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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 文 北師大版

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第四節(jié) 數(shù)列求和 [考綱傳真] 1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見(jiàn)的求和方法. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第74頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.公式法 (1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式: Sn==na1+d; (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式: Sn= 2.分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng),使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列,再求解. 3.裂項(xiàng)相消法 (1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得

2、其和. (2)裂項(xiàng)時(shí)常用的三種變形: ①=; ②==; ③=-. 4.錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解. 5.倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解. 6.并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如an=(-1)nf(n)類(lèi)型,可采用兩項(xiàng)合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12 =(100+99)+(98+

3、97)+…+(2+1)=5 050. [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項(xiàng)和Sn=.(  ) (2)當(dāng)n≥2時(shí),=.(  ) (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.(  ) (4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列,那么Skm=mSk.(  ) [答案] (1)√ (2)√ (3) (4)√ 2.(教材改編)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an=,則S5等于(  )

4、A.1           B. C. D. B [∵an==-, ∴S5=a1+a2+…+a5=1-+-+…-=.] 3.(20xx開(kāi)封模擬)已知等比數(shù)列{an}中,a2a8=4a5,等差數(shù)列{bn}中,b4+b6=a5,則數(shù)列{bn}的前9項(xiàng)和S9等于(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090174】 A.9 B.18 C.36 D.72 B [∵a2a8=4a5,即a=4a5,∴a5=4, ∴a5=b4+b6=2b5=4,∴b5=2, ∴S9=9b5=18,故選B.] 4.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=_______

5、___. 2n+1-2+n2 [Sn=+=2n+1-2+n2.] 5.32-1+42-2+52-3+…+(n+2)2-n=__________. 4- [設(shè)S=3+4+5+…+(n+2), 則S=3+4+5+…+(n+2). 兩式相減得S=3+-. ∴S=3+- =3+-=4-.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第74頁(yè)) 分組轉(zhuǎn)化求和  (20xx北京高考)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和. [解] (1)設(shè)等比數(shù)列

6、{bn}的公比為q,則q===3, 所以b1==1,b4=b3q=27,所以bn=3n-1(n=1,2,3,…). 2分 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為D. 因?yàn)閍1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(n=1,2,3,…). 5分 (2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 7分 從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 =+=n2+. 12分 [規(guī)律方法] 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型 (1)若an =bn

7、cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和. (2)通項(xiàng)公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和. 易錯(cuò)警示:注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的分類(lèi)討論. [變式訓(xùn)練1] (20xx浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通項(xiàng)公式an; (2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和. [解] (1)由題意得則 2分 又當(dāng)n≥2時(shí),由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an, 所以數(shù)列{an

8、}的通項(xiàng)公式為an=3n-1,n∈N*. 5分 (2)設(shè)bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,則b1=2,b2=1. 當(dāng)n≥3時(shí),由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 8分 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則T1=2,T2=3, 當(dāng)n≥3時(shí),Tn=3+-=, 所以Tn= 12分 裂項(xiàng)相消法求和  (20xx鄭州模擬)若An和Bn分別表示數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)的和,對(duì)任意正整數(shù)n,an=2(n+1),3An-Bn=4n. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)記cn=,求{cn}的前n項(xiàng)和Sn. [解] (1)由于an=2(n

9、+1),∴{an}為等差數(shù)列,且a1=4. 2分 ∴An===n2+3n, ∴Bn=3An-4n=3(n2+3n)-4n=3n2+5n, 當(dāng)n=1時(shí),b1=B1=8, 當(dāng)n≥2時(shí),bn=Bn-Bn-1=3n2+5n-[3(n-1)2+5(n-1)]=6n+2.由于b1=8適合上式,∴bn=6n+2. 5分 (2)由(1)知cn== =, 7分 ∴Sn= = =-. 12分 [規(guī)律方法] 1.裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng),使這些裂開(kāi)的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵捎,要注意消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),從而達(dá)到求和的目的. 2.消項(xiàng)

10、規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng). [變式訓(xùn)練2] (20xx全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090175】 [解] (1)因?yàn)閍1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故當(dāng)n≥2時(shí), a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1), 2分 兩式相減得(2n-1)an=2, 所以an=(n≥2). 4分 又由題設(shè)可得a1=2,滿(mǎn)足上式, 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=. 6分 (2)記

11、的前n項(xiàng)和為Sn. 由(1)知==-, 9分 則Sn=-+-+…+-=. 12分 錯(cuò)位相減法求和  (20xx山東高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)令cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. [解] (1)由題意知當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=6n+5. 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=11,符合上式. 所以an=6n+5. 2分 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為D. 由即 解得所以bn=3n+1. 5分 (2)由(1)知cn==3(n+1)2n+1

12、. 7分 又Tn=c1+c2+…+cn, 得Tn=3[222+323+…+(n+1)2n+1], 2Tn=3[223+324+…+(n+1)2n+2], 9分 兩式作差,得-Tn=3[222+23+24+…+2n+1-(n+1)2n+2] =3 =-3n2n+2,所以Tn=3n2n+2. 12分 [規(guī)律方法] 1.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比,若{bn}的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論. 2.在書(shū)寫(xiě)“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)

13、應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,即公比q的同次冪項(xiàng)相減,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和. [變式訓(xùn)練3] (20xx天津高考)已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和(n∈N*). [解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q. 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12. 而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=-3或q=2. 又因?yàn)閝>0,所以q=2.

14、所以bn=2n. 3分 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①. 由S11=11b4,可得a1+5d=16.②, 聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3, 由此可得an=3n-2. 6分 所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n. (2)設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.由a2n=6n-2, 得Tn=42+1022+1623+…+(6n-2)2n, 2Tn=422+1023+1624+…+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1. 8分 上述兩式相減,得 -Tn=42+622+623+…+62n-(6n-2)2n+1=-4-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16, 10分 所以Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以,數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為(3n-4)2n+2+16. 12分

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