《2008年考研高數一真題(共17頁)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2008年考研高數一真題(共17頁)（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上 2008年考研數學一試題分析、詳解和評注 一、選擇題：(本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內) （1）設函數，則的零點個數為【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】應選(B). 【詳解】． 顯然在區(qū)間上連續(xù)，且，由零點定理，知至少有一個零點． 又，恒大于零，所以在上是單調遞增的．又因為，根據其單調性可知，至多有一個零點． 故有且只有一個零點．故應選(B). （2）函數在點

2、(0,1)處的梯度等于【 】 (A) (B) . (C) . (D) .　 【答案】 應選(A). 【詳解】因為．． 所以，，于是.故應選(A). （3）在下列微分方程中，以（為任意的常數）為通解的是【 】 (A) . (B) . (C) . (D) .　 【答案】 應選(D). 【詳解】由，可知其特征根為 ，，故對應的特征值方程為 所以所求微分方程為．應選(D). （4）設函數在內單調有界，為數列，下列命題正確的是【

3、 】． (A) 若收斂，則收斂 (B) 若單調，則收斂 (C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調，則收斂. 【答案】 應選(B). 【詳解】若單調，則由函數在內單調有界知，若單調有界，因此若收斂．故應選(B). （5）設為階非零矩陣，為階單位矩陣．若，則【 】 則下列結論正確的是： (A) 不可逆，則不可逆. (B) 不可逆，則可逆. (C) 可逆，則可逆. (D) 可逆，則不可逆. 【答案】應選(C). 【詳解】故應選(C). ，． 故，均可逆．故應選(C). （6）設為3階實對稱

4、矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標準方程的圖形如圖，則的正特征值個數為【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.　 【答案】 應選(B). 【詳解】此二次曲面為旋轉雙葉雙曲面，此曲面的標準方程為．故的正特征值個數為1．故應選(B). （7） 設隨機變量獨立同分布且的分布函數為，則的分布函數為【 】 (A) . (B) . (C) . (D) . 【答案】應選(A)． 【詳解】 ．故應選(A)． （8）設隨機變量, , 且相關系數，則【 】 (A)

5、 (B) (C) (D) 【答案】應選 (D)． 【詳解】用排除法．設．由，知，正相關，得．排除（A）和（C）．由，，得 ． ，．從而排除(B).故應選 (D)． 二、填空題：(9－14小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.) （9）微分方程滿足條件的解是 . 【答案】 應填． 【詳解】由，得．兩邊積分，得． 代入條件，得．所以． （10）曲線在點的切線方程為 . 【答案】 應填． 【詳解】設，則 ，，

6、 ，．于是斜率． 故所求得切線方程為． （11）已知冪級數在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數的收斂域為 . 【答案】 ． 【詳解】由題意，知的收斂域為，則的收斂域為．所以的收斂域為． (12)設曲面是的上側，則 . 【答案】 ． 【詳解】作輔助面取下側．則由高斯公式，有 ． ． (13) 設為2階矩陣，為線性無關的2維列向量，，．則的非零特征值為___________. 【答案】應填1． 【詳解】根據題設條件，得． 記，因線性無關，故是可逆矩陣．因此 ，從而．記，則與相似，從而有相同的特征值． 因為，，．故的非零特征值

7、為1． (14) 設隨機變量服從參數為1的泊松分布，則____________． 【答案】應填. 【詳解】因為服從參數為1的泊松分布，所以．從而由得．故． 三、解答題：(15－23小題，共94分. ) (15)(本題滿分10分) 求極限 【詳解1】 ＝ (或，或) ． 【詳解2】 ＝（或） ． （16）(本題滿分9分) 計算曲線積分，其中是曲線上從到 的一段． 【詳解1】按曲線積分的計算公式直接計算． ． 【詳解2】添加輔助線，按照Green公式進行計算． 設為軸上從點到的直線段．是與L圍成的區(qū)域 ． 因為

8、故 【詳解3】令 對于，記．因為，故與積分路徑無關． ． 對于， ． 故 17（本題滿分11分）已知曲線求上距離面最遠的點和最近的點． 【詳解1】 點到面的距離為，故求上距離面最遠的點和最近的點的坐標等價于求函數在條件下的最大值點和最小值點． 構造拉格朗日函數 ， 由 得， 從而解得或 根據幾何意義，曲線上存在距離面最遠的點和最近的點，故所求點依次為和． 【詳解2】 點到面的距離為，故求上距離面最遠的點和最近的點的坐標等價于求函數在條件下的最大值點和最小值點． 構造拉格朗日函數 ， 由 得，從而． 解得 或 根

9、據幾何意義，曲線上存在距離面最遠的點和最近的點，故所求點依次為和． 【詳解3】由得 代入，得 所以只要求的最值． 令，得，解得．從而 或 根據幾何意義，曲線上存在距離面最遠的點和最近的點，故所求點依次為和． （18）(本題滿分10分) 設是連續(xù)函數， （I）利用定義證明函數可導，且； （II）當是以2為周期的周期函數時，證明函數也是以2為周期的周期函數． （I）【證明】 【注】不能利用L’Hospital法則得到． (II) 【證法1】根據題設，有 ， ． 當是以2為周期的周期函數時，． 從而 ．因而 ． 取得，，故 ． 即是以2

10、為周期的周期函數． 【證法2】根據題設，有 ， ． 對于，作換元，并注意到，則有 ， 因而 ． 于是 ． 即是以2為周期的周期函數 【證法3】根據題設，有 ， ． 當是以2為周期的周期函數時，必有 ． 事實上 ， 所以 ． 取得，． 所以 ． 即是以2為周期的周期函數 (19)(本題滿分11分) 將函數展開成余弦級數，并求級數的和． 【詳解】將作偶周期延拓，則有． ． ． 所以，． 令x=0，有 又，所以． （20）(本題滿分10分) 設為3維列向量，矩陣，其中分別是得轉置．證明： （I） 秩；

11、 （II） 若線性相關，則秩． 【詳解】（I）【證法1】． 【證法2】因為，為矩陣，所以． 因為為3維列向量，所以存在向量，使得 于是 所以有非零解，從而． 【證法3】因為，所以為矩陣． 又因為， 所以 故 ． （II）【證法】由線性相關，不妨設．于是． (21) (本題滿分12分)． 設元線性方程組，其中 ，，． （I）證明行列式； （II）當為何值時，該方程組有惟一解，并求． （III）當為何值時，該方程組有無窮多解，并求其通解． 【詳解】（I）【證法1】數學歸納法．記 以下用數學歸納

12、法證明． 當時，，結論成立． 當時，，結論成立． 假設結論對小于的情況成立．將按第一行展開得 故 ． 【注】本題（1）也可用遞推法．由得，．于是 （I）【證法2】消元法．記 ． （II）【詳解】當時，方程組系數行列式，故方程組有惟一解．由克萊姆法則，將得第一列換成，得行列式為 所以，． （III）【詳解】 當時，方程組為 此時方程組系數矩陣得秩和增廣矩陣得秩均為，所以方程組有無窮多組解，其通解為 ，其中為任意常數． (22) (本題滿分11分) 設隨機變量與相互獨立，的概率密度為，的概率密度為 記． （I） 求； （II）求的概率密度. （I）【詳解】 解法1． 解法2． （II） 解法1． 解法2． （23）(本題滿分11分) 設是來自總體的簡單隨機樣本，記，，． （1）證明是的無偏估計量； （2）當時，求. 【詳解1】（1）首先是統(tǒng)計量．其次 對一切成立．因此是的無偏估計量． 【詳解2】（1）首先是統(tǒng)計量．其次 ， ， 對一切成立．因此是的無偏估計量． （2）解法2．根據題意，有，，． 于是，． 所以 專心---專注---專業(yè)