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高考數(shù)學(xué)理二輪專題復(fù)習(xí)檢測(cè)第二篇 專題滿分突破 專題三 三角函數(shù)及解三角形:課時(shí)鞏固過(guò)關(guān)練九 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)鞏固過(guò)關(guān)練(九) 三角恒等變換與解三角形             一、選擇題 1.(20xx甘肅臨夏期中)已知sinα=+cosα,且α∈,則的值為(  ) A. B.- C. D.- 解析:∵sinα=+cosα,∴sinα-cosa=.兩邊平方可得:1-2sinαcosα=,∴2sinαcosα=,∴1+2sinαcosα=,∴(sinα+cosα)2=.∵α∈,∴sinα+cosα=. ∴== -(sinα+cosα)=-. 答案:B 2.在△ABC中

2、,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,f(B)=4cosBsin2+cos2B-2cosB,若f(B)=2,則角B為(  ) A. B. C. D. 解析:由已知f(B)=4cosB+cos2B-2cosB=2cosB(1+sinB)+cos2B-2cosB=2cosBsinB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin,∵f(B)=2,∴sin=1.又<2B+<π,∴2B+=,∴B=. 答案:A 3.(20xx山東煙臺(tái)一調(diào))如果將直角三角形三邊增加同樣的長(zhǎng)度,則新三角形的形狀為(  ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.由增加的長(zhǎng)度決定 解析:設(shè)直角三角形三邊分

3、別為a,b,c,其中c為斜邊,增加的長(zhǎng)度為d,由已知a2+b2=c2,在新三角形中,由余弦定理可得cosC==>0.又邊長(zhǎng)c+d為最長(zhǎng)邊,故角C最大且為銳角,∴新三角形為銳角三角形. 答案:A 4.在銳角△ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若2asinB=b,則角A等于(  ) A. B. C. D. 解析:由2asinB=b及正弦定理可得2sinAsinB=sinB,即sinA=,結(jié)合0

4、形 C.鈍角三角形 D.不確定 解析:由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,即sin(B+C)=sin2A,即sinA=1,∴A=,故選A. 答案:A 6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a≠b,c=,sinA=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB,則△ABC的面積為(  ) A. B. C. D. 解析:由題意得,-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,sin=sin,由a≠b得A≠B,又A+B∈(0,π),∴2A-+2B-=π,即A+B=,∴C=.由c=,

5、sinA=,=得a=,由a8 B.a(chǎn)c(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 解析:由題設(shè)得sin2A+sin(π-2B)=sin(2C-π)+?sin2A+sin2B+sin2C=?sin2π-(2B+

6、2C)]+sin2B+sin2C=?sin2B+sin2C-sin(2B+2C)=?sin2B(1-cos2C)+sin2C(1-cos2B)=?4sinBsinC(sinBcosC+cosBsinC)=?sinAsinBsinC=.由三角形面積公式S=absinC及正弦定理得S=4R2sinAsinBsinC,∴R2=4S,又1≤S≤2,∴4≤R2≤8,∴bc(b+c)=abc=8R3sinAsinBsinC>R3恒成立,∴bc(b+c)>8.故選A. 答案:A 二、填空題 8.(20xx江西吉安期中)在△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),若△ABD是等邊三角形,且AC=4,則△ADC的面積

7、的最大值為__________. 解析:在△ACD中,cos∠ADC===-,整理得AD2+CD2=48-ADDC≥2ADDC,∴ADDC≤16,當(dāng)AD=CD時(shí)等號(hào)成立, ∴△ADC的面積S=ADDCsin∠ADC=ADDC≤4,故答案為4. 答案:4 9.(20xx北京高考)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則=__________. 解析:====1. 答案:1 10.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,則=__________. 解析:∵bcosC+ccosB=2b,由邊角互化得sinBcosC+sinCcosB=2

8、sinB,即sin(B+C)=2sinB,即sinA=2sinB,∴a=2b?=2. 答案:2 三、解答題 11.(20xx江西高安段考)如圖,在等腰直角三角形OPQ中,∠POQ=90,OP=2,點(diǎn)M在線段PQ上. (1)若OM=,求PM的長(zhǎng); (2)若點(diǎn)N在線段MQ上,且∠MON=30,問(wèn):當(dāng)∠POM取何值時(shí),△OMN的面積最小?并求出面積的最小值. 解:(1)在△OPQ中,∠OPQ=45,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+PM2-2OPPMcos45,得PM2-4PM+3=0,解得PM=1或PM=3. (2)設(shè)∠POM=α,0≤α≤60,在△OMP中,由正

9、弦定理,得=,所以O(shè)M==,同理ON=. S△OMN=OMONsin∠MON = = =. ∵0≤α≤60,30≤2α+30≤150,∴當(dāng)α=30時(shí),sin(2α+30)的最大值為1,此時(shí)△OMN的面積取到最小值.即∠POM=30時(shí),△OMN的面積的最小值為8-4. 12.如圖,港口A在港口O的正東120海里處,小島B在港口O的北偏東60的方向,且在港口A北偏西30的方向上.一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā),沿北偏東30的OD方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口O.一艘給養(yǎng)快艇從港口A以60海里/小時(shí)的速度駛向小島B,在B島轉(zhuǎn)運(yùn)補(bǔ)給物資后以相同的航速送往科考船.已知兩船同時(shí)出發(fā),補(bǔ)給裝船時(shí)

10、間為1小時(shí). (1)求給養(yǎng)快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間; (2)給養(yǎng)快艇駛離港口A后,最少經(jīng)過(guò)多少時(shí)間能和科考船相遇? 解:(1)由題意知,在△OAB中,OA=120,∠AOB=30,∠OAB=60.于是AB=60,而快艇的速度為60海里/小時(shí),所以快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間為1小時(shí). (2)由(1)知,給養(yǎng)快艇從港口A駛離2小時(shí)后,從小島B出發(fā)與科考船匯合.為使航行的時(shí)間最少,快艇從小島B駛離后必須按直線方向航行,設(shè)t小時(shí)后恰與科考船在C處相遇.在△OAB中,OA=120,∠AOB=30,∠OAB=60,所以O(shè)B=60,而在△OCB中,BC=60t,OC=20(2+t),∠BOC=30,由余弦定理,得BC2=OB2+OC2-2OBOCcos∠BOC,即(60t)2=(60)2+20(2+t)]2-26020(2+t),即8t2+5t-13=0,解得t=1或t=-(舍去).故t+2=3.即給養(yǎng)快艇駛離港口A后,最少經(jīng)過(guò)3小時(shí)能和科考船相遇.

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