《高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修11》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修11(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第二章 圓錐曲線與方程
時間120分鐘,滿分150分。
一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.雙曲線x2-5y2=5的焦距為( B )
A. B.2
C.2 D.4
[解析] 雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1,∴a2=5,b2=1,c2=a2+b2=6,∴c=.∴焦距為2c=2.
2.頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過點(diǎn)(-4,4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( C )
A.y2=-4x B.x2=4y
C.y2=-4x或x2=4y D.y2=4x或x2=-4y
[解析] ∵拋物線過點(diǎn)(-4,4),
∴設(shè)其方程
2、為:y2=-2px或x2=2py(p>0),將(-4,4)代入可得p=2,∴拋物線方程為y2=-4x或x2=4y.
3.若橢圓+=1(m>0)的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則m的值為( D )
A.5 B.3
C.2 D.2
[解析] 由題意得9-m2=1,∴m2=8,又m>0,∴m=2.
4.30,
∴方程+=1表示雙曲線.
若方程+=1表示雙曲線,則
(m-5)(m2-m-6)
3、<0,
∴m<-2或30,m>b>0)的離心率互為倒數(shù),那么以a、b、m為邊長的三角形一定是( B )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C
4、.鈍角三角形 D.等腰三角形
[解析] 雙曲線的離心率e1=,橢圓的離心率e2=,由=1得a2+b2=m2,故為直角三角形.
8.(2015全國卷Ⅰ文)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn),則|AB|=( B )
A.3 B.6
C.9 D.12
[解析] 如圖:
∵拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),
∴橢圓E的右焦點(diǎn)為(2,0),∴c=2,
∵=,∴a=4,
∴b2=a2-c2=12.
∵拋物線的準(zhǔn)線為x=-2,
∴|AB|===6.
9.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P
5、1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在拋物線上,且2x2=x1+x3,則有( C )
A.|FP1|+|FP2|=|FP3|
B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|
D.|FP2|2=|FP1||FP3|
[解析] ∵2x2=x1+x3,
∴2(x2+)=(x1+)+(x2+),
∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|,故選C.
10.(2016山東濟(jì)寧高二檢測)已知F1、F2是橢圓+=1的兩焦點(diǎn),過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為( A )
A.6 B.5
6、
C.4 D.3
[解析] 由橢圓方程可知,a2=16,∴a=4.
在△ AF1B中,由橢圓定義可知周長為4a=16,若有兩邊之和是10,∴第三邊的長度為6.
11.已知動圓P過定點(diǎn)A(-3,0),并且與定圓B:(x-3)2+y2=64內(nèi)切,則動圓的圓心P的軌跡是( D )
A.線段 B.直線
C.圓 D.橢圓
[解析] 如下圖,設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于M,則動圓的圓心P到兩點(diǎn),即定點(diǎn)A(-3,0)和定圓的圓心B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8.∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,故選D.
12.若直線mx+ny=4
7、與圓O:x2+y2=4沒有交點(diǎn),則過點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點(diǎn)個數(shù)為( B )
A.至多一個 B.2
C.1 D.0
[解析] ∵直線與圓無交點(diǎn),∴>2,
∴m2+n2<4,∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部,
又⊙O在橢圓內(nèi)部,∴點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部,
∴過點(diǎn)P的直線與橢圓有兩個交點(diǎn).
二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,將正確答案填在題中橫線上)
13.(2016廣東河源市高二檢測)拋物線x2=4y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為__2__.
[解析] 如圖所示,F(xiàn)為拋物線x2=4y的焦點(diǎn),直線y=-1為其準(zhǔn)線,過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A且交x軸于點(diǎn)B
8、.
∵|PF|=3,∴|PA|=3,∴|PB|=2.
14.已知長方形ABCD,AB=4,BC=3,則以A、B為焦點(diǎn),且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 .
[解析] ∵AB=2c=4,∴c=2.
又AC+CB=5+3=8=2a,∴a=4.
∴橢圓離心率為=.
15.(2017山東文,15)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為 y=x .
[解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由
得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
∴
9、y1+y2=.
又∵|AF|+|BF|=4|OF|,
∴y1++y2+=4,
即y1+y2=p,
∴=p,
即=,
∴=,
∴雙曲線的漸近線方程為y=x.
16.(2016山東青島高二檢測)設(shè)拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,直線l過F與C交于A、B兩點(diǎn),若|AF|=3|BF|,則l的方程為 y=(x-) .
[解析] 由題意得,拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F(,0).設(shè)l:y=k(x-),A(x1,y2)、B(x2,y2),則由|AF|=3|BF|得x1+=3(x2+),即x1=3x2+1;聯(lián)立,
得k2x2-(k2+2)x+k2=0,則x1x2=x2(3x2+1)=,解得x2=
10、,又x1+x2=4x2+1=1+,即k2=3,k=,即直線l的方程為y=(x-).
三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分10分)求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)與雙曲線-=1有公共焦點(diǎn),且過點(diǎn)(3,2)的雙曲線;
(2)以橢圓3x2+13y2=39的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),以直線y=為漸近線的雙曲線.
[解析] (1)∵雙曲線-=1的焦點(diǎn)為(2,0),
∴設(shè)所求雙曲線方程為:-=1(20-a2>0)
又點(diǎn)(3,2)在雙曲線上,
∴-=1,解得a2=12或30(舍去),
∴所求雙曲線方程為-=1.
(2)橢圓3x2+13y2=
11、39可化為+=1,
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),
∴所求雙曲線的焦點(diǎn)為(,0),
設(shè)雙曲線方程為:-=1(a>0,b>0)
∵雙曲線的漸近線為y=x,
∴=,∴===,∴a2=8,b2=2,
即所求的雙曲線方程為:-=1.
18.(本題滿分12分)根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-2);
(2)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5.
[解析] (1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,且-=-2,所以p=4,所以,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-8y.
(2)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5,知p=5,又焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,所以,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
12、是y2=-10x.
19.(本題滿分12分)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1
13、=4,
從而A(1,-2)、B(4,4).
設(shè)=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),
又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
20.(本題滿分12分)已知橢圓+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(,1),離心率e=,直線l與橢圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),向量m=(ax1,by1)、n=(ax2,by2),且m⊥n.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線l過橢圓的焦點(diǎn)F(0,c)(c為半焦距)時,求直線l的斜率k.
[解析] (1)由條件知,解之得.
∴橢圓的方程為+x2=
14、1.
(2)依題意,設(shè)l的方程為y=kx+,
由,消去y得(k2+4)x2+2kx-1=0,
顯然Δ>0,
x1+x2=,x1x2=,由已知mn=0得,
a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+)(kx2+)=(4+k2)x1x2+k(x1+x2)+3=(k2+4)(-)+k+3=0,解得k=.
21.(本題滿分12分)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,過點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)直線y=kx+m(km≠0)與該雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)C、D,且C、D兩點(diǎn)都在以點(diǎn)A為圓心的同一圓上,求m的取值范
15、圍.
[解析] (1)依題意,
解得a2=3,b2=1.
所以雙曲線C的方程為-y2=1.
(2)由,消去y得,
(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,
由已知:1-3k2≠0且Δ=12(m2+1-3k2)>0?m2+1>3k2①
設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2),CD的中點(diǎn)P(x0,y0),
則x0==,
y0=kx0+m=,因?yàn)锳P⊥CD,
所以kAP===-,
整理得3k2=4m+1②
聯(lián)立①②得m2-4m>0,
所以m<0或m>4,又3k2=4m+1>0,
所以m>-,因此-4.
22.(本題滿分12分)(2017山東文,21)在
16、平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對稱點(diǎn),⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點(diǎn),DE,DF與⊙N分別相切于點(diǎn)E,F(xiàn),求∠EDF的最小值.
[解析] (1)由橢圓的離心率為,
得a2=2(a2-b2),
又當(dāng)y=1時,x2=a2-,
得a2-=2,
所以a2=4,b2=2.
因此橢圓方程為+=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立方程,得
得(2k2+1)x2+4k
17、mx+2m2-4=0.
由Δ>0得m2<4k2+2,(*)
且x1+x2=-,
因此y1+y2=,
所以D(-,).
又N(0,-m),
所以|ND|2=(-)2+(+m)2,
整理得|ND|2=.
因?yàn)閨NF|=|m|,
所以==1+.
令t=8k2+3,t≥3,
故2k2+1=.
所以=1+=1+.
令y=t+,
由函數(shù)單調(diào)性可知y=t+在[3,+∞)上單調(diào)遞增,
因此t+≥,
等號當(dāng)且僅當(dāng)t=3時成立,此時k=0,
所以≤1+3=4.
由(*)得-