《《步步高學案導學設計》2013-2014學年高中數(shù)學人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23(一)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《《步步高學案導學設計》2013-2014學年高中數(shù)學人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23(一)(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.3 數(shù)學歸納法(一)
一、基礎過關
1. 某個命題與正整數(shù)有關,如果當n=k(k∈N*)時,該命題成立,那么可推得n=k+1時,該命題也成立.現(xiàn)在已知當n=5時,該命題成立,那么可推導出 ( )
A.當n=6時命題不成立
B.當n=6時命題成立
C.當n=4時命題不成立
D.當n=4時命題成立
2. 一個與正整數(shù)n有關的命題,當n=2時命題成立,且由n=k時命題成立可以推得n=k+2時命題也成立,則 ( )
A.該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立
B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立
C.該命題何時成立與k取值無關
D.以上答案都不對
3
2、. 在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n-3)條時,第一步驗證n等于( )
A.1 B.2 C.3 D.0
4. 若f(n)=1+++…+(n∈N*),則n=1時f(n)是 ( )
A.1 B.
C.1++ D.以上答案均不正確
5. 已知f(n)=+++…+,則 ( )
A.f(n)中共有n項,當n=2時,f(2)=+
B.f(n)中共有n+1項,當n=2時,f(2)=++
C.f(n)中共有n2-n項,當n=2時,f(2)=+
D.f(n)中共有n2-n+1項,當n=2時,f(2)=++
6. 在
3、數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),依次計算a2,a3,a4,歸納推測出an的通項表達式為 ( )
A. B.
C. D.
二、能力提升
7. 用數(shù)學歸納法證明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)(n∈N*),從k到k+1左端需要增乘的代數(shù)式為 ( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
8. 已知f(n)=++…+(n∈N*),則f(k+1)=________.
9. 以下用數(shù)學歸納法證明“2+4+…+2n=n2+n(n∈N*)”的過程
4、中的錯誤為
____________________________________________________________________.
證明:假設當n=k(k∈N*)時等式成立,即2+4+…+2k=k2+k,那么2+4+…+2k+2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+1),即當n=k+1時等式也成立.因此對于任何n∈N*等式都成立.
10.用數(shù)學歸納法證明
(1-)(1-)(1-)…(1-)=(n∈N*).
11.用數(shù)學歸納法證明:
12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1.
12.已知數(shù)列{an}的第一項a1=5且Sn-
5、1=an(n≥2,n∈N*),Sn為數(shù)列{an}的前n項和.
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表達式;
(2)用數(shù)學歸納法證明{an}的通項公式.
三、探究與拓展
13.是否存在常數(shù)a、b、c,使得等式122+232+342+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)對一切正整數(shù)成立?并證明你的結論.
答案
1.B 2.B 3.C 4.C 5.D 6.B 7.B
8.f(k)+++-
9.缺少步驟歸納奠基
10.證明 (1)當n=1時,左邊=1-=,右邊==,等式成立.
(2)假設當n=k(k≥1,k∈N*)時等式成立,即
(1-)(1-)(1-)…(1-
6、)=,
當n=k+1時,
(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-)=(1-)==,
所以當n=k+1時等式也成立.
由(1)(2)可知,對于任意n∈N*等式都成立.
11.證明 (1)當n=1時,左邊=1,右邊=(-1)1-1=1,
結論成立.
(2)假設當n=k時,結論成立.
即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1,
那么當n=k+1時,
12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k-1+(-1)k(k+1)2
=(-1)k(k+1)
=(-1)k.
即n=k+1時結論也成立.
由(1)(2)可
7、知,對一切正整數(shù)n都有此結論成立.
12.(1)解 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,
a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,
猜想an=.
(2)證明?、佼攏=2時,a2=522-2=5,公式成立.
②假設n=k(k≥2,k∈N*)時成立,即ak=52k-2,
當n=k+1時,由已知條件和假設有
ak+1=Sk=a1+a2+a3+…+ak
=5+5+10+…+52k-2.
=5+=52k-1.
故n=k+1時公式也成立.
由①②可知,對n≥2,n∈N*,有an=52n-2.
所以數(shù)列{an}的通項公式為
an=.
13.解 假設存在a
8、、b、c使上式對n∈N*均成立,則當n=1,2,3時上式顯然也成立,
此時可得
解此方程組可得a=3,b=11,c=10,
下面用數(shù)學歸納法證明等式122+232+342+…+n(n+1)2=(3n2+11n+10)對一切正整數(shù)均成立.
(1)當n=1時,命題顯然成立.
(2)假設n=k時,命題成立.
即122+232+342+…+k(k+1)2=(3k2+11k+10),
則當n=k+1時,有
122+232+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2
=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
=(3k2+5k+12k+24)
=[3(k+1)2+11(k+1)+10].
即當n=k+1時,等式也成立.
由(1)(2)可知,對任何正整數(shù)n,等式都成立.