《高考數(shù)學(xué)理二輪專題復(fù)習(xí)檢測(cè)第二篇 專題滿分突破 專題五 立體幾何:課時(shí)鞏固過關(guān)練十四 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)理二輪專題復(fù)習(xí)檢測(cè)第二篇 專題滿分突破 專題五 立體幾何:課時(shí)鞏固過關(guān)練十四 Word版含解析(16頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
課時(shí)鞏固過關(guān)練(十四) 用空間向量的方法解立體幾何問題
一、選擇題
1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值為( )
A.1 B.
C. D.
解析:由題意知,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),∵ka+b與2a-b垂直,∴3(k-1)+2k-4=0,解得k=.
答案:D
2.(20xx四川巴中平昌期中)已知{i,j,k}是空間的一個(gè)單位正交基底,且=2i+k,=2j
2、,則△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是( )
A. B.
C.5 D.
解析:∵{i,j,k}是空間的一個(gè)單位正交基底,且=2i+k,=2j(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),∴=(2,0,1),=(0,2,0),∴=0,∴⊥,∴△OAB的面積S=||||=2=.
答案:D
3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點(diǎn)M在棱AC1上,=,點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn),則|MN|等于( )
A.a B.a
C.a D.a
解析:∵=-=-=+-(++)=+-,又,,兩兩互相垂直,∴||==a.故選A.
答案:A
4.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別在A1D,AC上
3、,且A1E=A1D,AF=AC,則( )
A.EF至多與A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF與BD1相交
D.EF與BD1異面
解析:以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F(xiàn),B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,==0,從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故選B.
答案:B
5.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則
4、點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是( )
A. B.
C. D.
解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),∴=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0),設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則令x=1,則n=(1,-1,-1),∴點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是d===.
答案:D
6.(20xx四川雅安月考)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
解
5、析:直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),如圖,取BC的中點(diǎn)為O,連接ON,MN綊B1C1綊OB,則MNOB是平行四邊形,BM與AN所成角就是∠ANO.∵BC=CA=CC1,設(shè)BC=CA=CC1=2,∴CO=1,AO=,AN=,MB===,在△ANO中,由余弦定理可得cos∠ANO===.故選C.
答案:C
7.(20xx黑龍江大慶期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,∠ACB=90,∠BAC=30,BC=1,且三棱柱ABC-A1B1C1的體積為3,則三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面積為( )
A.16π B.2
6、
C.π D.32π
解析:如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中側(cè)棱垂直于底面,設(shè)側(cè)棱長為a,又三棱柱的底面為直角三角形,BC=1,∠BAC=30,∴AC=,AB=2,∴三棱柱的體積V=1a=3,
∴a=2,△ABC的外接圓半徑為AB=1,三棱柱的外接球的球心為上、下底面直角三角形斜邊中點(diǎn)連線的中點(diǎn)O,∴外接球的半徑R==2,∴外接球的表面積S=4π22=16π.故選A.
答案:A
二、填空題
8.(20xx河北衡水武邑期中)已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1,設(shè)=a,=b,=c,則=__________.
解析:取CC1的中點(diǎn)E,連接AC,AE.因?yàn)檎襟w
7、ABCD-A′B′C′D′的棱長為1,設(shè)=a,=b,=c,則a+b+c=++=.所以=||===.
答案:
三、解答題
9.如圖所示的多面體中,AD⊥平面PDC,ABCD為平行四邊形,E為AD的中點(diǎn),F(xiàn)為線段BP上一點(diǎn),∠CDP=120,AD=3,AP=5,PC=2.
(1)試確定點(diǎn)F的位置,使得EF∥平面PDC;
(2)若BF=BP,求直線AF與平面PBC所成的角的正弦值.
解:(1)如圖,令F為線段BP的中點(diǎn),取PC的中點(diǎn)O,連接FO,DO,∵F,O分別為BP,PC的中點(diǎn),∴FO綊BC.∵四邊形ABCD為平行四邊形,ED綊BC,∴FO綊ED,∴四邊形EFOD是平行四邊形
8、,∴EF∥DO.∵EF?平面PDC,DO?平面PDC,∴EF∥平面PDC.
(2)以DC為x軸,過D點(diǎn)作DC的垂線為y軸,DA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵AD⊥平面PDC,DP?平面PDC,∴AD⊥DP.∵AD=3,AP=5,∴DP=4.在△PDC中,由PD=4,PC=2,∠CDP=120,及余弦定理,得CD=2,則D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P(-2,2,0),A(0,0,3),設(shè)F(x,y,z),則=(x-2,y,z-3)==,∴F,=.設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量n=(a,b,c),=(0,0,3),=(4,-2,0),由得令b=1,可得n=,∴cos〈,n〉
9、==,∴直線AF與平面PBC所成的角的正弦值為.
10.(20xx河北石家莊模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,∠ABC=∠BAD=90,AP=AD=AB=,BC=t,∠PAB=∠PAD=α.
(1)當(dāng)t=3時(shí),試在棱PA上確定一點(diǎn)E,使得PC∥平面BDE,并求出此時(shí)的值;
(2)當(dāng)α=60時(shí),若平面PAB⊥平面PCD,求此時(shí)棱BC的長.
解:(1)解法一:連接AC,BD交于點(diǎn)F,在平面PCA中作EF∥PC交PA于E,連接DE,BE.因?yàn)镻C?平面BDE,EF?平面BDE,所以PC∥平面BDE.因?yàn)锳D∥BC,所以==,因?yàn)镋F∥PC,所以==.
解法二:在棱
10、PA上取一點(diǎn)E,使得=,連接AC,BD交于點(diǎn)F,因?yàn)锳D∥BC,所以==,所以=,所以EF∥PC,因?yàn)镻C?平面BDE,EF?平面BDE,所以PC∥平面BDE.
(2)取BC上一點(diǎn)G,使得BG=,連接DG,則四邊形ABGD為正方形.過P作PO⊥平面ABCD,垂足為O.連接OA,OB,OD,OG.因?yàn)锳P=AD=AB,∠PAB=∠PAD=60,所以△PAB和△PAD都是等邊三角形,因此PA=PB=PD,所以O(shè)A=OB=OD,即點(diǎn)O為正方形ABGD對(duì)角線的交點(diǎn),所以O(shè)G,OB,OP兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則O(0,0,0)
11、,P(0,0,1),A(-1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),G(1,0,0),C,故=(-1,0,-1),=(0,1,-1),=,=(0,-1,-1).
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1),則即不妨令x1=-1,可得m=(-1,1,1)為平面PAB的一個(gè)法向量.設(shè)平面PCD的法向量為n=(x2,y2,z2),則即不妨令y2=1,可得n=為平面PCD的一個(gè)法向量.由mn=0.解得t=2,∴BC=2.
11.(20xx北京昌平期末)在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD為等邊三角形,AB=AD=CD,AB⊥AD,AB∥CD,點(diǎn)M是PC的
12、中點(diǎn).
(1)求證:MB∥平面PAD;
(2)求二面角P-BC-D的余弦值;
(3)在線段PB上是否存在點(diǎn)N,使得DN⊥平面PBC?若存在,請(qǐng)求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)取PD中點(diǎn)H,連接MH,AH.∵M(jìn)為PC的中點(diǎn),∴HM∥CD,HM=CD.∵AB∥CD,AB=CD.∴AB∥HM且AB=HM.∴四邊形ABMH為平行四邊形,∴BM∥AH.∵BM?平面PAD,AH?平面PAD,∴BM∥平面PAD.
(2)取AD的中點(diǎn)O,連接PO.∵PA=PD,∴PO⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,∴PO⊥平面ABCD.取BC的中
13、點(diǎn)K,連接OK,則OK∥AB.以O(shè)為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,4,0),D(-1,0,0),P(0,0,),=(-2,2,0),=(1,2,-).平面BCD的一個(gè)法向量=(0,0,),設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量n=(x,y,z),由得令x=1,則n=(1,1,).cos〈,n〉==.由題圖可知,二面角P-BC-D是銳二面角,∴二面角P-BC-D的余弦值為.
(3)不存在.設(shè)點(diǎn)N(x,y,z),且=λ,λ∈0,1],則=λ,∴(x,y,z-)=λ(1,2,-).則∴N(λ,2λ,-λ),=(λ+1,2λ,-λ).若DN⊥平面PBC,則∥n,即λ+1=2λ=,此方程無解,∴在線段PB上不存在點(diǎn)N,使得DN⊥平面PBC.