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高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版文科: 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學案 文 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù) [考綱傳真] 1.(1)了解冪函數(shù)的概念;(2)結合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=的圖像,了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖像和性質,能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關系解決簡單問題. (對應學生用書第14頁) [基礎知識填充] 1.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 頂點式:f(x)=a(x+h)2+k(a≠0),頂點坐標為(-h(huán),k); 零點式:f(x)=a

2、(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點. (2)二次函數(shù)的圖像與性質 函數(shù) y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 圖像 定義域 R 值域 單調性 在上是減少的, 在上是增加的 在上是增加的, 在上是減少的 對稱性 函數(shù)的圖像關于x=-對稱 2. 冪函數(shù) (1)定義:形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). (2)五種常見冪函數(shù)的圖像與性質 函數(shù) 特征 性質 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 圖像 定義域 R

3、 R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調性 增 (-∞,0)減, (0,+∞)增 增 增 (-∞,0)和 (0,+∞)減 公共點 (1,1) [知識拓展] 1.一元二次不等式恒成立的條件 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要條件是 (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要條件是 (3)ax2+bx+c>0(a<0)在區(qū)間[a,b]恒成立的充要條件是 (4)ax2+bx+c<0(a>0)在區(qū)間[a,b]恒

4、成立的充要條件是 2.冪函數(shù)y=xα(α∈R)的圖像特征 (1)α>0時,圖像過原點和(1,1),在第一象限的圖像上升. (2)α<0時,圖像不過原點,在第一象限的圖像下降. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函數(shù).(  ) (2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.(  ) (3)冪函數(shù)的圖像一定經過點(1,1)和點(0,0).(  ) (4)當n>0時,冪函數(shù)y=xn在(0,+∞)上是增函數(shù).(  ) [答案] (1) (2) 

5、(3) (4)√ 2.(教材改編)已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(4,2),若f(m)=3,則實數(shù)m的值為(  ) A.      B. C. D.9 D [由題意可知4α=22α=2,所以α=. 所以f(x)=x=, 故f(m)==3?m=9.] 3.已知函數(shù)f(x)=ax2+x+5的圖像在x軸上方,則a的取值范圍是(  ) A. B. C. D. C [由題意知即得a>.] 4.(20xx貴陽適應性考試(二))二次函數(shù)f(x)=2x2+bx-3(b∈R)零點的個數(shù)是 (  ) A.0     B.1 C.2     D.4 C

6、 [因為判別式Δ=b2+24>0,所以原二次函數(shù)有2個零點,故選C.] 5.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A(-2,0),B(4,0)且函數(shù)的最大值為9,則這個二次函數(shù)的表達式是________. y=-x2+2x+8 [設y=a(x+2)(x-4),對稱軸為x=1, 當x=1時,ymax=-9a=9,∴a=-1, ∴y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.] (對應學生用書第15頁) 求二次函數(shù)的解析式  已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式. [解] 

7、法一(利用一般式): 設f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由題意得 解得∴所求二次函數(shù)為f(x)=-4x2+4x+7. 法二(利用頂點式): 設f(x)=a(x-m)2+n. ∵f(2)=f(-1), ∴拋物線的圖像的對稱軸為x==. ∴m=.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,∴n=8. ∴y=f(x)=a2+8. ∵f(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4, ∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7. 法三(利用零點式): 由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1, 故可設f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f

8、(x)=ax2-ax-2a-1. 又函數(shù)的最大值是8,即=8,解得a=-4, ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7. [規(guī)律方法] 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,關鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式,選法如下: [變式訓練1] 已知二次函數(shù)f(x)的圖像經過點(4,3),它在x軸上截得的線段長為2,并且對任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式. [解] ∵f(2-x)=f(2+x)對x∈R恒成立, ∴f(x)的對稱軸為x=2. 又∵f(x)的圖像被x軸截得的線段長為2, ∴f(x)=0的兩根為1和3. 設f(x)的解析式

9、為f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又∵f(x)的圖像過點(4,3), ∴3a=3,a=1. ∴所求f(x)的解析式為f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3. 二次函數(shù)的圖像與性質 角度1 二次函數(shù)的最值問題  (1)(20xx廣西一模)若xlog52≥-1,則函數(shù)f(x)=4x-2x+1-3的最小值為(  ) A.-4     B.-3     C.-1     D.0 (2)(20xx安徽皖北第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2,則a的值為(  ) A.2 B.-1或

10、-3 C.2或-3 D.-1或2 (1)A (2)D [(1)xlog52≥-1?log52x≥log55-1?2x≥, 令t=2x,則有y=t2-2t-3=(t-1)2-4, 當t=1≥,即x=0時,f(x)取得最小值-4.故選A. (2)函數(shù)f(x)=-(x-a)2+a2-a+1圖像的對稱軸為x=a,且開口向下,分三種情況討論如下: ①當a≤0時,函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上是減少的, ∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1. ②當0<a≤1時,函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,a]上是增加的,在

11、[a,1]上是減少的, ∴f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1, 由a2-a+1=2,解得a=或a=.∵0<a≤1,∴兩個值都不滿足,舍去. ③當a>1時,函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上是增加的, ∴f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,∴a=2. 綜上可知,a=-1或a=2.] 角度2 二次函數(shù)中的恒成立問題  (1)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實數(shù)m的取值范圍是________. 【導學號:00090025】 (2)已知a是實數(shù),函數(shù)f(x

12、)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,則實數(shù)a的取值范圍為________. (1) (2) [(1)作出二次函數(shù)f(x)的圖像,對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0, 則有 即解得-<m<0. (2)由題意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立. 當x=0時,適合; 當x≠0時,a<2-. 因為∈(-∞,-1]∪[1,+∞),當x=1時,右邊取最小值,所以a<. 綜上,實數(shù)a的取值范圍是.] [規(guī)律方法] 1.二次函數(shù)最值問題應抓住“三點一軸”數(shù)形結合求解,三點是指區(qū)間兩個端點和中點,一軸指的是對稱軸,結合配方法,用函數(shù)的

13、單調性及分類討論的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,常用分離參數(shù)法,轉化為求函數(shù)最值問題,其依據(jù)是a≥f(x)?a≥f(x)max,a≤f(x)?a≤f(x)min. 冪函數(shù)的圖像與性質  (1)(20xx蘭州模擬)已知冪函數(shù)f(x)=kxα的圖像過點,則k+α等于(  ) A. B.1 C. D.2 (2)若(2m+1)>(m2+m-1),則實數(shù)m的取值范圍是(  ) A. B. C.(-1,2) D. (1)C (2)D [(1)由冪函數(shù)的定義知k=1.又f=, 所以α=,解得α=,從而k+α=. (2)因為函數(shù)y=x的

14、定義域為[0,+∞), 且在定義域內為增函數(shù), 所以不等式等價于 解2m+1≥0,得m≥-; 解m2+m-1≥0,得m≤或m≥; 解2m+1>m2+m-1,得-1<m<2, 綜上所述,m的取值范圍是≤m<2.] [規(guī)律方法] 1.冪函數(shù)的形式是y=xα(α∈R),其中只有一個參數(shù)α,因此只需一個條件即可確定其解析式. 2.在區(qū)間(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖像越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+∞)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖像越遠離x軸. [變式訓練2] (1)設a=0.5,b=0.9,c=log50.3,則a,b,c的大小關系是(  ) A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c (2)若(a+1) <(3-2a),則實數(shù)a的取值范圍是________. (1)D (2) [(1)a=0.5=0.25,b=0.9,所以根據(jù)冪函數(shù)的性質知b>a>0,而c=log50.3<0,所以b>a>C. (2)易知函數(shù)y=x的定義域為[0,+∞),在定義域內為增函數(shù),所以解得-1≤a<.]

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