《八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)小結(jié)教案[共16頁(yè)]》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)小結(jié)教案[共16頁(yè)]（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、初中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) 第十一章　全等三角形　小結(jié) 一、全等形 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。 二、全等三角形 １、概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。 注意： （１）兩個(gè)三角形全等，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。 （２）“能夠完全重合”是指在一定的疊放下，可以完全重合，不是胡亂擺放都能重合。 ２、全等三角形的符號(hào)表示、讀法 △ＡＢＣ與△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等記作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”讀作“全等于”。 注意： （１）計(jì)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣對(duì)應(yīng)的兩個(gè)字母為端點(diǎn)的線(xiàn)段

2、是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)的三個(gè)字母表示的角是對(duì)應(yīng)角（若用一個(gè)字母表示一個(gè)角亦是如此）。 （２）對(duì)應(yīng)角夾的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊的夾角是對(duì)應(yīng)角。 （３）對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)三角形而言的，指兩條邊、兩個(gè)角的關(guān)系，而對(duì)邊、對(duì)角是指同一個(gè)三角形的邊和角的位置關(guān)系，對(duì)邊是與角相對(duì)的邊，對(duì)角是與邊相對(duì)的角。 ３、全等三角形的性質(zhì) 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。 ４、三角形全等的識(shí)別方法 （１）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”和“ＳＳＳ”。 （２）兩邊和他們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”和“ＳＡＳ”。 （３）兩角和他們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“

3、角邊角”和“ＡＳＡ”。 （４）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”和“ＡＡＳ”。 （５）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”和“ＨＬ”。 注意： ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。 ５、三角形全等的證明思路 　　　　　　　　　找?jiàn)A角——ＳＡＳ （１）已知兩邊　　找直角——ＨＬ 　　　　　　　　　找另一邊——ＳＳＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找邊的對(duì)角——ＡＡＳ （２）已知一邊一角　　邊為角的鄰邊　　找?jiàn)A角的另一

4、邊——ＳＡＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找?jiàn)A邊的另一角——ＡＳＡ 　　　　　　　　　　　邊為角的對(duì)邊——找任意一角——ＡＡＳ （３）已知兩角　　找?jiàn)A邊——ＡＳＡ 　　　　　　　　　找任意一邊——ＡＡＳ ６、全等變換 一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形的形狀一樣，大小相等，只是位置不同，我們稱(chēng)這個(gè)圖形是另一個(gè)圖形的全等變換，三種基本全等變換：（１）旋轉(zhuǎn)；（２）翻折；（３）平移。 三、角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理 １、性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 注意：（１）定理作用：a.證明線(xiàn)段相等；b.為證明三角形全等準(zhǔn)備條件。 （２）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)

5、度。 ２、逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線(xiàn)上。 ３、三角形的內(nèi)心 利用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可以導(dǎo)出：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)Ｉ，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它到三邊的距離相等。 說(shuō)明：（１）三角形三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離相等。 　　 （２）三角形兩個(gè)外角的角平分線(xiàn)也交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三邊所在的直線(xiàn)的距離相等。 　　 （３）三角形外角角平分線(xiàn)的交點(diǎn)共有３個(gè)，所以到三角形三邊所在的直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)共有４個(gè)。 第十二章　軸對(duì)稱(chēng)　小結(jié) 一、軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念： 如果一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)對(duì)折，對(duì)折的兩部分能完全重合，那么就稱(chēng)這樣

6、的圖形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸。這時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)（或軸）對(duì)稱(chēng)。 如：正方形、長(zhǎng)方形、圓形一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形；三角形、四邊形、梯形不一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形；平行四邊形一定不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。 注意： （１）一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不一定只有一條，如正方形有４條對(duì)稱(chēng)軸、長(zhǎng)方形有２條對(duì)稱(chēng)軸、圓形有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸、正三角形有３條對(duì)稱(chēng)軸、正n邊形有n條對(duì)稱(chēng)軸。 （２）軸對(duì)稱(chēng)圖形需要注意的重點(diǎn)：①一個(gè)圖形； ②沿一條直線(xiàn)折疊，對(duì)折的兩部分能完全重合（即重合到自身上）。 二、軸對(duì)稱(chēng)的概念： 　　把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)翻折過(guò)去，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，那么就說(shuō)這

7、兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸。兩個(gè)圖形中經(jīng)過(guò)翻折之后互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。 注意：（１）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個(gè)圖形，后者是一個(gè)圖形。 　?。ǎ玻┏奢S對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關(guān)。 三、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)： １、關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形是全等形； ２、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)； ３、兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上； ４、如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)被同一直線(xiàn)垂直平分，那么，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。 注意：（１）全

8、等的圖形不一定是軸對(duì)稱(chēng)的，軸對(duì)稱(chēng)的圖形一定是全等的。 （２）性質(zhì)４的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，它是作對(duì)對(duì)稱(chēng)圖形的主要依據(jù)。 四、軸對(duì)稱(chēng)作（畫(huà)）圖： １、畫(huà)圖形的對(duì)稱(chēng)軸 （１）觀(guān)察分析圖形，找出軸對(duì)稱(chēng)圖形的任意一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)； （２）連結(jié)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)； （３）畫(huà)出以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。 ２、如果一個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)點(diǎn)之間的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)就是該圖形的對(duì)稱(chēng)軸。 注意： 對(duì)于（１）來(lái)說(shuō)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)要找準(zhǔn)，特別是較復(fù)雜的軸對(duì)稱(chēng)圖形，要認(rèn)真地觀(guān)察、分析，必要時(shí)要?jiǎng)邮植僮鲗?shí)踐一下；對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸有兩條或兩條以上的圖形，要從各個(gè)角度找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)于（２）是找一個(gè)軸對(duì)

9、稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸的方法。 ３、畫(huà)某點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方法 （１）過(guò)已知點(diǎn)作已知直線(xiàn)的（對(duì)稱(chēng)軸）的垂線(xiàn)，標(biāo)出垂足； （２）在這條直線(xiàn)的另一側(cè)從垂足出發(fā)截取相等的線(xiàn)段，那個(gè)截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。 ４、畫(huà)已知圖形關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形 （１）畫(huà)出圖形的某些點(diǎn)關(guān)于這條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)； （２）把這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái)，就形成了一個(gè)符合條件的對(duì)稱(chēng)圖形。 注意： “某些點(diǎn)”是指能確定圖形形狀和大小及位置的關(guān)鍵點(diǎn)。如果是多邊形， “某些點(diǎn)”就是指所有的頂點(diǎn)；如果是線(xiàn)段，“某些點(diǎn)”就是指線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)；如果是直角，“某些點(diǎn)”就是指角的頂點(diǎn)與角兩邊上每一邊一個(gè)任意點(diǎn)，其余類(lèi)推。

10、 五、軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系： 軸對(duì)稱(chēng) 軸對(duì)稱(chēng)圖形 區(qū)別 ①指兩個(gè)圖形而言； ②指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。 ①對(duì)一個(gè)圖形而言； ②指一個(gè)圖形的特殊形狀。 聯(lián)系 ①都有一條直線(xiàn)，都要沿這條直線(xiàn)折疊重合； ②把兩個(gè)成軸對(duì)稱(chēng)的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；反過(guò)來(lái)，把軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)。 六、軸對(duì)稱(chēng)幾何圖形的對(duì)稱(chēng)軸： 名稱(chēng) 是否是軸對(duì)稱(chēng)圖形 對(duì)稱(chēng)軸有幾條 對(duì)稱(chēng)軸的位置 線(xiàn)段 是 ２條 垂直平分線(xiàn)或線(xiàn)段所在的直線(xiàn) 角 是 １條 角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn) 長(zhǎng)方形 是 ２條 對(duì)

11、邊中線(xiàn)所在的直線(xiàn) 正方形 是 ４條 對(duì)邊中線(xiàn)所在的直線(xiàn)和對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn) 圓 是 無(wú)數(shù)條 直徑所在的直線(xiàn) 平行四邊形 不是 ０條 七、軸對(duì)稱(chēng)變換的概念： 由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱(chēng)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)變換。 八、軸對(duì)稱(chēng)變換的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)： 規(guī)律：對(duì)稱(chēng)軸方向、位置發(fā)生變化，得到的圖形的方向、位置也發(fā)生變化； 性質(zhì)：１、由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的圖形，這個(gè)圖形與原圖形的形狀、大 小完全相同； 　　 ２、新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)； 　　 ３、連結(jié)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分； 　　 ４、成軸對(duì)

12、稱(chēng)的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看做由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換后得到的； 　　 ５、一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形也可以看做以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)變換擴(kuò)展而成的。 九、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的概念： １、垂直于一條線(xiàn)段，并平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)； ２、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看做和線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。 十、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理： 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等。 注意： １、“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等”的作用是：證明兩條線(xiàn)段相等； ２、若ＣＤ垂直平分線(xiàn)段ＡＢ，可得到： ① △ＡＢＣ是等腰三角形； ② ＣＯ是△ＡＢＣ底邊

13、ＡＢ上的高和中線(xiàn)，也是頂角∠ＢＣＡ的平分線(xiàn)； ③ 不僅ＡＣ＝ＣＢ，?。茫纳先我庖稽c(diǎn)Ｐ都有ＰＡ＝ＰＢ。 十一、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆定理： 和線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。 注意： （１）“和線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上?！钡淖饔檬牵号卸ㄒ稽c(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上； （２）等腰三角形的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線(xiàn)上； （３）如果兩點(diǎn)到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線(xiàn)是該線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。 十二、三角形三邊垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)： 三角形三邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 注意：（１

14、）“三角形三邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等?！钡淖饔檬牵鹤C明線(xiàn)段相等； （２）三角形兩邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)必在第三邊的垂直平分線(xiàn)上； （３）證明三線(xiàn)共點(diǎn)，可先找到兩直線(xiàn)交點(diǎn)，再證明第三條直線(xiàn)也過(guò)這一點(diǎn)即可； （４）銳角三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，直角三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)恰是斜 邊中點(diǎn)，鈍角三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形外部； （５）此定理給出了作一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)不共線(xiàn)的點(diǎn)距離相等的作圖方法，只需順次連結(jié)這三點(diǎn)組成一個(gè)三角形，作這個(gè)三角形的兩邊的垂直平分線(xiàn)，交點(diǎn)即為所求。 十三、等腰三角形的概念、性質(zhì)、判定： 1、概念： 有兩邊相等

15、的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊， 兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角，頂角是直角的等腰三角形叫做直角等腰三角形， 三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。 2、性質(zhì)： （１）等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸，其頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高線(xiàn)所在直 線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)軸； （２）等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)為“等邊對(duì)等角”）； （３）等腰三角形頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”）。 （４）等腰三角形的兩邊相等，即兩腰相等。 3、判定：（１）有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形； 　　（２）如果一個(gè)三角

16、形有兩個(gè)角相等，那么，這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）。 注意： （１）等腰三角形的判定和性質(zhì)的關(guān)系：等腰三角形的定義既體現(xiàn)了等腰三角形的性質(zhì)，也可以作為 判定，等腰三角形的性質(zhì)定理“等邊對(duì)等角”和等腰三角形的判定定理“等角對(duì)等邊”互為逆 定理； （２）“等角對(duì)等邊”在同一三角形內(nèi)證兩條邊相等的應(yīng)用極為廣泛，往往通過(guò)計(jì)算三角形各角的度 數(shù)得角相等，則可得邊相等； （３）底角為頂角２倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線(xiàn)將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形。 十四、等邊三角形的定義、性質(zhì)、判定： 1、 定義： 三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。 注意： （１

17、）由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形，因而等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)； （２）等邊三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸，故三邊上均有“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，其三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，稱(chēng)其為 “中心”。 2、性質(zhì)： 等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于６０，每一個(gè)外角都等于１２０。 3、判定：（１）三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 　?。ǎ玻┤齻€(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； 　?。ǎ常┯幸粋€(gè)內(nèi)角是６０的等腰三角形是等邊三角形； 　?。ǎ矗┤我庖谎偷走呄嗟鹊牡妊切问堑冗吶切?。 　　 注意：（１）四個(gè)判定定理的前提

18、不同，判定（１）和判定（２）是在三角形的條件下，判定（３）和判定（４）是在等腰三角形的條件下； （２）計(jì)算出三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等（或都為６０），然后根據(jù)“等角對(duì)等邊”可說(shuō)明一個(gè)三角形是等邊三角形。 十五、含３０角的直角三角形的性質(zhì)： 如果在直角三角形中有一個(gè)銳角為３０，那么３０角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 注意： 性質(zhì)是由等邊三角形的性質(zhì)得出的，它的主要作用是能解決直角三角形中的有關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)度、線(xiàn)段關(guān)系、角的度數(shù)等的計(jì)算問(wèn)題，特別在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用更廣泛。 第十三章　實(shí)數(shù)　小結(jié) 一、平方根、算術(shù)平方根的概念及其性質(zhì) １、算術(shù)平方根

19、的概念及其性質(zhì) （１）一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a，即2= a，那么這個(gè)正數(shù)叫做a的算術(shù)平方根，a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開(kāi)方數(shù)?！? （２）一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；0的算術(shù)平方根仍為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，當(dāng)式子有意義時(shí)，a一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)。 ２、平方根的概念及其性質(zhì) （１） 如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根，這就是說(shuō)，如果x=a，那么叫做a的平方根。 正數(shù)a的正的平方根表示為“”或“”，其中a叫做被開(kāi)放數(shù)；“”中的2叫做根指數(shù)（一般可省去不寫(xiě)）；“”或“”讀作“二次根號(hào)a”或“根號(hào)a”；正數(shù)a的負(fù)的平方根表示為

20、“－”或“－”；正數(shù)a的平方根表示為，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。 （２） 一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)且它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。 ３、開(kāi)平方運(yùn)算 求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)。 注意：（１）被開(kāi)方數(shù)a是非負(fù)數(shù)（非負(fù)數(shù)即指正數(shù)和零）； （２）平方運(yùn)算與開(kāi)平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。 ４、平方根（或算術(shù)平方根）的幾個(gè)公式 （１）式子有意義的條件為ａ≥０。 （２）ａ表示ａ的算術(shù)平方根，ａ是非負(fù)數(shù)，即?。帷荩?。 　　　　　　　　　　?。帷? ａ≥０ （３）　ａ＝︱ａ︱＝ ０　?。幔剑? 　　　　　　　　　　　－ａ?。幔迹? （４

21、）√（?。幔剑幔ǎ帷荩埃ǎ。幔剑幔ǎ帷荩埃? 二、立方根的概念及其性質(zhì) １、如果一個(gè)數(shù)ｘ的立方等于ａ，即ｘ＝ａ，那么就稱(chēng)這個(gè)數(shù)ｘ為ａ的立方根（或三次方根）。 ａ的立方根（或三次方根）表示為?。幔渲校釣楸婚_(kāi)方數(shù)，“　”符號(hào)中的３為根指數(shù)（這個(gè)數(shù)不能省略）；?。嶙x作“三次根號(hào)ａ”或“ａ的立方根”。 ２、任意數(shù)都有立方根，正數(shù)有一個(gè)正的立方根；負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根仍為零。 ３、有關(guān)立方根的補(bǔ)充說(shuō)明和兩個(gè)公式 （１）在?。嶂校婚_(kāi)方數(shù)ａ可為正數(shù)、零，也可為負(fù)數(shù)。即　ａ的正負(fù)與ａ一致。 （２）?。?－?。? （３）(　a) =　a＝ａ ４、開(kāi)立方

22、運(yùn)算 求一個(gè)數(shù)ａ的立方根的運(yùn)算叫做開(kāi)立方運(yùn)算。開(kāi)立方運(yùn)算與立方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。 三、實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì) （１）實(shí)數(shù)ａ的相反數(shù)為－ａ，零的相反數(shù)是其本身，若ａ與ｂ互為相反數(shù)，則ａ＋ｂ＝０；反之亦然。 （２）實(shí)數(shù)ａ的倒數(shù)為１/ａ（ａ≠０）。若ａ與ｂ互為倒數(shù)，則ａｂ＝１；反之亦然。 （３）實(shí)數(shù)ａ的絕對(duì)值表示為︱ａ︱，正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，零的絕對(duì)值是零，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是 它的相反數(shù)。 　　　　　 　?。帷? ａ≥０ 即︱ａ︱＝　　０　?。幔剑? 　　　　　 　?。帷。幔迹? （４）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)

23、數(shù)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。 已知實(shí)數(shù)ａ、ｂ在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Ａ、Ｂ，則有︱ａ︱、︱ｂ︱分別表示點(diǎn)Ａ、點(diǎn)Ｂ到原點(diǎn)的距離；︱ａ－ｂ︱表示點(diǎn)Ａ到點(diǎn)Ｂ的距離，這正是絕對(duì)值的幾何意義。 在數(shù)軸上，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大；正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，０大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)都大于０；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，即對(duì)于負(fù)數(shù)ａ、ｂ，有 ︱ａ︱＜︱ｂ︱＝ａ＞ｂ。 四、實(shí)數(shù)的概念及其分類(lèi) 實(shí)數(shù)是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)，有如下分類(lèi)： （１）按定義分類(lèi) 　　　　　　　　　整數(shù)　　 實(shí)數(shù)　　有理數(shù)　　分?jǐn)?shù)　　有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù) 　　　　無(wú)理數(shù)：即

24、無(wú)限不循環(huán)小數(shù) （２）按正負(fù)分類(lèi) 　　　　　　　　　　　　　　 正整數(shù) 　　　　 　　正有理數(shù)　正分?jǐn)?shù) 正實(shí)數(shù) 　　　　　　　　　 正無(wú)理數(shù) 實(shí)數(shù)　　 零 　　　　　　　　　　　　　　　負(fù)整數(shù) 　　　　負(fù)實(shí)數(shù)　　負(fù)有理數(shù)　　負(fù)分?jǐn)?shù) 　　　　　　　　　負(fù)無(wú)理數(shù) 五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算 　　 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算和它們之間的混合運(yùn)算；有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用，且滿(mǎn)足運(yùn)算律。 　 　交換律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，ａｂ＝ｂａ 　 　結(jié)合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ），（ａｂ）ｃ＝ａ

25、（ｂｃ） 　　 分配率：ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ 六、實(shí)數(shù)的大小比較 　　①數(shù)軸比較法； 　　②代數(shù)比較法； ③差值比較法； ④商值比較法； ⑤倒數(shù)比較法：若1/a＞1/b,a＞0,b＞0,則a＜b； ⑥平方比較法：ａ＞０，ｂ＞０，ａ＞ｂ，則ａ＞ｂ； ⑦開(kāi)方比較法：若a＞0，b＞0，?。幔尽。?，則ａ＞ｂ； 七、非負(fù)數(shù)的性質(zhì) ｎ （１）已知實(shí)數(shù)ａ，則ａ≥0，︱ａ︱≥0，ａ　≥0（ｎ為正整數(shù)）。 ｎ （２）任意非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和偶次方根還是非負(fù)數(shù)，即　ａ≥0，　　ａ≥0（ｎ為正整數(shù)）。 （３）若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為０，那么這兩個(gè)數(shù)一定都為０，常見(jiàn)以下幾種形式：

26、 　　　　　　　　　　?。幔剑埃? 若ａ＋ｂ＝０，則　ｂ＝０，反之亦然。 　　　　　　　　　　　　　?。幔剑埃? 若︱ａ︱＋︱ｂ︱＝０，則　ｂ＝０，反之亦然。 　　　　　　　　　　　?。幔剑埃? 若?。幔。猓剑?，則　ｂ＝０，反之亦然。 ａ＝０， ｎ ｎ 若?。幔。猓剑埃瑒t?。猓剑埃粗嗳?。 可推廣位：ｎ個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)之和為０，則這ｎ個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)一定都為零。 第十四章　一次函數(shù)　小結(jié) 一、函數(shù)的有關(guān)概念 （１）變量與常量 　 　在某一變化過(guò)程中，可以取不同的量叫做常量，保持不變的量叫做常量。 注意：變量和常量往往是相對(duì)而言的，在

27、不同研究過(guò)程中，常量和變量的身份是可以相互轉(zhuǎn)換的。 　?。ǎ玻┖瘮?shù)與自變量 　 　一般地，如果在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量，例如ｘ和ｙ，對(duì)于ｘ的每一個(gè)值，ｙ都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō)ｘ是自變量，ｙ是因變量，此時(shí)也稱(chēng)ｙ是ｘ的函數(shù)。 　　注意：函數(shù)體現(xiàn)的是一個(gè)變化的過(guò)程，在這一變化過(guò)程中，要著重把握以下三點(diǎn)： 　?。ǎ保┲荒苡袃蓚€(gè)變量。 　?。ǎ玻┮粋€(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值變化而變化。 （３）對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)。 二、函數(shù)的表示方法 函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。 （１）解析法：

28、 兩個(gè)變量之間的關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量的等式表示，這種表示方法叫做解析式。用解析式表示一個(gè)函數(shù)關(guān)系時(shí)，因變量ｙ放在等式的左邊，自變量ｘ的代數(shù)式放在右邊，其實(shí)質(zhì)是用ｘ的代數(shù)式表示ｙ。 注意：解析法簡(jiǎn)單明了，能準(zhǔn)確地反應(yīng)整個(gè)變化過(guò)程中自變量與因變量的關(guān)系，但不直觀(guān)，且有的函數(shù)關(guān)系不一定能用解析法表示出來(lái)。 （２）列表法： 把自變量ｘ的一系列值和函數(shù)ｙ的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。 注意：列表法優(yōu)點(diǎn)是一目了然，使用方便，但其列出的對(duì)應(yīng)值是有限的而且從表中不易看出自變量和函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。 （３）圖像法： 用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。 注

29、意：圖像法形象直觀(guān)，是研究函數(shù)的一種很重要的方法。 　　　在解決問(wèn)題時(shí)，我們常常綜合運(yùn)用三種方法來(lái)表示函數(shù)。 三、函數(shù)自變量取值范圍及函數(shù)值 　 　函數(shù)自變量的取值范圍是指函數(shù)有意義的自變量的取值的全體。求自變量的取值范圍通常從兩個(gè)方面考慮：一是要使函數(shù)的解析式有意義；二是符合客觀(guān)實(shí)際。下面給出一些簡(jiǎn)單函數(shù)解析式中自變 量范圍的確定方法。 　?。ǎ保┊?dāng)函數(shù)的解析式是整式時(shí)，自變量取任意實(shí)數(shù)（即全體實(shí)數(shù)）。 　　（２）當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時(shí)，自變量取值是使分母不為零的任意實(shí)數(shù)。 　?。ǎ常┊?dāng)函數(shù)的解析式是開(kāi)平方的無(wú)理式時(shí)，自變量值是使被開(kāi)放的式子為非負(fù)的實(shí)數(shù)。 　　（

30、４）當(dāng)函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整數(shù)次冪的底數(shù)中時(shí)，自變量值取值是使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù)。 　　 對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值，如當(dāng)ｘ＝ａ時(shí)，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，這個(gè)值就是當(dāng) ｘ＝ａ時(shí)的函數(shù)值。 　　注意：若已知函數(shù)解析式及自變量的值求函數(shù)值，其實(shí)質(zhì)就是求關(guān)于自變量ｘ的代數(shù)式的值。 　　　　　若已知函數(shù)解析式及函數(shù)值求自變量的值，其實(shí)質(zhì)就是解關(guān)于自變量ｘ的方程。 四、函數(shù)的圖像 （１）函數(shù)圖像的意義 　一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成。圖像上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（ｘ，ｙ）代表了函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，他的橫坐標(biāo)ｘ表示自變量的某一個(gè)值，縱坐標(biāo)ｙ表示與它對(duì)應(yīng)的

31、函數(shù)值。 （２）函數(shù)圖像的畫(huà)法 　 　在直角坐標(biāo)系中，如果描出以自變量的值為橫坐標(biāo)、相應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，那么所有這樣的點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像。 　　 知道了函數(shù)解析式要畫(huà)出函數(shù)的圖像，一般經(jīng)歷以下三步： 　　①列表： 取自變量的一些值，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，由這一系列的對(duì)應(yīng)值得到一系列的有序?qū)崝?shù)對(duì)。 ②描點(diǎn)： 在直角坐標(biāo)系中，描出這些有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 ③連線(xiàn)： 用平滑的曲線(xiàn)依次把這些點(diǎn)連起來(lái)，即可得到這個(gè)函數(shù)的圖像。 五、數(shù)學(xué)思想方法 （１）數(shù)形結(jié)合思想 本章中比較廣泛地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)研究問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合，直觀(guān)形象，由數(shù)思形

32、，由形思數(shù)，兩者巧妙結(jié)合，為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題創(chuàng)造了有利條件，幫助我們?nèi)シ治龊徒鉀Q問(wèn)題。 （２）函數(shù)思想 研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先從問(wèn)題中抽象出特定的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論，最后把結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去，從而得到實(shí)際問(wèn)題的研究結(jié)果。將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，通過(guò)建立函數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。 （３）轉(zhuǎn)化思想 將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，這是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。 六、一次函數(shù)（正比例函數(shù)）的概念 解析式是用自變量的一次整式表示的函數(shù)，我們稱(chēng)之為一次函數(shù)。一次函數(shù)的一般形式為 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其中ｋ、ｂ為常數(shù)，ｋ≠０，

33、特別地，當(dāng)ｋ＝０時(shí)，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ（常數(shù) ｋ≠０）也叫做正比例函數(shù)。 注意： （１）如果一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量ｘ的式子是一次的，系數(shù)ｋ不等于０，而ｂ可以為任意實(shí)數(shù)。 （２）自變量ｘ的取值范圍是任意實(shí)數(shù)。 （３）ｋ≠０這個(gè)條件不可忽略。 （４）正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系： ① 正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，即一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。 ② 一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，當(dāng)ｂ＝０時(shí)， ｙ是ｘ的正比例函數(shù)；當(dāng)ｂ≠０時(shí)ｙ不是ｘ的正比例函數(shù)。 七、一次函數(shù)的圖像 （１）一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的圖像是一條直線(xiàn)，通常也稱(chēng)為直

34、線(xiàn)ｙ＝ｋｘ＋ｂ，一方面，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像可以用描點(diǎn)法畫(huà)出；另一方面，由于兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，故畫(huà)一次函數(shù)的圖像時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線(xiàn)就可以了，為了方便，常用圖像與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)（０，ｂ）和（－　　，０） （２）正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（０，０）的一條直線(xiàn)，通常畫(huà)正比例函數(shù) ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像只需取一點(diǎn)（１，ｋ），然后過(guò)原點(diǎn)和這一點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)。 八、對(duì)一次函數(shù)的ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的系數(shù)ｋ、ｂ的理解 （１）直線(xiàn)ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ表示直線(xiàn)向上的方向與ｘ軸正方向夾角的大小程度，即直線(xiàn)的傾斜程度；ｂ是直線(xiàn)與ｙ軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，ｂ＞０時(shí)，直線(xiàn)與ｙ軸交于正

35、半軸上；ｂ＝０時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時(shí)，直線(xiàn)與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時(shí)，直線(xiàn)與ｙ軸交于負(fù)半軸上。 （２）兩直線(xiàn)ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的位置關(guān)系。 　　　①當(dāng)ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２時(shí)，兩直線(xiàn)平行。 　　?、诋?dāng)ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２時(shí)，兩直線(xiàn)重合。 注意： （１）當(dāng)ｋ＞０時(shí)，直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)一、三象限；ｋ＜０時(shí)，直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)二、四象限。當(dāng)ｂ＞０時(shí)，直線(xiàn)與ｙ軸正半軸相交，故必過(guò)一、二象限；ｂ＝０時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)；ｂ＜０時(shí)，直線(xiàn)與ｙ軸負(fù)半軸相交，故直線(xiàn)過(guò)三、四象限。 （２）ｙ隨ｘ的增大而增大，還是ｙ隨ｘ的增大

36、而減小，只取決于ｋ的符號(hào)，與ｂ無(wú)關(guān)。 九、一次函數(shù)解析式的確定 （１）根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律、關(guān)系確定函數(shù)解析式 ① 對(duì)于探索一系數(shù)、圖形個(gè)數(shù)等規(guī)律時(shí)，其關(guān)鍵是找出問(wèn)題的兩個(gè)變量之間存在的數(shù)量關(guān)系。 ② 對(duì)于幾何圖形中的兩個(gè)量的關(guān)系，要能夠結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)確定兩個(gè)變量的關(guān)系。 ③ 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的兩個(gè)量之間的關(guān)系，要分析出各個(gè)量之間存在的數(shù)量關(guān)系，并能正確用含一個(gè)量的代數(shù)式表示另一個(gè)量，同時(shí)注意自變量的取值范圍。 （２）待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式 先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)已知條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫(xiě)出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方

37、法，其一般步驟是： ①設(shè)一次函數(shù)解析式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。 ②將函數(shù)圖像所經(jīng)過(guò)的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。 ③解此二元一次方程組，得待定系數(shù)k、b的值。 ④確定函數(shù)解析式。 注意： （１）在正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，且為常數(shù)）中，只有一個(gè)待定系數(shù)ｋ，確定正比例函數(shù)關(guān)系式只需一個(gè)條件。 　　（２）在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ、ｂ為常數(shù)，且ｋ≠０）中，有兩個(gè)待定系數(shù)ｋ和ｂ，因此確定一次函數(shù)關(guān)系式需要兩個(gè)條件。 十、一次函數(shù)與方程（組）及不等式之間的關(guān)系 （１）一次函數(shù)與一元一次方程 　 　 直線(xiàn)ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程ｋｘ＋

38、ｂ＝０的解。 求直線(xiàn)ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸的交點(diǎn)，可令ｙ＝０得方程ｋｘ＋ｂ＝０，解方程得ｘ＝－　　，－　　是直線(xiàn)ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。反之，由函數(shù)的圖像也能求出對(duì)應(yīng)的一元一次方程的解。 （２）一次函數(shù)與二元一次方程（組） 　　 一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解；以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像上。 兩條直線(xiàn)ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)就是方程組　?。剑耄保猓? 　　　　　　　　　　 ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２ 注意：若ｋ１＝ｋ

39、２，ｂ１≠ｂ２，則兩直線(xiàn)平行，無(wú)交點(diǎn)，所以方程組無(wú)解；若ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２，則兩直線(xiàn)重合，通常不研究此類(lèi)情況。 （３）二元一次方程組的圖像解法 畫(huà)出方程組對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是二元一次方程組的解，這種解方程組的方法叫做二元一次方程組的圖像解法。 （４）一次函數(shù)與一元一次不等式 使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ大于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集，同樣使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ小于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式 ｋｘ＋ｂ＜０的解集。 第十五章　整式的乘除與因式分解　小結(jié) 一、同底數(shù)冪的乘法：

40、同底數(shù)冪的乘法法則： 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即ａ?。帷。剑帷。ǎ?、ｎ都是正整數(shù)）。 注意：（１）這一運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘，即ａａａ＝ａ（ｍ、ｎ、ｐ都是正整數(shù)）。 　　?。ǎ玻┻\(yùn)算性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ?。剑帷。帷?。 　　?。ǎ常﹥绲牡讛?shù)ａ可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。 二、冪的乘方與積的乘方： １、冪的乘方法則： 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（ａ　）?。剑帷。ǎ?、ｎ都是正整數(shù)）。 注意：（１）不要把冪的乘方性質(zhì)與同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)混淆。冪的乘方運(yùn)算，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算（底數(shù)不變）；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算（底數(shù)不變）。

41、 （２）此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ?。剑ǎ帷。。剑ǎ帷。?。 ２、積的乘方法則： 　 　積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積，即（ａｂ）?。剑帷。狻。ǎ顬檎麛?shù)）。 注意：（１）這一運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上的因數(shù)的積的乘方，即（ａｂｃ）　＝ａｂｃ?。ǎ顬檎麛?shù)）。 　　?。ǎ玻┐诵再|(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ?。狻。剑ǎ幔猓?。 三、同底數(shù)冪的除法： 同底數(shù)冪的除法法則： 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即ａａ＝ａ（ａ≠0，ｍ、ｎ為正整數(shù)，且ｍ＞ｎ）。 注意：此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即ａ＝ａａ　。 四、零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： 　 　 在ａ　ａ?。剑帷≈校?dāng)ｍ＝ｎ時(shí)，

42、規(guī)定ａ?。帷。剑帷。剑保ǎ帷伲埃? 　　 當(dāng)ｍ＜ｎ時(shí)，規(guī)定ａ?。帷。剑帷　。健　　? （１）零指數(shù)冪的意義： 　　 任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于１，即ａ?。剑保ǎ帷伲埃? （２）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義： 　 　任何不等于零的數(shù)的－ｎ（ｎ為正整數(shù)）次冪，等于這個(gè)數(shù)的ｎ次冪的倒數(shù)，即 ａ＝（ａ≠0，ｎ為正整數(shù)）。 注意：（１）在這兩個(gè)冪的意義中，強(qiáng)調(diào)底數(shù)ａ都不等于零，否則無(wú)意義。 　　 （２）學(xué)習(xí)零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到整數(shù)指的冪。 五、科學(xué)計(jì)數(shù)法： 　　 利用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)，即表示成ａ１０　的形式，ｎ為

43、正整數(shù)，１≤｜ａ｜＜１０。對(duì)于一些絕對(duì)值較小的數(shù)，我們可以仿照絕對(duì)值較大數(shù)的計(jì)法，用１０的負(fù)整數(shù)次冪表示，而將原式寫(xiě)成ａ１０　的形式，其中ｎ為正整數(shù)，１≤｜ａ｜＜１０，這也稱(chēng)為科學(xué)計(jì)數(shù)法。 六、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘： 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則： 　　 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。 七、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘： 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則： 　　 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即。 注意：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)際上是用分配率向單項(xiàng)

44、式相乘轉(zhuǎn)化。 八、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘： 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則： 　　 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。 九、平方差公式： （１）內(nèi)容： （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ （２）意義： 　 　兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。 （３）特征： 　?、?左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)； ② 右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差； ③ 公式中的ａ和ｂ可以使有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。 （４）幾何意義：

45、 　　 平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過(guò)程中面積相等的表達(dá)式。 （５）拓展： ① 立方和公式： （ａ＋ｂ）（ａ－ａｂ＋ｂ）＝ａ＋ｂ； ② 立方差公式： （ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ－ｂ。 ③（ａ－ｂ）（ａ　＋ａ?。猓帷。猓幔狻。幔狻。狻。剑帷。狻?。 十、完全平方公式： （１）內(nèi)容： 　　 （ａ＋ｂ）＝ａ＋ｂ＋２ａｂ； 　　 （ａ－ｂ）＝ａ＋ｂ－２ａｂ。 （２）意義： 　　兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的２倍。 兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的２倍。 （３）特征： 　?、?左邊是一個(gè)二

46、項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的２倍，可簡(jiǎn)記為“首平方，尾平方，積的２倍在中央?！? ② 公式中的ａ、ｂ可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。 （４）幾何意義： （５）推廣： 　?、伲ǎ幔猓悖剑幔猓悖玻幔猓玻猓悖玻悖幔? 　?、冢ǎ幔猓剑幔猓常幔猓常幔猓? ③（ａ－ｂ）＝ａ－ｂ－３ａｂ＋３ａｂ。 十一、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除： 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則： 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

47、 注意：（１）兩個(gè)單項(xiàng)式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可。 （２）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。 十二、多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除： 多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則： 　　 一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，即（ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｄｍ）ｍ＝ａｍｍ＋ｂｍｍ＋ｃｍｍ＋ｄｍｍ。 　注意：這個(gè)法則的使用范圍必須是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，反之，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這樣計(jì)算的。 十三、整式的混合運(yùn)算： 　　 關(guān)鍵是注意運(yùn)算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，先做括號(hào)里的。

48、十四、因式分解的意義： 　　 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積。 注意：（１）因式分解的要求： 　 ①結(jié)果一定是積的形式，分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； 　 ②每個(gè)因式必須是整式； 　 ③各因式要分解到不能分解為止。 （２）因式分解與整式乘法的關(guān)系： 　　 是兩種不同的變形過(guò)程，即互逆關(guān)系。 十五、因式分解的方法： １、提公因式法分解因式： ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。 這里的ｍ可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，ｍ稱(chēng)為公

49、因式。 確定公因式方法： 系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。 字母（或多項(xiàng)式因式）：取各項(xiàng)都含有的字母（或多項(xiàng)式因式）的最低次冪。 ２、利用公式法分解因式： ① 平方差公式：ａ－ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）。 ② 完全平方公式：ａ＋ｂ＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）； 　　　　　　　　　 ?。幔猓玻幔猓剑ǎ幔猓? ③ 立方和與立方差公式：ａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）（ａ－ａｂ＋ｂ）； 　　　　　　　　　　　　　 ａ－ｂ＝（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ｂ）。 注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。 （２）選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式應(yīng)考慮平方

50、差或立方和、立方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮用完全平方公式。 ３、分組分解法： ①將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運(yùn)用公式分解。 ②適用范圍：適合四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的分解。 分組的標(biāo)準(zhǔn)為：分組后能提公因式或分組后能運(yùn)用公式。 ４、其他方法： ①十字相乘法：ｘ＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。 ②求根公式法：若ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的兩根是ｘ１、ｘ２，ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝ａ （ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）。 十六、因式分解的一般步驟及注意問(wèn)題： １、對(duì)多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提供因式。 ２、多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，如果是二項(xiàng)式就考慮是否符合平方差公式；如果是三項(xiàng)式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項(xiàng)式的因式分解；如果是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法。 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。 十七、添括號(hào)法則： 　　 添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。 京翰教育1對(duì)1家教