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1、
高考數學精品復習資料
2019.5
課時跟蹤訓練(二十一)
[基礎鞏固]
一、選擇題
1.(20xx洛陽市高三第一次統(tǒng)一考試)下列函數中,是周期函數且最小正周期為π的是( )
A.y=sinx+cosx B.y=sin2x-cos2x
C.y=cos|x| D.y=3sincos
[解析] 對于A,函數y=sinx+cosx=sin的最小正周期是2π,不符合題意;對于B,函數y=sin2x-cos2x=(1-cos2x)-(1+cos2x)=-cos2x的最小正周期是π,符合題意;對于C,y=cos|
2、x|=cosx的最小正周期是2π,不符合題意;對于D,函數y=3sincos=sinx的最小正周期是2π,不符合題意.選B.
[答案] B
2.y=|cosx|的一個單調增區(qū)間是( )
A. B.[0,π]
C. D.
[解析] 將y=cosx的圖象位于x軸下方的圖象關于x軸對稱,x軸上方(或x軸上)的圖象不變,即得y=|cosx|的圖象(如圖).故選D.
[答案] D
3.函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)對任意x都有f=f,則f的值為( )
A.2或0 B.-2或2
C.0 D.-2或0
[解析] 因為函數f(x)=2sin(ωx+
3、φ)對任意x都有f=f,所以該函數圖象關于直線x=對稱,因為在對稱軸處對應的函數值為最大值或最小值,所以選B.
[答案] B
4.(20xx遼寧沈陽二中月考)如果函數y=3cos(2x+φ)的圖象關于點成中心對稱,那么|φ|的最小值為( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵函數y=3cos(2x+φ)的圖象關于點成中心對稱,∴2+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-(k∈Z).
由此易得|φ|min=.故選A.
[答案] A
5.(20xx安徽江淮十校聯(lián)考)已知函數y=2sin(2x+φ)的圖象經過點(0,1),則該函數圖象的一條對稱軸方程為( )
A.x=
4、- B.x=-
C.x= D.x=
[解析] 把(0,1)代入函數表達式,知sinφ=.因為|φ|<,所以φ=.當2x+=+kπ(k∈Z)時,函數取得最值,解得對稱軸方程為x=+(k∈Z).令k=0得x=.故選C.
[答案] C
6.(20xx河北石家莊二模)已知函數f(x)=sin,f′(x)是f(x)的導函數,則函數y=2f(x)+f′(x)的一個單調遞減區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由題意,得f′(x)=2cos,所以y=2f(x)+f′(x)=2sin+2cos=2sin=2sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤
5、kπ+(k∈Z),所以函數y=2f(x)+f′(x)的一個單調遞減區(qū)間為,故選A.
[答案] A
二、填空題
7.若函數f(x)=2tan的最小正周期T滿足1
6、方程為________.
[解析] 易知函數f(x)的最小正周期為π,而f=f,所以f(x)圖象的一條對稱軸方程為x=,故函數f(x)圖象的對稱軸方程為x=+(k∈Z).
[答案] x=+(k∈Z)
三、解答題
10.已知函數f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π.
(1)求當f(x)為偶函數時φ的值;
(2)若f(x)的圖象過點,求f(x)的單調遞增區(qū)間.
[解] ∵f(x)的最小正周期為π,
則T==π,∴ω=2.
∴f(x)=sin(2x+φ).
(1)當f(x)為偶函數時,φ=+kπ,k∈Z,
∵0<φ<,∴φ=.
(2)f(x)的圖象過點時,
sin=
7、,
即sin=.
又∵0<φ<,∴<+φ<π.
∴+φ=,φ=.
∴f(x)=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴f(x)的單調遞增區(qū)間為
,k∈Z.
[能力提升]
11.若函數y=cos2x與函數y=sin(2x+φ)在上的單調性相同,則φ的一個值為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由于函數y=cos2x與函數y=sin(2x+φ)在上的單調性相同,函數y=cos2x在上單調遞減,故函數y=sin(2x+φ)在上單調遞減,
故2+φ≤2kπ+,且φ≥2kπ+,k∈Z.
解得2kπ+≤φ≤2kπ
8、+π,k∈Z.取k=0得≤φ≤π.故選C.
[答案] C
12.當x=時,函數f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,則函數y=f是( )
A.奇函數且圖象關于點對稱
B.偶函數且圖象關于點(π,0)對稱
C.奇函數且圖象關于直線x=對稱
D.偶函數且圖象關于點對稱
[解析] 由題意可知φ=2kπ-(k∈Z),
可得f(x)=Asin,
則y=f=Asin
=Asin(-x)=-Asinx,所以函數y=f是奇函數,且其圖象關于直線x=+kπ(k∈Z)對稱,故選C.
[答案] C
13.(20xx福建廈門一中期中)給出下列四個命題:
①f(x)=sin圖象的
9、對稱軸方程為x=+,k∈Z;②若函數y=2cos(a>0)的最小正周期是π,則a=2;③函數f(x)=sinxcosx-1的最小值為-;④函數y=sin在上是增函數.其中正確命題的個數是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[解析]?、儆?x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,∴f(x)=sin圖象的對稱軸方程為x=+,k∈Z,①正確;
②若函數y=2cos(a>0)的最小正周期是π,則=π,即a=2,②正確;
③函數f(x)=sinxcosx-1=sin2x-1,最小值為-,③正確;
④當x∈時,x+∈,∴函數y=sin在上不是單調函數,④錯誤.
∴正確命題的
10、個數是3.故選C.
[答案] C
14.(20xx天津卷)已知函數f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函數f(x)在區(qū)間(-ω,ω)內單調遞增,且函數y=f(x)的圖象關于直線x=ω對稱,則ω的值為________.
[解析] f(x)=sinωx+cosωx=sin,因為函數f(x)的圖象關于直線x=ω對稱,所以f(ω)=sin=,所以ω2+=+kπ,k∈Z,即ω2=+kπ,k∈Z,又函數f(x)在區(qū)間(-ω,ω)內單調遞增,所以ω2+≤,即ω2≤,取k=0,得ω2=,所以ω=.
[答案]
15.已知函數f(x)=sin.
(1)求函數f(x)的最小正周期和圖
11、象的對稱軸方程;
(2)求函數f(x)在區(qū)間上的最值.
[解] (1)∵f(x)=sin,
∴周期T==π.
由2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
∴f(x)圖象的對稱軸方程為x=+,k∈Z.
(2)∵x∈,∴2x-∈,
∵f(x)=sin在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,∴當x=時,f(x)max=1.
又∵f=-1
12、
=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-
=sin-,
因此f(x)的最小正周期為π,最大值為.
(2)當x∈時,0≤2x-≤π,從而
當0≤2x-≤,即≤x≤時,f(x)單調遞增,
當≤2x-≤π,即≤x≤時,f(x)單調遞減.
綜上可知,f(x)在上單調遞增;在上單調遞減.
[延伸拓展]
(20xx湖南省湘中名校高三聯(lián)考)已知函數f(x)=sin(2x+φ),其中φ為實數,若f(x)≤對x∈R恒成立,且f>f(π),則f(x)的單調遞增區(qū)間是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
[解析] 因為f(x)≤對x∈R恒成立,即==1,所以φ=kπ+(k∈Z).因為f>f(π),所以sin(π+φ)>sin(2π+φ),即sinφ<0,所以φ=-π+2kπ(k∈Z),所以f(x)=sin,所以由三角函數的單調性知2x-∈(k∈Z),得x∈(k∈Z),故選C.
[答案] C