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1、
高考數學精品復習資料
2019.5
圓錐曲線與方程02
三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．過點C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點、，過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q．
(I） 當直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長；
(Ⅱ）當點P異于點B時，求證：為定值．
【答案】（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為．
橢圓的右焦點為，此時直線的方程為 ，代入橢圓方程得
，解
2、得，代入直線的方程得 ，所以，
故．
(Ⅱ）當直線與軸垂直時與題意不符．
設直線的方程為．代入橢圓方程得．
解得，代入直線的方程得，
所以D點的坐標為．
又直線AC的方程為，又直線BD的方程為，聯立得
因此，又．
所以．
故為定值．
18．已知雙曲線C：的離心率為，且過點P（，1）求出此雙曲線C的方程；
【答案】
19．已知橢圓的中心在原點，焦點為F1，F2（0，），且離心率。
(I）求橢圓的方程；
(II） 直線l（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點A、B，且線段AB中點的橫坐標為，求直線l的
3、斜率的取值范圍。
【答案】（I）設橢圓方程為
解得 a=3，所以b=1，故所求方程為
解得 又直線l與坐標軸不平行
故直線l斜率的取值范圍是{k∣}
20．在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點.
(1）求實數的取值范圍；
(2）設橢圓與軸正半軸，軸正半軸的交點分別為，是否存在常數，使得向量共線？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.
【答案】
(2）設則
由方程①，知，②
又，③
由得.
∴共線等價于將②③代入，解得
由①知故不存在符合題
4、意的常數．
21．若直線l：與拋物線交于A、B兩點，O點是坐標原點。
(1)當m=－1,c=－2時，求證：OA⊥OB；
(2)若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點；并求出這個定點坐標。
(3)當OA⊥OB時，試問△OAB的外接圓與拋物線的準線位置關系如何？證明你的結論。
【答案】設A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得
可知y1+y2=－2m y1y2=2c ∴x1+x2=2m2—2c x1x2= c2,
(1) 當m=－1,c=－2時，x1x2 +y1y2=0 所以OA⊥OB.
(2) 當OA⊥OB時，x1x2
5、+y1y2=0 于是c2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合題意),此時，直線l：過定點(2,0).
(3) 由題意AB的中點D(就是△OAB外接圓圓心)到原點的距離就是外接圓的半徑。
而(m2—c+)2－[(m2—c)2+m2 ]= 由(2)知c=－2
∴圓心到準線的距離大于半徑,故△OAB的外接圓與拋物線的準線相離。
22．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在軸上方的不同兩點、作拋物線的切線、，與軸分別交于、兩點，且與交于點，直線與直線交于點．
(1） 求拋物線的標準方程；
(2） 求證：軸；
(3） 若直線與軸的交點恰為F（1，0），求證：直線過定點．
【答案】（1）設拋物線的標準方程為，
由題意，得，即．
所以拋物線的標準方程為．
(2）設，，且，．
由（），得，所以．
所以切線的方程為，即．
整理，得， ①
且C點坐標為．
同理得切線的方程為，②
且D點坐標為．
由①②消去，得．
又直線的方程為，③
直線的方程為． ④
由③④消去，得．
廣東省江門市高考數學一輪復習 專項檢測試題22 圓錐曲線與方程2
