3、
②軸限角及其集合表示:
軸限角
軸限角的集合表示
終邊在X軸上的和
{a|a=k7i, kwZ }:
終邊在y軸上的角
{a|a=k7t+y, kZ );
終邊在坐標軸上的角
k兀 、
{a|a= —, kez }
2. 終邊相同的角
終邊相同的角是指與某個角a具有同終邊的所有角,它們彼此相差2kn(kez),即卩w{B住!Ji +4 kWZ},根據(jù)三角函數(shù)的定義,終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。
3. 弧度制
(1) 1弧度的角
長度等于半徑長的狐所對的闘心角叫做1弧度的角,用符號KK1表示。角有正負零角之分,它的弧度 數(shù)也應(yīng)該有正負零Z分,如-7T.
4、-2n等等,一般地,正和的弧度數(shù)是一個正數(shù),負角的弧度數(shù)是一個負數(shù), 零角的狐度數(shù)是0,角的正負主耍苗角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。
(2) 角a的呱度數(shù)
如果半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,那么角a的弧度數(shù)的絕對值是問=?.
(3) 弧度與角度互換公式:1說=蘭2。心57.30七5718、1。=工=0.01745 (rad)。
n 180
(4) 弧長、扇形面積的公式
弧長公式:l=\a\r (a是圓心角的弧度數(shù)),
扇形面積公式:lr = -\a\r2.
2 2
4. 三角函數(shù)定義
在a的終邊上任取一點P(a.b),它與原點的距離r = >Ja2+b2 > 0 .過P作x軸
5、的垂線,垂足為M,則
MP b OM a MP b
線段OM 的長度為-線段MP 的長度為/?.WiJsina = —= -; cosa = —= -; tana = —= -o
OP r OP r OM a
利用單位圓左義任意角的三角函數(shù),設(shè)q是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么:
(l) y叫做a的止眩,記做sin a,即sin a = y ;
⑵x叫做a的余弦,記做cosa Jl|J cos a = x;
三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的齊種三角函數(shù)值的種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解 決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時,十分方
6、便。
以坐標原點為圓心,以單位長度1為半徑畫一個圜,這個圜就叫做單位圜(注意:這個單位長度不- 定就是1厘米或1米)。當(dāng)角a為第一彖限角時,則其終邊與單位圓必有一個交點P(x,刃,過點P作
PM丄兀軸交兀軸于點M,根據(jù)三角函數(shù)的定義:丨MP kl y hl sin I ; \OM 1=1兀l=lco&l。
我們知道,指標坐標系內(nèi)點的坐標與坐標軸的方向有關(guān).當(dāng)角Q的終邊不在坐標軸時,以0為始點、M 為終點,規(guī)定:
當(dāng)線段OM與a■軸同向時,的方向為正向,且有正值兀;當(dāng)線段OM與兀軸反向時,OM的方 向為負向,且有正值兀:其中兀為P點的橫坐標.這樣,無論那種情況都有:OM =x = co
7、sa
同理,當(dāng)角&的終邊不在兀軸上時,以M為始點、P為終點、,
規(guī)定:當(dāng)線段A/D與y軸同向時,的方向為止向,且有止值y;當(dāng)線段MP與y軸反向時,MP
的方向為負向,且有正直y:其中y為P點的橫坐標。這樣,無論那種情況都有:MP = y = s\nct。像
MP、這種被看作帶有方向的線段,叫做有向線段。
如上圖,過點A(l,())作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與Q的終邊交丁?點7\請根據(jù)正切函
數(shù)的定義與和似三角形的知識,借助有向線段04、人八我們有:tuna = AT = ^-
兀
(1)平方關(guān)系:sin2a+cos2a=l; (2)商數(shù)關(guān)系:
sin a
8、=tan a
cos a
我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM AT ,分別叫做角&的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱 為三角函數(shù)線。
三角函數(shù)
正弦
余弦
正切
定義
設(shè)a是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么
y叫做a的正弦,記作sina
x叫做a的余弦,記作cosa
y/x叫做a的正切,記作tana
各象限 符號
I
+
+
+
II
+
-
-
III
-
-
+
IV
-
+
-
口訣
一全正,二正弦,三正切,四余弦
終邊相同角三 角函數(shù)值(kGZ)
(公式一)
sin(a+k-2 7t)=
9、sina
cos(a+k-2n)=cosa
tan(a+k-27t)=tana
爲
三角函數(shù)線
有向線段MP為正弦線
有向線段0M為余弦線
有向線段AT為正切線
注:根據(jù)三角函數(shù)的定義,尸sinx在各象限的符號與此彖限點的縱坐標符號相同:y二cosx在各象限的符號 與此象限點的橫坐標符號相同;y=tanx在各象限的符號與此彖限點的縱坐標與橫坐標商的符號相同。
6.同角三角函數(shù)的基木關(guān)系
【題型梳理】
1. 三角函數(shù)的定義
※相關(guān)鏈接※
(1) 己知角a終邊上上點P的坐標,則可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解:
(2) 己知角a的終邊所在
10、的直線方程,則可先設(shè)出終邊1:一點的坐標,求出此點到原點的距離,然后用 三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題,若直線的傾斜角為特殊角,也可直接寫出角的a值。
注:若角a的終邊落在莫條直線上,一般要分類討論。
K例13已知角a的終邊落在直線3x+4y=0 I*.,求sina,cosa,tana的值。
2. 象限角、三角函數(shù)值符號的判斷
※相關(guān)鏈接※
(1) 熟記各個三角函數(shù)在每個彖限內(nèi)的符號是關(guān)鍵;
(2) 判斷三角函數(shù)值的符號就是耍判斷角所在的象限;
(3) 對丁?已知三角函數(shù)式的符號判斷角所在象限,可先根據(jù)三角函數(shù)式的符號確定三角函數(shù)值的符號, 再判斷角所在象限。
K例2》(1)如果點
11、P (sin0 cosO,2cos0)位于第三象限,試判斷角8所在的象限;
sin(cos^)
(2)若B是第二象限和,則一 的符號是什么?
3. 已知a所在象限,求~(n >2,neN)所在象限 n
※相關(guān)鏈接※
a
(1)由a所在象限,確定匚所在象限的方法
a
①由a的范圍,求出;■的范圍:
a
② 通過分類討論把角寫成8+k?360?的形式,然后判斷匚所在象限。
a
(2)由a所在象限,確定三■所在象限,也可用如下方法判斷:
① 畫出區(qū)域:將坐標系每個象限二等分,得8個區(qū)域;
② 標號:自x軸正向逆時針方向把每個區(qū)域依次標上I , II, III, IV (如
12、圖所示);
致的區(qū)域,即為所求。
a
(3)由a所在象限,確定所在象限,也可用如下方法判斷:
① 畫出區(qū)域:將坐標系每個象限三等分,得到12個區(qū)域;
② 標號:自x軸正向逆時針方向把每個區(qū)域依次標上I , II, III, IV (如圖所示):
③ 確定區(qū)域:找出與角a所在象限標號一致的區(qū)域,即為所求。 ※例題解析※
K例3》若a是第二象限角,
a a
試分別確定2a、二、亍的終邊所在位置
4. 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用
1
K例4』己知(X是三角形的內(nèi)角,且sina+cosa=|. (1)求uma的值(2)把cos^Q — sina用tana 表示出
13、來,并求其值。
注(1)對于sina+cosa. sinacosa, sina-cosa這三個式子,已知其中一個式了的值,其余二式的值可求。 轉(zhuǎn)化的公式為⑸nacosa)2=l 2 sinacosa; (2)關(guān)于sina, cosa的齊次式,往往化為關(guān)于tanx的式了。
5. 扇形的弧長、面積公式的應(yīng)用
K例5》己知一扇形的圓心角是a,所在圓半徑是R。
(1) 若a=60, R=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積。
(2) 若扇形的周長是一定值C (C>0),當(dāng)a是多少弧度時,該扇形有最大面積?
二、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
【知識梳理】
2.六組誘導(dǎo)公式
組數(shù)
14、―?
二
三
四
五
角
2k n +a
(kez)
7i+a
-a
7i-a
71
?a
71 —+a
2
正弦
sina
-sina
-sina
sina
cosa
cosa
余弦
cosa
? cosa
cosa
-cosa
sina
-sina
正切
tana
tana
-tana
-tana
口訣
函數(shù)名不變 符號看象限
函數(shù)名改變 符號看象限
注:誘導(dǎo)公式可概括為% ? ■士a的各三角函數(shù)值的化簡公式。記憶規(guī)律是:奇變偶不變,符號看象限。
其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳?yīng)
15、的余名函數(shù);若是偶數(shù)倍,則函數(shù)名稱不變, 符號看象限是指把a看成銳角時原函數(shù)值的符號作為結(jié)果的符號。
【題型梳理】
1. 三角函數(shù)式的化簡
※相關(guān)鏈接※
(1)cr + 2M^eZ), -a, ~a的三和函數(shù)值是化簡的主要工具。使用誘導(dǎo)公式前,要正
確分析角的結(jié)構(gòu)特點,然后確定使用的誘導(dǎo)公式;
(2) 不能直接使用誘導(dǎo)公式的角通過適當(dāng)?shù)慕堑淖儞Q化為能使用誘導(dǎo)公式的角,
5 ,71
如:二龍+ & = 2龍+(空+ 0)等。
注:若Rtf I a出現(xiàn)時,要分&為奇數(shù)和偶數(shù)討論。
(3) 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是:負化正,大化小,化到銳角為終了。特殊角能求值則求值;
(4) 化簡
16、是一種不能指定答案的恒等變形,化簡結(jié)果要盡可能使項數(shù)少、函數(shù)的種類少、次數(shù)低、能求 出值的要求出值、無根式、無分式等。
sin伙兀一a)cos[(k-l)^-a] 、
K例1』化簡:
(k g Z) sin[(R +l)7r + a]cos 伙;r + a)
2. 三角函數(shù)的求值
※相關(guān)鏈接※
(1) 六個誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系是求值的基礎(chǔ):
(2) 已知一個角的三角函數(shù)值,求其他角三角函數(shù)值時,要注意對角化簡,一般是把已知和所求同時化 簡,化為同一個角的三角函數(shù),然后求值。
冗 兀 sin(/r-a) + cos(Q + 7r)
K例2』已知cos(—+ q) =
17、2sin(a ), 求 石 的值。
2 2 5cos(-^--a) + 3sin(T-a)
3. 誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用
K例 3》在4ABC 中,若 sin(2 n-A)=-V2 sin( n-p), V3cosA=-V2 cos( n-0),求 A ABC 的三內(nèi)角。
注:在AABC中常用的變形結(jié)論有:
A B C 兀
VA+B+C=tc, 2A+2B+2C=27t, y + y + y =—,
sin(A +B)=sin(7r-C)=sinC; cos(A+B)=cos(7t-C)=-cosC; tan(A+B)=tan(n-C)=-tanC;
sin(2A+2B)=s
18、in(2 兀-2C)=-sin2C; cos(2A+2B)= cos(2n-2C)=cos2C; tan(2A+2B)=tan(27i-2C)=-tan2C;
AB 7i sin(y + y)=sin(y
A B 7C C C
cos( y+ y )=cos( — )=sin —.
以?上結(jié)論應(yīng)在熟練應(yīng)用的基礎(chǔ)上加強記憶。
K例 4》是杏存在 aS ( , y ), pG (0, 7t)f i?式 sin(3z)=血 cos(亍卩),^3 cos(-a)= cos(7t+p)
同時成立?若存在,求岀a,卩的值;若不存在,請說明理由。
注:已知角a的三角函數(shù)值求角a的?般步驟是:
(1) 由三角函數(shù)值的符號確定角a所卞的彖限:
(2) 據(jù)角a所在的象限求出角a的最小一正角;
(3) 最后利用終邊相同的角弓出角a的一般表達式。