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【與名師對(duì)話】高考總復(fù)習(xí)北師大版數(shù)學(xué)文【配套教師文檔】增分講座四 “立體幾何”類題目的審題技巧與解題規(guī)范

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 “立體幾何”類題目的審題技巧與解題規(guī)范 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P118] [技法概述] 在高考數(shù)學(xué)試題中,問題的條件以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中給出的題目較多,因此在審題時(shí),要善于觀察圖形,洞悉圖形所隱含的特殊的關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢(shì),抓住圖形的特征,利用圖形所提供信息來解決問題。 [適用題型] 以下幾種類型常用到此審題方法: (1)立體幾何:空間多面體中的幾何特征及線面位置關(guān)系; (2)解析幾何:直線與圓、圓錐曲線中的幾何特征; (3)函數(shù):函數(shù)圖象的判斷,由三角

2、函數(shù)圖像求解析式中圖像特征; (4)概率與統(tǒng)計(jì):統(tǒng)計(jì)中頻率分布直方圖、莖葉圖中的信息特征. [典例] (20xx安徽高考)(本題滿分12分)如圖,四棱錐P ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BAD=60,已知PB=PD=2,PA=. (1)證明:PC⊥BD; (2)若E為PA的中點(diǎn),求三棱錐P BCE的體積. 1.(20xx南通模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1,AA1=2,E為棱CC1的中點(diǎn). (1)求證:AC1∥平面B1DE; (2)求三棱錐ABDE的體積. 解:(1)證明:取BB1的中點(diǎn)F,連接AF

3、,CF,EF. ∵E,F(xiàn)分別是CC1,BB1的中點(diǎn), ∴CE綊B1F. ∴四邊形B1FCE是平行四邊形. ∴CF∥B1E. ∵E,F(xiàn)是CC1,BB1的中點(diǎn), ∴EF綊BC,又BC綊AD, ∴EF綊AD. ∴四邊形ADEF是平行四邊形.∴AF∥ED. ∵AF∩CF=F,B1E∩ED=E, ∴平面ACF∥平面B1DE. 又AC平面ACF, ∴AC∥平面B1DE. (2)由條件得S△ABD=ABAD=2. ∴VABDE=VEABD=S△ABDEC =21=, 即三棱錐ABDE的體積為. 2.如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,△ABC為正三角形,D,E分別

4、是BC,CA的中點(diǎn). (1)證明:平面PBE⊥平面PAC; (2)在BC上找一點(diǎn)F,使AD∥平面PEF,并說明理由. 解:(1)證明:∵PA⊥平面ABC,BE?平面ABC, ∴PA⊥BE. ∵△ABC為正三角形,E是CA的中點(diǎn),∴BE⊥AC. 又∵PA,AC?平面PAC, PA∩CA=A, ∴BE⊥平面PAC. ∵BE?平面PBE,∴平面PBE⊥平面PAC. (2)取F為CD的中點(diǎn),連接EF. ∵E,F(xiàn)分別為AC,CD的中點(diǎn), ∴EF是△ACD的中位線, ∴EF∥AD.又∵EF?平面PEF, AD?平面PEF, ∴AD∥平面PEF. 3.如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與

5、底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的左視圖、俯視圖.在直觀圖中,M是BD的中點(diǎn).左視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示. (1)求出該幾何體的體積; (2)求證:EM∥平面ABC; (3)試問在棱DC上是否存在點(diǎn)N,使NM⊥平面BDE?若存在,確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解:由題意,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC, AE∥DC,AE=2, DC=4,AB⊥AC,且AB=AC=2. (1)∵EA⊥平面ABC,∴EA⊥AB,又AB⊥AC,EA∩AC=A, ∴AB⊥平面ACDE. ∴四棱錐BACDE的高h(yuǎn)=AB=2,梯形ACDE的面積S=

6、6, ∴VBACDE=Sh=4,即所求幾何體的體積為4. (2)證明:∵M(jìn)為DB的中點(diǎn),取BC中點(diǎn)G,連接EM,MG,AG, ∴MG∥DC,且MG=DC, ∴MG平行且等于AE, ∴四邊形AGME為平行四邊形, ∴EM∥AG,又AG?平面ABC,EM?平面ABC, ∴EM∥平面ABC. (3)由(2)知,EM∥AG, 又∵平面BCD⊥底面ABC,AG⊥BC, ∴AG⊥平面BCD. ∴EM⊥平面BCD,又∵EM?平面BDE, ∴平面BDE⊥平面BCD. 在平面BCD中,過M作MN⊥DB交DC于點(diǎn)N, ∴MN⊥平面BDE,點(diǎn)N即為所求的點(diǎn), △DMN∽△DCB, ∴=,即=, ∴DN=3,∴DN=DC, ∴邊DC上存在點(diǎn)N,滿足DN=DC時(shí),有NM⊥平面BDE.

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