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1、1988年試題 (理工農(nóng)醫(yī)類) 一、本題每一個(gè)小題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的,把你認(rèn)為正確的結(jié)論的代號(hào)寫在題后的括號(hào)內(nèi). (A)1 (B)-1 (C)I (D)-i 【 】 (2)設(shè)圓M的方程為(x-3)2+(y-2)2=2,直線L的方程為x+y-3=0,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),那么 (A)點(diǎn)P在直線L上,但不在圓M上 (B)點(diǎn)P在圓M上,但不在直線L上 (C)點(diǎn)P既在圓M上,又在直線L上 (D)點(diǎn)P既不在圓M上,也不在直線L上 【 】 (3)集合{1,2,3}的子集總共有 (A)7個(gè) (B)8個(gè) (C)6個(gè)

2、(D)5個(gè) 【 】 (A)10 (B)5 【 】 (5)在的展開式中,x6的系數(shù)是 【 】 (6)函數(shù)y=cos4x-sin4x的最小正周期是 (A)π (B)2π 【 】 (7)方程的解集是 【 】 (A)圓 (B)雙曲線右支 (C)拋物線 (D)橢圓 【 】 (9)如圖(198801),正四棱臺(tái)中,A＇D＇所在的直線與BB＇所在的直線是 (A)相交直線 (B)平行直線 (C)不互相垂直的異面直線 (D)互相垂直的異面直線 【 】 【 】

3、(11)設(shè)命題甲:△ABC的一個(gè)內(nèi)角為60. 命題乙:△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列.那么 (A)甲是乙的充分條件,但不是必要條件 (B)甲是乙的必要條件,但不是充分條件 (C)甲是乙的充要條件 (D)甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件 【 】 (12)復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z滿足│z+1│=│z-i│,則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合構(gòu)成的圖形是 (A)圓 (B)直線 (C)橢圓 (D)雙曲線 【 】 (13)如果曲線x2-y2-2x-2y-1=0經(jīng)過(guò)平移坐標(biāo)軸后的新方程為那么新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 (A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(

4、-1,1) (D)(1,-1) 【 】 (14)假設(shè)在200件產(chǎn)品中有3件是次品,現(xiàn)在從中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有 【 】 (15)如圖(198802),二面角αˉABˉβ的平面角是銳角,C是面α內(nèi)的一點(diǎn)(它不在棱AB 上),點(diǎn)D是點(diǎn)C在面β上的射影,點(diǎn)E是棱AB上滿足∠CEB為銳角的任意一點(diǎn),那么 (A)∠CEB>∠DEB (B)∠CEB=∠DEB (C)∠CEB<∠DEB (D)∠CEB與∠DEB的大小關(guān)系不能確定 【 】 二、只要求直接寫出結(jié)果. (198803) (5)已知等比數(shù)列{an}的公比q

5、>1,并且a1=b(b≠0),求 四、如圖(198804),正三棱錐S-ABC的側(cè)面是邊長(zhǎng)為a的正三角形,D是SA的中點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),求△SDE繞直線SE旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積. 六、給定實(shí)數(shù)a,a≠0,且a≠1設(shè)函數(shù) 證明(1)經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸; (2)這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形. (198805) 1988年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)答案 一、本題考查基本概念和基本運(yùn)算. (1)B (2)C (3)B (4)A (

6、5)D (6)A (7)C (8)D (9)C (10)D (11)C (12)B (13)D (14)B (15)A 二、本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算,只需要寫出結(jié)果. 三、本題主要考查三角公式和進(jìn)行三角式的恒等變形的能力. 解法一: 解法二: 解法三: 解法四: 四、本題主要考查空間想象能力、體積計(jì)算等知識(shí)和推理能力. 解法一(198806):連接AE,因?yàn)椤鱏BC和△ABC都是邊長(zhǎng)為a的正三角形,并且SE和AE分別是它們的中線,所以SE=AE,從而△SEA為等腰三角形,由于D是SA的

7、中點(diǎn),所以ED⊥SA. 作DF⊥SE,交SE于點(diǎn)F.考慮直角△SDE的面積,得到 所求的旋轉(zhuǎn)體的體積是以DF為底面半徑,分別以SF和EF為高的兩個(gè)圓錐的體積的和,即 解法二:(198807)連結(jié)BD.因?yàn)锽D是正三角形SBA的中線,所以BD⊥SA.連結(jié)CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE. 作DF⊥SE,交SE于點(diǎn)F.在直角△SDE中, SD2=SFSE, 所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為 五、本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),以及運(yùn)用重要不等式解決問(wèn)題的能力. 解法一: 情形1∶0<

8、a<1. 情形2∶a>1. 解法二:當(dāng)t>0時(shí),由重要不等式可得 當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取“=”號(hào). 當(dāng)01時(shí),y=logax是增函數(shù), 解法三:因?yàn)閠>0,又有 當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取“=”號(hào), 當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取“=”號(hào). 以下同解法二. 六、本題主要考查考生在正確理解數(shù)學(xué)概念(函數(shù)的圖象的概念,軸對(duì)稱圖形的概念等)的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理的能力,以及靈活運(yùn)用學(xué)過(guò)的代數(shù)和解析幾何的知識(shí)(互為反函數(shù)的圖象之間的關(guān)系,兩條直線平行的條件等)解決問(wèn)題的能力. 證法一: (1)設(shè)M1(x1,y1)

9、,M2(x2,y2)是這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn), ∵ a≠1,且x1≠x2, ∴ y2-y1≠0. 因此,M1M2不平行于x軸. 即,由此得a=1,與已知矛盾, 于是由②式得 證法二: (1)設(shè)M1(x1,y1),M2(x2,y2)是這個(gè)函數(shù)的圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn),則x1≠x2.假如直線M1M2平行于x軸,那么y1=y2,即 亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1), 整理得a(x1-x2)=x1-x2, 因?yàn)閤1≠x2,所以a=1,這與已知矛盾. 因此M1M2不平行于x軸. (2)先求所給函

10、數(shù)的反函數(shù):由 得 y(ax-1)=x-1, 即 (ay-1)x=y-1. 即 ax-a=ax-1, 由此得a=1,與已知矛盾,所以ay-1≠0. 因此得到 由于函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì) 證法三: (1)任取一條與x軸平行的直線L,則l的方程為y=c(c為常數(shù)). 考慮L與所給函數(shù)的圖象是否相交以及交點(diǎn)數(shù)目的情況. 將②代入①得 c(ax-1)=x-1, 即 (ca-1)x=c-1. ③ 從而直線L與所給函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn). 這說(shuō)明原方程組恰有一個(gè)解,從而直線L與所給函

11、數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn). 綜上述,平行于x軸的直線與所給函數(shù)的圖象或者不相交,或者恰有一個(gè)交點(diǎn). 因此,經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸. (2)同證法一或證法二. 七、本題主要考查考生利用方程研究曲線性質(zhì)的能力,以及綜合運(yùn)用學(xué)過(guò)的代數(shù)知識(shí)(一元二次方程的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,解二元二次方程組,解不等式等)去解題的能力. 解法一:假定橢圓上有符合題意的四個(gè)點(diǎn),則這四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都應(yīng)滿足下面的橢圓方程: 又這四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足下面的拋物線方程 y2=2px, 從而它們都是下面的方程組的解: 將②式代入①式,得 由于上述方程組有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所

12、以方程③的判別式應(yīng)大于零, 整理得 3p2-4p+1>0, 由已知,橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零,所以方程③的兩個(gè)根應(yīng)都為正數(shù),于是得 7p-4<0, 解此不等式得 由④、⑤以及已知條件得 一次項(xiàng)系數(shù)7p-4<0,所以x1,x2都為正數(shù). 把x1及x2分別代入②中,可解得 顯然y1,y2,y3,y4兩兩不相等. 由于(x1,y1)適合②式和③式,從而也適合①式,因此點(diǎn)M1(x1,y1)是符合題意的點(diǎn). 同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合題意的點(diǎn),并且它們是互不相同的. 解法二:橢圓上有四個(gè)點(diǎn)符合題意的充要條件是方程組 有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解. 所以原方程組有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,當(dāng)且僅當(dāng)方程③有兩個(gè)不相等的正根.而這又等介于 在p>0的條件下,解此不等式組,得到 解法三:易求出所給橢圓的方程為 假定這個(gè)橢圓上有符合題意的四個(gè)點(diǎn),則這些點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)是下述方程組的解: 把②式化簡(jiǎn)得 y2=2px. 以下同解法一． 14 俊秀工作室傾情奉獻(xiàn) 朱俊杰&康秀玲