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高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì) 2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性2學(xué)案 蘇教版必修1

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1、 第2課時 函數(shù)的最值 1.理解函數(shù)最值的定義,知道最值是函數(shù)定義域上的一個整體性質(zhì). 2.會求一些簡單函數(shù)的最值. 3.了解函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系. 1.最大值 一般地,設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳. 若存在定值x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0)恒成立,則稱f(x0)為y=f(x)的最大值,記為ymax=f(x0). 【做一做1】函數(shù)y=-x2+5的最大值為________. 答案:5 2.最小值 一般地,設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳. 若存在定值x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0)恒成立,則稱f(x0)為y=f(x)

2、的最小值,記為ymin=f(x0). 【做一做2】函數(shù)y=3x+1,x∈[1,4]的最小值為________. 答案:4 3.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值. (1)函數(shù)的值域是指函數(shù)值的集合.函數(shù)最大(小)值一定是值域中的元素.如果值域是一個閉區(qū)間,那么函數(shù)的最大(小)值就是閉區(qū)間右(左)端點(diǎn)的值.(2)函數(shù)的值域和最值既有區(qū)別又有聯(lián)系.一般來講,對于圖象是連續(xù)不斷的函數(shù),知道函數(shù)在定義域上的最大值和最小值,可知函數(shù)的值域,而知道了函數(shù)的值域,不一定能確定最值. 【做一做3-1】函數(shù)y=-3x+1,x∈[-2,3]時的值域是__________. 解析:當(dāng)x∈[-2,3

3、]時,ymax=-3×(-2)+1=7,ymin=-3×3+1=-8. 答案:[-8,7] 【做一做3-2】函數(shù)y=-x2-4x+1,x∈[-3,3]的值域是__________. 解析:y=-(x+2)2+5,當(dāng)x=-2時,y有最大值5;當(dāng)x=3時,y有最小值-20. 答案:[-20,5] 求函數(shù)最值的三種方法 剖析:(1)作出函數(shù)的圖象,從圖象直接觀察可得最值; (2)求出函數(shù)的值域,其邊界值即為最值,此時要注意邊界值能否取到(即是否存在)的問題; (3)由函數(shù)的單調(diào)性求最值. ①最大值:已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[a,b],a<c<b,當(dāng)x∈

4、[a,c]時,f(x)是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)x∈[c,b]時,f(x)是單調(diào)減函數(shù),則f(x)在x=c時取得最大值. ②最小值:已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[a,b],a<c<b,當(dāng)x∈[a,c]時,f(x)是單調(diào)減函數(shù);當(dāng)x∈[c,b]時,f(x)是單調(diào)增函數(shù),則f(x)在x=c時取得最小值. 題型一 函數(shù)的最值 【例1】已知一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)x∈[-1,3]時,ymax=5,ymin=-3.試求函數(shù)解析式. 解:若k>0, 則由條件得 解得y=2x-1. 若k<0, 則由條件得 解得y=-2x+3. 反思:因一次函數(shù)y=kx+b的單調(diào)性由k來確定,所以當(dāng)x∈[m

5、,n]時,y的最值應(yīng)根據(jù)k來確定,若k>0,則y∈[km+b,kn+b];若k<0,則y∈[kn+b,km+b]. 【例2】已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函數(shù)f(x)的最小值. 解:函數(shù)f(x)的對稱軸為x=a,且開口向上,如圖, 當(dāng)a>1時,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,故f(x)min=f(1)=3-2a; 當(dāng)-1≤a≤1時,f(x)在[-1,1]上先減后增,故f(x)min=f(a)=2-a2; 當(dāng)a<-1時,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,故f(x)min=f(-1)=3+2a. 綜上,可知f(x)的最小值為f(x)min= 反思:求二

6、次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法:一看開口方向;二看對稱軸與區(qū)間的相對位置,簡稱“兩看法”.只需作出二次函數(shù)相關(guān)部分的簡圖,利用數(shù)形結(jié)合法就可以得到問題的解. 運(yùn)用這個方法,同樣可以解決對稱軸確定而區(qū)間變化的問題,甚至開口方向、對稱軸、區(qū)間同時都在變化的問題. 題型二 含參不等式恒成立問題 【例3】已知函數(shù)f(x)=,x∈[1,+∞), (1)當(dāng)a=時,求函數(shù)f(x)的最小值; (2)若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 分析:問題(1)中,由a=可確定函數(shù)解析式,由函數(shù)的單調(diào)性可確定最值;問題(2)為恒成立問題,常結(jié)合函數(shù)性質(zhì),合理構(gòu)建. 解:(1

7、)當(dāng)a=時,f(x)=x++2, 設(shè)x1,x2是[1,+∞)上的任意兩個值,且x1<x2,f(x2)-f(x1)=(x2-x1), 2x1x2>2,0<<,所以1->0. 又x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)>0, 則f(x1)<f(x2).所以f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=. (2)方法一:在區(qū)間[1,+∞)上, f(x)=>0恒成立, 即x2+2x+a>0恒成立. 設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞). 則y=(x+1)2+a-1在區(qū)間[1,+∞)上遞增, 所以當(dāng)x=1時,ymin=3+a. 于是當(dāng)且

8、僅當(dāng)ymin=3+a>0時, 函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3. 方法二:f(x)=x++2,x∈[1,+∞), 當(dāng)a≥0時,函數(shù)f(x)的值恒為正, 當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)遞增, 故當(dāng)x=1時,f(x)min=3+a,于是當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3. 反思:求函數(shù)的最值,先求函數(shù)的定義域.函數(shù)的最值及值域經(jīng)常與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系在一起,所以有時先求函數(shù)單調(diào)性再根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值. 不等式f(x)≥a恒成立的條件是f(x)min≥a,f(x)≤a恒成立的條件是f(x)max≤a. 題型三 最值的應(yīng)用 【例4】某工廠擬建造一座

9、平面圖如圖所示為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池,由于地形限制,長、寬都不能超過16米.如果池外周壁建造單價為每米400元,中間兩條隔墻建造單價為每米248元,池底建造單價為每平方米80元(池壁的厚度忽略不計,且無池蓋).求污水處理池的長和寬各為多少米時,總造價最低?并求出最低總造價. 解:設(shè)污水處理池的長為x米,0<x≤16, 則寬為米,0<≤16. 根據(jù)題意,總造價為y=400×2×+248×2×+80×200=800×+16 000. 由得定義域?yàn)椋?2.5,16]. ∵函數(shù)y=800×+16 0

10、00在[12.5,16]上是單調(diào)減函數(shù),∴當(dāng)x=16時,y取最小值為45 000. 故當(dāng)污水處理池的長為16米,寬為12.5米時,總造價最低,最低總造價為45 000元. 反思:在利用函數(shù)的單調(diào)性處理有關(guān)實(shí)際問題的最值時,一定要注意函數(shù)的定義域要使實(shí)際問題有意義. 1函數(shù)f(x)=3x+a,x∈[-1,2]的最大值與最小值的差為__________. 解析:由題意知f(x)為增函數(shù),最大值與最小值的差為f(2)-f(-1)=3×2+a-3×(-1)-a=9. 答案:9 2函數(shù)f(x)=的值域是__________. 解析:因?yàn)?-x(1-x)=x2-x+1

11、=+≥,從而f(x)max=. 又f(x)>0,所以f(x)的值域是. 答案: 3以墻為一邊,用籬笆圍成長方形的場地,并用平行于一邊的籬笆隔開(如圖),已知籬笆總長為定值L,寫出場地面積y為一邊長x的函數(shù), 并求出函數(shù)的定義域及面積的最大值. 解:根據(jù)題意,可得y=(L-3x)x, 由題意知解得0<x<. ∴函數(shù)y=(L-3x)x的定義域?yàn)椋? ∵y=(L-3x)x=-3x2+Lx =-3+. ∴當(dāng)x=時,ymax=. 4若不等式|x-2|+|x+3|≥a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:由f(x)=|x-2|+|x+3| = 得其圖象如圖所示, 所以f(x)

12、min=5,從而a∈(-∞,5]. 5已知f(x)=x2-4x+3,求函數(shù)在區(qū)間[t,t+2]上的最值. 解:f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,作出如圖所示的圖象, 圖象的對稱軸為x=2. ①當(dāng)t+2<2,即t<0時,f(x)在區(qū)間[t,t+2]上單調(diào)遞減, 所以f(x)max=f(t)=t2-4t+3, f(x)min=f(t+2)=t2-1; ②當(dāng)2≤t+2<3,即0≤t<1時, f(x)max=f(t)=t2-4t+3,f(x)min=f(2)=-1. ③當(dāng)3≤t+2<4,即1≤t<2時, 同上可知f(x)min=f(2)=-1, f(x)max=f(t+2)=t2-1. ④當(dāng)t+2≥4,即t≥2時,f(x)在區(qū)間[t,t+2]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(t)=t2-4t+3, f(x)max=f(t+2)=t2-1. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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