方便收款.列表法的缺點(diǎn)是只
6、能列出部分自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，難以反映函數(shù)變化的全貌.
(3)用圖象表示函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，清晰呈現(xiàn)函數(shù)的增減變化、點(diǎn)的對(duì)稱、最大(或小)值等性質(zhì).圖象法的不足之處是所畫(huà)出的圖象是近似的、局部的，觀察或由圖象確定的函數(shù)值往往不夠準(zhǔn)確.
問(wèn)題探究
問(wèn)題1 你能從現(xiàn)實(shí)生活中舉出用三種方法表示函數(shù)的例子嗎?
探究思路：現(xiàn)實(shí)生活中有許許多多函數(shù)的例子，如：商場(chǎng)中各種商品與其價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系就是用列表法表示的；房地產(chǎn)公司出售的商品房，總價(jià)格與面積之間的函數(shù)關(guān)系就是用解析式來(lái)表示的；工廠每月的產(chǎn)量與月份之間的函數(shù)關(guān)系是用圖表來(lái)表示的.
問(wèn)題2 函數(shù)的表示方法中的解析式法是我們表示函數(shù)最
7、常用的一種方法，你能說(shuō)出求函數(shù)解析式的常用方法嗎？
探究思路：一般用字母x表示函數(shù)的自變量，字母y表示函數(shù)值，列出x與y之間的等量關(guān)系，化簡(jiǎn)成y=f(x)的形式.求函數(shù)的解析式的方法很多，常用的有代入法、換元法、待定系數(shù)法、配湊法、方程或方程組法等.
典題精講
例1 已知函數(shù)f(x)=2x2+1，x∈［0，2］，求f(2x+1).
思路解析 由題意知道了函數(shù)f(x)的表達(dá)式即知道了對(duì)應(yīng)法則“f”，所以求f(2x+1)可用代入法求解.
解答：∵f(x)=2x2+1，
∴f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3.
又由題意知0≤2x+1≤2，∴-≤x≤.
∴f(2
8、x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3，x∈［-，］.
例2 已知函數(shù)f(x+1)=x2-1，x∈［-1，3］，求f(x)的表達(dá)式.
思路解析 函數(shù)是一類特殊的對(duì)應(yīng)，已知函數(shù)f(x+1)=x2-1，即知道了x+1的象是x2-1，求出x的象，即是f(x)的表達(dá)式.求解f(x)的表達(dá)式,本題可用“配湊法”或“換元法”.
解法一：(配湊法)∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1)，∴f(x)=x2-2x.
又x∈［-1，3］時(shí)，(x+1)∈［0，4］，∴f(x)=x2-2x，x∈［0，4］.
解法二：(換元法)令x+1=t，則x=t-1，且由x∈［-1，3］知t∈
9、［0，4］，
∴由f(x+1)=x2-1，得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t，t∈［0，4］.
∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x，x∈［0，4］.
例3 已知二次函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1，1)、B(2，0)及點(diǎn)C(6，0)，求f(x)的表達(dá)式.
思路解析 二次函數(shù)是我們熟悉的一種函數(shù)，其形式有：一般式f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0)；交點(diǎn)式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a∈R且a≠0)，其中x1、x2分別是f(x)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；頂點(diǎn)式f(x)=a(x-m)2+n(a∈R且a≠0)，(m，n)是頂點(diǎn)坐標(biāo).無(wú)論哪種形式都有
10、三個(gè)參數(shù)，所以可用待定系數(shù)法求解f(x)，具體解法如下.
解法一：(一般式)由題意可設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0).
∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1，1)、B(2，0)及點(diǎn)C(6，0)，
∴
∴f(x)= x2-x+.
解法二：(交點(diǎn)式)∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)B(2，0)及點(diǎn)C(6，0)，
∴f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2和6.
∴可設(shè)f(x)=a(x-2)(x-6)，a∈R且a≠0.
∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1，1)，∴1=a(1-2)(1-6).解得a=.
∴f(x)=(x-2)(x-6)，
即f(x)=x2-x+.
解法三：(頂點(diǎn)式)
11、∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)B(2，0)及點(diǎn)C(6，0)，
∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=，即x=4對(duì)稱.
∴可設(shè)f(x)=a(x-4)2+m，其中a、m∈R且a≠0.
又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1，1)、B(2，0)，
∴
∴
∴f(x)=(x-4)2-，即f(x)=x2-x+.
例4 (1)已知函數(shù)f(x)滿足2xf(x)-3f(x)-x2+1=0，求f(x)的表達(dá)式；
(2)已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，且f(x)=2f()+x，求f(x)的表達(dá)式.
思路解析 題(1)可看成是關(guān)于f(x)的方程，通過(guò)解方程可解得f(x)的表達(dá)式；題(2)應(yīng)注意到等式f(x)=2f
12、()+x，一方面此等式反映出f(x)與f()之間的等量關(guān)系，這種等量關(guān)系可看作是關(guān)于f(x)與f()的方程；另一方面此等式是對(duì)(0，+∞)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x均成立，故將此等式中的x換成后，相應(yīng)的等式也應(yīng)該成立，從而可通過(guò)列方程組求解.
解答：(1)∵2xf(x)-3f(x)-x2+1=0，∴(2x-3)f(x)=x2-1.
又∵x=時(shí)，方程左邊=-+1=-≠0，
∴x=時(shí)，f(x)無(wú)意義.當(dāng)x≠時(shí)，f(x)=.
(2)∵x＞0時(shí)，有f(x)=2f()+x， ①
而x＞0時(shí)，＞0，∴f()=2f(
13、x)+. ②
①②聯(lián)立解得f(x)=-為所求.
知識(shí)導(dǎo)學(xué)
1.函數(shù)的表示方法
函數(shù)的表示方法有三種：列表法、解析法、圖象法.其中后兩種方法最為常見(jiàn).這些表示函數(shù)的方法各有優(yōu)缺點(diǎn).
用解析法表示函數(shù)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)明，便于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究，但是多數(shù)的函數(shù)關(guān)系又往往不能用這種方法表示.
用列表法表示函數(shù)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)是容易找到對(duì)應(yīng)于自變量的某一個(gè)值(只要表中有)的函數(shù)值，但缺點(diǎn)是往往不可能把自變量的值都列在表里.
用圖象法表示函數(shù)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)是一方面可以容易地找到自變量某一值
14、所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，另一方面可以明顯地看出自變量變化時(shí)，函數(shù)值的變化情況，但用圖象法表示函數(shù)關(guān)系只能是局部的、近似的圖形.
2.求函數(shù)的解析式
根據(jù)函數(shù)所具有的某些性質(zhì)或它所滿足的一些關(guān)系，求出它的解析式，一是要求出對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.
求函數(shù)的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系數(shù)法、換元法、配方法、方程或方程組法等.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題求函數(shù)表達(dá)式，是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)，但要注意函數(shù)定義域還應(yīng)由實(shí)際意義來(lái)確定.
疑難導(dǎo)析
由于函數(shù)關(guān)系的三種表示方法各具特色，優(yōu)點(diǎn)突出，但大都存在著缺點(diǎn)，不盡人意，所以在應(yīng)用中本著物盡其用、揚(yáng)長(zhǎng)避短、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)
15、的精神，通常表示函數(shù)關(guān)系是把這三種方法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，先確定函數(shù)的解析式，即用解析法表示函數(shù)；再根據(jù)函數(shù)解析式，計(jì)算自變量與函數(shù)的各組對(duì)應(yīng)值，列表；最后是畫(huà)出函數(shù)的圖象.
問(wèn)題導(dǎo)思
問(wèn)題1:這樣的例子還可以舉出很多很多.是不是你也能舉出身邊的一個(gè)例子？
問(wèn)題2::求函數(shù)的解析式一般要指出函數(shù)的定義域.
典題導(dǎo)考
綠色通道 當(dāng)我們已知函數(shù)f(x)的表達(dá)式，要求f［g(x)］的表達(dá)式時(shí)，一般用“代入法”，即將f(x)中的x用g(x)取代，化簡(jiǎn)，而由于f［g(x)］中的g(x)相當(dāng)于f(x)中的x的一個(gè)取值，所以f［g(x)］的定義域應(yīng)由g(x)滿足f(x)的定義域來(lái)確定.
16、求解f［g(x)］的定義域就是解關(guān)于g(x)的不等式.
典題變式
已知f()=，那么f(x)的函數(shù)解析式為( )
A. B. C. D.1+x
答案:C
綠色通道 已知函數(shù)f［g(x)］的表達(dá)式，求f(x)的表達(dá)式，解決此類問(wèn)題一般有兩種思想方法，一種是用配湊的方法，一種是用換元的方法.
“配湊法”即把已知的f［g(x)］配湊成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，而后將g(x)全用x取代，化簡(jiǎn)得要求的f(x)的表達(dá)式；
“換元法”即令已知的f［g(x)］中的g(x)=t，由此
17、解出x，即用t的表達(dá)式表示出x，后代入f［g(x)］，化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)式.
需要注意的是，無(wú)論是用“配湊法”還是用“換元法”，在求出f(x)的表達(dá)式后，都需要指出其定義域，而f(x)的定義域即x的取值范圍應(yīng)和已知條件f［g(x)］中g(shù)(x)的范圍一致，所以說(shuō)求f(x)的定義域就是求函數(shù)g(x)的值域.
綠色通道 已知函數(shù)類型求解函數(shù)表達(dá)式時(shí)，一般用待定系數(shù)法.如求一次函數(shù)可設(shè)f(x)=kx+b，k、b為待定系數(shù)；求反比例函數(shù)可設(shè)f(x)=，k為待定系數(shù)；指數(shù)函數(shù)可設(shè)成f(x)=ax(a＞0且a≠1)，對(duì)數(shù)函數(shù)可設(shè)成f(x)=logax(a＞0且a≠1)等.
本題是求二次函數(shù)，
18、由于二次函數(shù)有三種形式，設(shè)成一般式還是交點(diǎn)式、頂點(diǎn)式要根據(jù)題設(shè)中的條件來(lái)確定.一般情況下，知道二次函數(shù)圖象過(guò)三點(diǎn)時(shí)，可選用一般式；知道圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)可選用交點(diǎn)式；如知道二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程時(shí)可選用頂點(diǎn)式.無(wú)論選用哪種形式，都需要列方程或方程組求解待定系數(shù).
典題變式
已知函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示.
則f(x)的解析式是_________________.
答案:f(x)=
綠色通道 方程及方程思想是初等數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，利用解方程或方程思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是我們常用的方法.
典題變式
設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f()=x(x≠0
19、)，求f(x).
答案:∵f(x)+2f()=x, ①
以代換x得f()+2f(x)=, ②
解①②組成的方程組得f(x)=.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.2 函數(shù)的表示方法名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1
