《【選修1－11－24－5】：專題二 圓錐曲線與方程 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【選修1－11－24－5】：專題二 圓錐曲線與方程 Word版含解析（14頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、高考數學精品復習資料2019.5一、題之源：課本基礎知識一、題之源：課本基礎知識1橢圓的概念在平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數：(1)若ac，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若ac，則集合P為空集2橢圓的標準方程和幾何性質標準方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)圖形性質范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：(0，0)頂點A1(a，0)，A2(a，0

2、)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為 2a短軸B1B2的長為 2b焦距|F1F2|2c離心率eca，e(0，1)a，b，c的關系c2a2b23雙曲線的概念平面內動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|2c0)的距離之差的絕對值為常數 2a(02a2c)，則點P的軌跡叫雙曲線這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c為常數且a0，c0：(1)當ac時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當ac時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當ac時，P點不存在4雙曲線的標準方程和幾何

3、性質標準方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)圖形性質范圍xa或xa，yR RxR R，ya或ya對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線ybaxyabx離心率eca，e(1，)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸， 它的長|A1A2|2a； 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長a、b、c的關系c2a2b2(ca0，cb0)5拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：(1)在平面內；(2)動點到定點 F 的距離與到定直線 l 的距離

4、相等；(3)定點不在定直線上6拋物線的標準方程和幾何性質標準方程y22px(p0)y22px(px22py(p0)x22py(p0)0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0，0)對稱軸y0 x0焦點F(p2，0)F(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)離心率e1準線方程xp2xp2yp2yp2范圍x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0 xR R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0p2|PF|x0p2|PF|y0p2|PF|y0p27曲線與方程在平面直角坐標系中， 如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數解建立了

5、如下的關系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線8曲線的交點設曲線C1的方程為F1(x，y)0，曲線C2的方程為F2(x，y)0，則C1，C2的交點坐標即為方程組F1（x，y）0，F(xiàn)2（x，y）0的實數解，若此方程組無解，則兩曲線無交點二、題之本：思想方法技巧9直線與圓錐曲線的位置關系的判定(1)代數法：把圓錐曲線方程C1與直線方程l聯(lián)立消去y，整理得到關于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0 的解l與C1的交點a0b0無解(含l是雙曲線的漸近線)無公共點b0有一解(含l與拋物線的對稱軸平行(重

6、合)或與雙曲線的漸近線平行)一個交點a00兩個不相等的解兩個交點0兩個相等的解一個交點0無實數解無交點(2)幾何法：在同一直角坐標系中畫出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質可判定直線與圓錐曲線的位置關系10直線與圓錐曲線的相交弦長問題設斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB| 1k2|x1x2| 1k2（x1x2）24x1x211k2|y1y2|11k2（y1y2）24y1y2.二、題之本：思想方法技巧二、題之本：思想方法技巧1.在運用橢圓的定義時，要注意“|F1F2|2a”這個條件，若|F1F2|2a，則動點的軌跡不是橢圓，而是連結兩定

7、點的線段(包括端點)；若|F1F2|2a，則軌跡不存在.2.橢圓的標準方程有兩種形式，兩種形式可以統(tǒng)一為x2my2n1(m0，n0，且mn)，具體是哪種形式，由m與n的大小而定.3.求橢圓的標準方程常用的方法是待定系數法和定義法，即(1)先設出橢圓標準方程，根據已知條件列出a，b的兩個方程，求參數a，b的值；(2)由橢圓的定義及幾何性質直接求出參數a，b的值.4.充分利用圖形的幾何性質可以減少計算量，橢圓中可以用來減少計算量的幾何性質主要體現(xiàn)在橢圓的定義中.5.直線與橢圓的位置關系，可通過討論橢圓方程與直線方程組成的方程組的實數解的個數來確定.通常用消元后的關于x(或y)的一元二次方程的判別式

8、與零的大小關系來判定.6.直線和橢圓相交時，弦的中點坐標或弦中點軌跡方程可由韋達定理來解決.設而不求(設點而不求點)的方法是解析幾何中最重要的解題方法之一.7.橢圓中幾個常用的結論：(1)焦半徑：橢圓上的點P(x0，y0)與左(下)焦點F1與右(上)焦點F2之間的線段叫做橢圓的焦半徑，分別記作r1|PF1|，r2|PF2|.x2a2y2b21(ab0)，r1aex0，r2aex0；y2a2x2b21(ab0)，r1aey0，r2aey0；焦半徑中以長軸端點的焦半徑最大和最小(近日點與遠日點).(2)焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的PF1F2叫做焦點三角形.r1|PF1|，r

9、2|PF2|，F(xiàn)1PF2，PF1F2的面積為S，則在橢圓x2a2y2b21(ab0)中：當r1r2時，即點P的位置為短軸端點時，最大；Sb2tan2c|y0|，當|y0|b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.(3)焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin2b2a.(4)AB為橢圓x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則弦長l 1k2|x1x2|11k2|y1y2|；直線AB的斜率kABb2x0a2y0.以上常用結論在教材的例題與習題中都有體現(xiàn).8.對雙曲線的學習可類比橢圓進行，應著重

10、注意兩者的異同點.9.雙曲線的定義中，當|MF1|MF2|時，動點M的軌跡是雙曲線的一支，當|MF1|MF2|時，軌跡為雙曲線的另一支，而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中強調“差的絕對值”.10.定義中|F1F2|2a這個條件不可忽視， 若|F1F2|2a， 則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線，若|F1F2|2a，則軌跡不存在.11.在橢圓的兩種標準方程中，焦點對應“大分母”，即標準方程中，x2，y2誰的分母較大，則焦點就在哪個軸上；而在雙曲線的兩種標準方程中，焦點的位置對應“正系數”，即標準方程中，x2，y2誰的系數為正(右邊的常數總為正)，則焦點就在哪個軸上.12.在橢圓中，a，b，

11、c滿足a2b2c2，即a最大；在雙曲線中，a，b，c滿足c2a2b2，即c最大.13.在雙曲線的幾何性質中，漸近線是其獨特的一種性質，也是考查的重點內容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數.14.求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標準方程的應用都和與橢圓有關的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標準方程可統(tǒng)一為Ax2By21 的形式，當A0，B0，AB時為橢圓，當AB0 時為雙曲線.15.雙曲線的幾個常用結論：(1)與雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)有共同漸近線的雙曲線系方程為x2a2y2b2(0).(2)雙曲線上的點

12、P(x0，y0)與左(下)焦點F1或右(上)焦點F2之間的線段叫做雙曲線的焦半徑，分別記作r1|PF1|，r2|PF2|，則x2a2y2b21(a0，b0)，若點P在右支上，則r1ex0a，r2ex0a；若點P在左支上，則r1ex0a，r2ex0a.y2a2x2b21(a0，b0)，若點P在上支上，則r1ey0a，r2ey0a；若點P在下支上，則r1ey0a，r2ey0a.16.拋物線的定義、標準方程和性質是解決有關拋物線問題的基礎，應當熟練掌握.17.求拋物線的標準方程的常用方法是待定系數法或軌跡法.若拋物線的開口不確定，為避免多種情況分類求解的麻煩，可以設拋物線方程為y2mx或x2ny(m

13、0，n0).若m0，開口向右；若m0，開口向左.m有兩解時，則拋物線的標準方程有兩個.對n0 與n0，有類似的討論.18.拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于該點到準線的距離.因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題時，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義，將其轉化為點到準線的距離，這樣往往可以使問題簡單化.19.拋物線的幾個常用結論(1)焦半徑：拋物線上的點P(x0，y0)與焦點F之間的線段叫做拋物線的焦半徑，記作r|PF|.y22px(p0)，rx0p2；y22px(p0)，rx0p2；x22py(p0)，ry0p2；x22py(p0)，ry0p2.(2)焦點弦：若AB為拋物線y22

14、px(p0)的焦點弦，A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，|AB|l.則：x1x2p24；y1y2p2；弦長lx1x2p，因x1x22x1x2p，故當x1x2時，l取得最小值，最小值為 2p，此時弦AB垂直于x軸，所以拋物線的焦點弦中通徑最短(垂直于拋物線對稱軸的焦點弦叫做拋物線的通徑).20.對于圓錐曲線的綜合問題，要注意將曲線的定義性質化，找出定義賦予的條件；要重視利用圖形的幾何性質解題(本書多處強調)；要靈活運用韋達定理、弦長公式、斜率公式、中點公式、判別式等解題，巧妙運用“設而不求”、“整體代入”、“點差法”、“對稱轉換”等方法.21.在給定的

15、圓錐曲線f(x，y)0 中，求中點為(m，n)的弦AB所在直線方程或動弦中點M(x，y)軌跡時，一般可設A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B兩點在曲線上，得f(x1，y1)0，f(x2，y2)0 及x1x22m(或 2x)，y1y22n(或 2y)，從而求出斜率kABy1y2x1x2，最后由點斜式寫出直線AB的方程，或者得到動弦所在直線斜率與中點坐標x，y之間的關系，整體消去x1，x2，y1，y2，得到點M(x，y)的軌跡方程.22.對滿足一定條件的直線或者曲線過定點問題，可先設出該直線或曲線上兩點的坐標，利用坐標在直線或曲線上以及切線、點共線、點共圓、對稱等條件，建立點的坐標滿足的

16、方程或方程組.為簡化運算應多考慮曲線的幾何性質，求出相應的含參數的直線或曲線，再利用直線或曲線過定點的知識加以解決.以“求直線l：ykx2k1(k為參數)是否過定點？”為例，有以下常用方法：待定系數法：假設直線l過點(c1，c2)，則yc2k(xc1)，即ykxc1kc2，通過與已知直線方程比較得c12，c21.所以直線l過定點(2，1).賦值法：令k0，得l1：y1；令k1，得l2：yx3，求出l1與l2的交點(2，1)，將交點坐標代入直線系得 12k2k1 恒成立，所以直線l過定點(2，1).賦值法由兩步構成，第一步：通過給參數賦值，求出可能的定點坐標；第二步：驗證其是否恒滿足直線方程.參

17、數集項法： 對直線l的方程中的參數集項得yk(x2)1， 令k的系數為 0， 得x2，y1，k的取值是任意的，但l的方程對點(2，1)恒成立，所以直線l過定點(2，1).若方程中含有雙參數，應考慮兩個參數之間的關系.23.給出曲線上的點到直線的最短(長)距離或求動點到直線的最短(長)距離時，可歸納為求函數的最值問題，也可借助于圖形的性質(如三角形的公理、對稱性等)求解.24.圓錐曲線上的點關于某一直線對稱的問題，通常利用圓錐曲線上的兩點所在直線與已知直線l(或者是直線系)垂直，圓錐曲線上兩點連成線段的中點一定在對稱軸直線l上，再利用判別式或中點與曲線的位置關系求解.25.求動點的軌跡方程的一般

18、步驟(1)建系建立適當的坐標系；(2)設點設軌跡上的任一點P(x，y)；(3)列式列出動點P所滿足的關系式；(4)代換依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關于x，y的方程式，并化簡；(5)證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程26.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標化”將其轉化為尋求動點的橫坐標與縱坐標之間的關系.在求與圓錐曲線有關的軌跡方程時，要特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程中的應用，只要動點滿足已知曲線的定義，就可直接得出方程.27.要注意一些軌跡問題中包含的某些隱含條件，也就是曲線上

19、點的坐標的取值范圍，有時還要補充特殊點的坐標或特殊曲線的方程.28.求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，若求軌跡，則不僅要求出方程，而且還需要說明所求軌跡是什么曲線，即曲線的形狀、位置、大小都需說明.29.根據問題給出的條件不同，求軌跡的方法也不同，一般有如下規(guī)律：(1)單點的軌跡問題直接法待定系數法；(2)雙動點的軌跡問題相關點法；(3)多動點的軌跡問題參數法交軌法.30.利用參數法求動點軌跡時要注意：(1)參數的選擇要合理；(2)消參的方法靈活多樣；(3)對于所選的參數，要注意取值范圍，并注意參數范圍對x，y的取值范圍的制約.31.曲線關于點中心對稱、關于直線軸對稱問題，通常是轉化為點的中心對稱

20、或軸對稱，一般結論如下：(1)曲線f(x，y)0 關于已知點A(a，b)的對稱曲線的方程是f(2ax，2by)0；(2)曲線f(x，y)0 關于ykxb的對稱曲線的求法：設曲線f(x，y)0 上任意一點為P(x0，y0)，點P關于直線ykxb的對稱點為P(x，y)，則由軸對稱的條件知，P與P的坐標滿足yy0 xx0k1，yy02kxx02b，從中解出x0，y0，將其代入已知曲線f(x，y)0，就可求出曲線f(x，y)0 關于直線ykxb對稱的曲線方程.32.解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內容：（1） 給出直線的方向向量ku, 1或nmu,；（2）給出OBOA 與AB相交,等于已知OBOA

21、過AB的中點;（3）給出0 PNPM,等于已知P是MN的中點;（4）給出BQBPAQAP,等于已知,A B與PQ的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一：ACAB /；存在實數,ABAC使；若存在實數,1,OCOAOB 且使,等于已知CBA,三點共線.（6） 給出1OBOAOP，等于已知P是AB的定比分點，為定比，即PBAP（7） 給出0MBMA,等于已知MBMA ,即AMB是直角,給出0mMBMA,等于已知AMB是鈍角, 給出0mMBMA,等于已知AMB是銳角,（8）給出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分線/（9）在平行四邊形ABCD中，給出0)()(ADABADAB，等于已知

22、ABCD是菱形;（10） 在平行四邊形ABCD中，給出| |ABADABAD ，等于已知ABCD是矩形;（11） 在ABC中，給出12ADABAC ,等于已知AD是ABC中BC邊的中線;33.圓錐曲線中常見的最值問題及其解法(1)兩類最值問題：涉及距離、面積的最值以及與之相關的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關的一些問題(2)兩種常見解法：幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決；代數法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數關系，則可先建立起目標函數，再求這個函數的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導數法求解34

23、 解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五方面考慮：(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；(2)利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系；(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍；(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍三、題之變：課本典例改編三、題之變：課本典例改編1.1. 原題（選修原題（選修 1-11-1 第三十四頁例第三十四頁例 2 2）如圖，在圓224xy上任取一點P，過點P作X軸的垂線段P

24、D，D為垂足當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？改編改編 1 1設點P是圓224xy上的任一點，定點D的坐標為（8，0） 當點P在圓上運動時，求線段PD的中點M的軌跡方程【解析】 設點M的坐標為, x y，點P的坐標為00,xy，則082xx，02yy 即028xx，02yy因為點P00,xy在圓224xy上，所以22004xy即222824xy，即2241xy，這就是動點M的軌跡方程改編改編 2 2設點P是圓224xy上的任一點，定點D的坐標為（8，0） ，若點M滿足2PMMD 當點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程2.2. 原題原題（選修選修 1-11-1 第三十五頁例第三十五

25、頁例 3 3）改編改編 1 1已知點 A、B 的坐標分別是 A（0，-1） ，B（0，1） ，直線 AM、BM 相交于點 M，且它們的斜率之積是-t，t（0，1求 M 的軌跡方程，并說明曲線的類型【解析】 設 M （x， y） ， 則10BMykx(x0)，( 1)0AMykx (x0)，BMAMkk=-t，10yx( 1)0yx =-t(x0)，整理得221xyt1(x0)（1）當 t（0，1）時，M 的軌跡為橢圓（除去 A 和 B 兩點） ； （2）當 t=1 時，M 的軌跡為圓（除去 A 和 B 兩點） 改編改編 2 2已知點AB、的坐標分別是(0, 1)-、(0,1),直線,PA PB

26、相交于點P,且它們的斜率之積為2. 求點P軌跡C的方程.【解析】 設( , )P x y，則112yyxx+-= -g(0)x ，整理得：2221xy+=(0)x 改編改編 3 3 設橢圓222210 xyabab的左、 右頂點分別為A,B， 點P在橢圓上且異于A,B兩點，O為坐標原點若直線PA與PB的斜率之積為12，則橢圓的離心率為_.改編改編 4 4橢圓22122:1,43xyCA APCPA 的左、右頂點分別為點 在 上且直線斜率的取值范圍是12, 1 ,PA那么直線斜率的取值范圍是()A.1 32 4，B.3 38 4，C.112，D.314，【解析】 由拓展，知1212333 3,

27、, .448 4PAPAPAPAkkkk= -= -選 B改編改編 5 5 已知橢圓22:143xyC上一點3(1, )2P,過點P的直線12,l l與橢圓C分別交于AB、（不同于P）且它們的斜率12,k k滿足1234k k = -g，則直線AB過定點_.【解析】 由拓展，AB、關于原點對稱，即直線AB過定點(0,0).改編改編 6 6如圖，若P為橢圓12422yx的右頂點，直線PA、PB交直線3x于,E F兩點，則EF的最小值為答案：2改編改編 7 7已知直線y12x與橢圓C：22182xy交于AB、兩點，過A點作斜率為k的直線l1 直線l1與橢圓C的另一個交點為P， 與直線x4 的交點為

28、Q， 過Q點作直線PB的垂線l2 求證：直線l2恒過一定點【解析】 可求得( 2, 1),(2,1)AB-，且AB、關于原點對稱，由拓展知，14PAPBk k= -，14PBkk= -，又2lPB,24 ,lkk=而l1：1(2),(4,61)yk xQk+ =+-，則l2；(61)4 (4),ykk x-=-即(410)1,yxk=-令4100,x-=則1,y = -2l恒過定點5( , 1)2-3 3原題（選修原題（選修 1-11-1 第三十六頁練習第第三十六頁練習第 3 3 題）題）已知經過橢圓2212516xy的右焦點2F作垂直于x軸的直線A B，交橢圓于A，B兩點，1F是橢圓的左焦點

29、 （1）求1AFB的周長； （2）如果AB不垂直于x軸，1AFB的周長有變化嗎？為什么？改編（全國卷改編（全國卷）已知ABC的頂點B、C在橢圓2213xy上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是 ()A2 3B6C4 3D12【解析】 由于橢圓2213xy的長半軸長3a ，而根據橢圓的定義可知ABC的周長為44 3a ，故選 C4 4原題原題（選修選修 1-11-1 第五十四頁習題第五十四頁習題 2.2A2.2A 組第一題組第一題）改編改編1F、2F是雙曲線2211620 xy的焦點， 點 P 在雙曲線上， 若點 P 到焦點1F的距離等于 9， 則點 P 到焦點2F的距離等于.5.5. 原題（選修原題（選修 1-11-1 第六十八頁復習參考題第六十八頁復習參考題 B B 組第一題）改編組第一題）改編 已知F1、F2分別為橢圓191622yx的左、 右焦點， 點P在橢圓上， 若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點， 求21FPF的面積.【解析】 依題意，可知當以F1或F2為三角形的直角頂點時，點P的坐標為97,4，則點P到x軸的距離為49，此時21FPF的面積為479；當以點P為三角形的直角頂點時，點P的坐標為3779，舍去.故21FPF的面積為479.