《一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第十章 第五節(jié)　數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第十章 第五節(jié)　數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 1．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線條數(shù)f(n)＝n(n－3)(n≥3)． 證明：①當(dāng)n＝3時，三角形沒有對角線，f(3)＝0， 又f(3)＝×3×(3－3)＝0，命題成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3)時命題成立，即凸k邊形A1A2…Ak有f(k)＝k(k－3)條對角線，再加一個頂點Ak＋1，構(gòu)成凸k＋1邊形，則增加了k－2條對角線，又原來的邊A1Ak變成了對角線，故對角線增加了k－1條，即凸k＋1邊形有f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－3k＋2k－

2、2)＝(k2－k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]條對角線，可知當(dāng)n＝k＋1時，命題成立，綜合①②可知命題對于n≥3的自然數(shù)n都成立． 2．是否存在一個等差數(shù)列{an}，使得對任何正整數(shù)n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并證明你的結(jié)論． 解析：將n＝1,2,3分別代入等式得方程組： 解得a1＝6，a2＝9，a3＝12， 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則d＝3，從而an＝3n＋3. 故存在一個等差數(shù)列an＝3n＋3， 使得當(dāng)n＝1,2,3時，等式成立． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立． ①當(dāng)n＝1時，結(jié)論顯然成立． ②假設(shè)n＝k(k

3、≥1，且k∈N*)時，等式成立， 即a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＝k(k＋1)(k＋2)． 那么當(dāng)n＝k＋1時， a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1 ＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3] ＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6) ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3) ＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]． ∴當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 由①②知存在一個等差數(shù)列an＝3n＋3，使得對任何正整數(shù)n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立． 3．已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.

4、 求證：當(dāng)n∈N*時，an<an＋1. 證明：(1)當(dāng)n＝1時，因為a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1<a2. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時，0≤ak<ak＋1， 因為a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1) ＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 所以ak＋1<ak＋2， 即當(dāng)n＝k＋1時，an<an＋1也成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知an<an＋1對任意n∈N*都成立． 4．已知a>0，b>0，n>1，n∈N*.用數(shù)學(xué)歸納法證明：≥()n. 證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊－右邊＝－()2＝()2≥0，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k>1)時，不等式成立，即≥()k. 因為a>0，b>0，k>1，k∈N*， 所以(ak＋1＋bk＋1)－(akb＋abk)＝(a－b)·(ak－bk)≥0， 于是ak＋1＋bk＋1≥akb＋abk. 當(dāng)n＝k＋1時，()k＋1＝()k·≤·＝ ≤＝， 即當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立． 綜合(1)，(2)知，對于a>0，b>0，n>1， n∈N*，不等式≥()n總成立．