《高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式單元整合素材 新人教A版選修45》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式單元整合素材 新人教A版選修45(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
單元整合
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
專(zhuān)題探究
專(zhuān)題一 正確使用數(shù)學(xué)歸納法
同學(xué)們?cè)趧傞_(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí),常常會(huì)遇到兩個(gè)困難,一是數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)不容易理解,二是歸納步驟的證明有時(shí)感到難以入手.本專(zhuān)題將對(duì)兩種常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行討論、整理,以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理,弄清它的實(shí)質(zhì),從而明確如何正確地使用數(shù)學(xué)歸納法.
(1)缺少數(shù)學(xué)歸納法的第二步.
有人覺(jué)得如果一個(gè)命題對(duì)于開(kāi)頭的一些自然數(shù)都成立,那么由P(k)成立導(dǎo)出P(k+1)成立是必然的,因此第二步歸納步驟是流于形式,證與不證似乎一樣,顯然這是不正確的.產(chǎn)生這種錯(cuò)誤想法的原因在于沒(méi)有認(rèn)識(shí)到歸納步驟
2、所起的遞推作用,如果沒(méi)有遞推性,那么一個(gè)命題可能對(duì)于開(kāi)頭的許多自然數(shù)都成立,但是一般的并不成立,我們舉幾個(gè)例子來(lái)看看.
十七世紀(jì)法國(guó)卓越的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪考查了形如的數(shù),n=0,1,2,3,4時(shí),它的值分別為3,5,17,257,65 537.這5個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù).因此費(fèi)爾瑪就猜想:對(duì)于任意的自然數(shù)n,式子22n+1的值都是質(zhì)數(shù).但是在十八世紀(jì)另一位卓越的數(shù)學(xué)家歐拉指出n=5時(shí),
=4 294 967 297=6416 700 417.
是個(gè)合數(shù),費(fèi)爾瑪?shù)牟孪脲e(cuò)了.
這就充分說(shuō)明我們不能把不完全歸納法當(dāng)成證明,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)第二步不可缺少.
(2)缺少數(shù)學(xué)歸納法的第一步.
也有人覺(jué)得既
3、然第二步歸納步驟中有遞推作用,而且k又可以任意取值,這樣就夠了,有沒(méi)有第一步P(1)無(wú)關(guān)緊要.這種認(rèn)識(shí)也是錯(cuò)誤的,它忽視了第一步的奠基作用,因?yàn)槿绻麤](méi)有P(1)成立,歸納假設(shè)P(k)成立就沒(méi)有了依據(jù),因此遞推性也就成了無(wú)源之水,無(wú)本之木,下面我們看一個(gè)這樣的例子.
【例】如果不要奠基步驟,我們就可以證明(n+1)2+(n+2)2一定是偶數(shù)(n∈N+).
剖析:假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即(k+1)2+(k+2)2是偶數(shù).當(dāng)n=k+1時(shí),
[(k+1)+1]2+[(k+1)+2]2=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1)+4=(k+1)2+(k+2)2+4(k+2).
由假設(shè)(k+1)2+
4、(k+2)2是偶數(shù),又4(k+2)也是偶數(shù),所以上式是偶數(shù),這就是說(shuō)n=k+1時(shí)命題也成立.
由此,對(duì)于任意的正整數(shù)n,(n+1)2+(n+2)2一定是偶數(shù).
這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,原因就在于證明中缺少第一步奠基步驟,實(shí)際上,n=1時(shí),(1+1)2+(1+2)2=4+9=13不是偶數(shù),這說(shuō)明使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)缺第一步不可.
用數(shù)學(xué)歸納法證明,對(duì)于n∈N+,+++…+=.
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊==,右邊=,
所以等式成立.
(2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立,即
+++…+=,
當(dāng)n=k+1時(shí),
+++…++
=+=.
由(1)(2)可知,對(duì)于任意的n∈N+,所證等式都成立.
5、
專(zhuān)題二 數(shù)學(xué)歸納法證題的幾種技巧
在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),一般說(shuō)來(lái),第一步驗(yàn)證比較簡(jiǎn)明,而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜.因此,熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的,其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問(wèn)題,歸納假設(shè)“P(k)”是問(wèn)題的條件,而命題P(k+1)成立就是所要證明的結(jié)論,因此,合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵,下面簡(jiǎn)要分析一些常用技巧.
1.分析綜合法
用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)證明關(guān)于正整數(shù)n的不等式,從“P(k)”到“P(k+1)”,常??捎梅治鼍C合法.
求證:對(duì)任意正整數(shù)n,有13+23+33+…+n3=(1+2+…+n)2成立.
提示:這是一個(gè)等式證明問(wèn)題,它涉及
6、全體正整數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式,關(guān)鍵是第二步要用上假設(shè),證明n=k+1時(shí),原等式成立.
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,左邊=右邊,所以原等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),等式成立,即13+23+…+k3=(1+2+…+k)2.
當(dāng)n=k+1時(shí),13+23+…+k3+(k+1)3
=(1+2+…+k)2+(k+1)3
=2+(k+1)3=2[k2+4(k+1)]
=2=[1+2+…+k+(k+1)]2,
即當(dāng)n=k+1時(shí),原等式也成立.
綜合(1)(2)可知,對(duì)任何n∈N+,原等式都成立.
設(shè)a,b為正數(shù),n∈N+,求證:
7、≥n.
提示:這是一個(gè)不等式證明問(wèn)題,它涉及全體正整數(shù)n,用數(shù)學(xué)歸納法證明.
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),≥,顯然成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),不等式成立,
即≥k.則n=k+1時(shí),要證明不等式成立,即證明≥k+1.
在≥k的兩邊同時(shí)乘以,得
≥k+1.
要證明≥k+1,只需證明
≥.
因?yàn)椤?
2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk)
2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)≥0
ak+1-abk-bak+bk+1≥0
(a-b)(ak-bk)≥0.
又a-b與(ak-bk)同正負(fù)(或同時(shí)為0),所以最后一個(gè)不等式顯
8、然成立,這就證明了當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
綜合(1)(2)可知,對(duì)任何n∈N+,不等式≥n成立.
2.放縮法
涉及關(guān)于正整數(shù)n的不等式,從“k”過(guò)渡到“k+1”,有時(shí)也考慮用放縮法.
求證:1+++…+>(n∈N+).
提示:利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式關(guān)鍵是利用放縮、湊假設(shè)、湊結(jié)論.但要注意從n=k變化到n=k+1時(shí)增加了多少項(xiàng),減少了多少項(xiàng),一般用f(k+1)-f(k)研究增加或減少的項(xiàng)的多少.
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=,左邊>右邊,
∴不等式成立.
(2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),不等式成立,
即1+++…+>.
當(dāng)n=k+1時(shí),1+++…+
9、>+2k-1=.
∴n=k+1時(shí),不等式成立.
由(1)(2)可知:1+++…+>(n∈N+).
3.遞推法
用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題時(shí),有時(shí)要利用an與an+1的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)從“k”到“k+1”的過(guò)渡.
設(shè)0<a<1,定義a1=1+a,an+1=+a,求證:對(duì)一切正整數(shù)n,有1<an<.
提示:數(shù)列類(lèi)問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),一般先用遞推公式,后用歸納假設(shè).
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1>1,a1=1+a<,顯然命題成立.
(2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),命題成立,即1<ak<.
當(dāng)n=k+1時(shí),由遞推公式,知
ak+1=+a>(1-a)+a=1.
同時(shí),a
10、k+1=+a<1+a=<,
故當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立,即1<ak+1<.
綜合(1)(2)可知,對(duì)一切正整數(shù)n,有1<an<.
4.拼湊法
用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)的命題(尤其是整除)時(shí),從“k”過(guò)渡到“k+1”常用拼湊法.
對(duì)于任意正整數(shù)n,求證:an-bn能被a-b整除(對(duì)于多項(xiàng)式A,B,如果存在多項(xiàng)式C,使得A=BC,那么稱(chēng)A能被B整除).
提示:用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵在于弄清n由k到k+1時(shí),問(wèn)題的變化情況,創(chuàng)造條件一定要用上歸納假設(shè).
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),an-bn=a-b能被a-b整除.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),ak-bk能被a-b
11、整除,那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1-bk+1=ak+1-akb+akb-bk+1=ak(a-b)+b(ak-bk).因?yàn)?a-b)和ak-bk都能被a-b整除,所以上面的和ak(a-b)+b(ak-bk)也能被a-b整除.這也就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1-bk+1能被a-b整除.
根據(jù)(1)(2),由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)一切正整數(shù)n,an-bn都能被a-b整除.
5.幾何法
“幾何類(lèi)”命題的證題關(guān)鍵是先要從證n=k+1時(shí)命題成立的結(jié)論中,分解出n=k時(shí)命題成立的部分,然后去證余下的部分.
在同一平面內(nèi)有n條直線(xiàn),每?jī)蓷l不平行,任意三條不共點(diǎn),求證:它們將此平面分成個(gè)部分(n∈N+).
提
12、示:利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題,關(guān)鍵是找出由n=k到n=k+1時(shí)所增加的項(xiàng).
證明:設(shè)f(n)=.
(1)當(dāng)n=1時(shí),一條直線(xiàn)將平面分成兩部分,f(1)=2,故命題成立.
(2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),k條直線(xiàn)將平面分成個(gè)部分.
當(dāng)n=k+1時(shí),第(k+1)條直線(xiàn)與前k條直線(xiàn)交于k個(gè)點(diǎn),使平面增加(k+1)個(gè)部分,即將平面分成+k+1=個(gè)部分,所以n=k+1時(shí)命題成立.
由(1)(2)得原命題成立.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375