三管齊下貴州省2014屆高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)試題 74 直線與圓的位置關(guān)系 理含解析新人教A版
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1、 74 幾何證明選講 (二)直線與圓的位置關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解圓周角定理,弦切角定理及其推論;2.理解圓的切線的判定及性質(zhì)定理;3.理解相交弦定理,割線定理,切割線定理;4.理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定. 自主梳理 1.圓周角、弦切角及圓心角定理 (1)__________的度數(shù)等于其的對______的度數(shù)的一半. 推論1:________(或________)所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角__________相等. 推論2:半圓(或直徑)所對的__________等于90.反之,90的圓周角所對的弧是________(或__________).
2、 (2)弦切角的度數(shù)等于其所夾孤的度數(shù)的____. (3)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù). 2.圓中比例線段有關(guān)定理 (1)相交弦定理:______的兩條____________,每條弦被交點分成的____________的積相等. (2)切割線定理:從圓外一點引圓的一條割線和一條切線,切線長是這點到割線與圓的兩個交點的線段長的____________. (3)割線定理:從圓外一點引圓的兩條________,該點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等. 溫馨提示 相交弦定理,切割線定理,割線定理揭示了與圓有關(guān)的線段間的比例關(guān)系,在與圓有關(guān)的比例線段問題的證明、計算以及證明線段或
3、角相等等問題中應(yīng)用甚廣. 3.切線長定理 從________一點引圓的兩條切線,__________相等. 4.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)性質(zhì)定理:圓內(nèi)接四邊形的對角________. 推論:圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)角的________. (2)判定定理:如果四邊形的__________,則四邊形內(nèi)接于____. 推論:如果四邊形的一個外角等于它的____________,那么這個四邊形的四個頂點________. 5.圓的切線的性質(zhì)及判定定理 (1)性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點的________. 推論1:經(jīng)過________且________
4、與垂直的直線必經(jīng)過切點. 推論2:經(jīng)過________且切線與垂直的直線必經(jīng)過______________________________. (2)判定定理:過半徑________且與這條半徑________的直線是圓的切線. 自我檢測 1.如圖在Rt△ABC中,∠B=90,D是AB上一點,且AD=2DB,以D為圓心,DB為半徑的圓與AC相切,則sin A=________. 2.(2010南京模擬)如圖,AB是圓O的直徑,EF切圓O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,則AC長為________. 3.(2011湖南)如圖,A,E是半圓周上的兩個三等分點,直徑BC
5、=4,AD⊥BC,垂足為D,BE與AD相交于點F,則AF的長為________. 4.如圖所示,AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,AC交⊙O于點D,若AD=32,CD=18,則AB=________. 5.(2010揭陽模擬)如圖,已知P是⊙O外一點,PD為⊙O的切線,D為切點,割線PEF經(jīng)過圓心O,PF=12,PD=4,則圓O的半徑長為________、∠EFD的度數(shù)為________. 探究點一 與圓有關(guān)的等角、等弧、等弦的判定 例1 如圖,⊙O的兩條弦AC,BD互相垂直,OE⊥AB,垂足為點E.求證:OE=CD. 變
6、式遷移1 在△ABC中,已知CM是∠ACB的平分線,△AMC的外接圓O交BC于點N;若AC=AB,求證:BN=3MN. 探究點二 四點共圓的判定 例2 如圖,四邊形ABCD中,AB、DC的延長線交于點E,AD,BC的延長線交于點F,∠AED,∠AFB的角平分線交于點M,且EM⊥FM.求證:四邊形ABCD內(nèi)接于圓. 變式遷移2 如圖,已知AP是⊙O的切線,P為切點,AC是⊙O的割線,與⊙O交于B、C兩點,圓心O在∠PAC的內(nèi)部,點M是BC的中點. (1)證明:A,P,O,M四點共圓; (2)求∠
7、OAM+∠APM的大小. 探究點三 與圓有關(guān)的比例線段的證明 例3 如圖,PA切⊙O于點A,割線PBC交⊙O于點B,C,∠APC的角平分線分別與AB,AC相交于點D,E,求證: (1)AD=AE; (2)AD2=DBEC. 變式遷移3 (2010全國) 如圖,已知圓上的?。?,過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點,證明: (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BECD. 1.圓周角定理與圓心角定
8、理在證明角相等時有較普遍的應(yīng)用,尤其是利用定理進行等角代換與傳遞. 2.要注意一些常用的添加輔助線的方法,若證明直線與圓相切,則連結(jié)直線與圓的公共點和圓心證垂直;遇到直徑時,一般要引直徑所對的圓周角,利用直徑所對的圓周角是直角解決有關(guān)問題. 3.判斷兩線段是否相等,除一般方法(通過三角形全等)外,也可用等線段代換,或用圓心角定理及其推論證明. 4.證明多點共圓的常用方法: (1)證明幾個點與某個定點距離相等; (2)如果某兩點在某條線段的同旁,證明這兩點對這條線段的張角相等; (3)證明凸四邊形內(nèi)對角互補(或外角等于它的內(nèi)角的對角). 5.圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角、弦切角聯(lián)
9、合應(yīng)用,要注意在題中找相等的角,找相似三角形,從而得到線段的比. (滿分:75分) 一、填空題(每小題5分,共40分) 1.如圖,已知AB,CD是⊙O的兩條弦,且AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分別是E,F(xiàn),則結(jié)論①=,②∠AOB=∠COD,③OE=OF,④=中,正確的有________個. 2.(2010湖南)如圖所示,過⊙O外一點P作一條直線與⊙O交于A、B兩點.已知PA=2,點P到⊙O的切線長PT=4,則弦AB的長為________. 3.(2010陜西) 如圖,已知Rt△ABC的兩條直角邊AC,BC的長分別為3 cm,4 cm,以AC為直
10、徑的圓與AB交于點D,則=________. 4.(2009廣東)如圖,點A,B,C是圓O上的點,且AB=4,∠ACB=45,則圓O的面積為________. 5.已知PA是圓O的切線,切點為A,PA=2,AC是圓O的直徑,PC與圓O交于點B,PB=1,則圓O的半徑R=________. 6.如圖,圓O是△ABC的外接圓,過點C的切線交AB的延長線于點D,CD=2,AB=3.則BD的長為________. 7.(2011天津)如圖,已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F,E是AB延長線上一點,且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE與圓相切,則線段CE的長為____
11、____. 8.(2010天津)如圖,四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,延長AB和DC相交于點P.若=,=,則的值為________. 二、解答題(共35分) 9.(11分)如圖,三角形ABC中,AB=AC,⊙O經(jīng)過點A,與BC相切于B,與AC相交于D,若AD=CD=1,求⊙O的半徑r. 10.(12分)(2009江蘇)如圖,在四邊形ABCD中,△ABC≌△BAD.求證:AB∥CD. 11.(12分)(2011江蘇)如圖,圓O1與圓O2內(nèi)切于點A,其半徑分別為r1與r2(r1>r2).圓O
12、1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上).求證:AB∶AC為定值. 74 幾何證明選講 (二)直線與圓的位置關(guān)系 自主梳理 1.(1)圓周角 弧 同弧 等弧 所對的弧 圓周角 半圓 弦為直徑 (2)一半 2.(1)圓 相交弦 兩條線段長 (2)等比中項 (3)割線 3.圓外 切線長 4.(1)互補 對角 (2)對角互補 圓 內(nèi)角的對角 共圓 5.(1)半徑 圓心 切線 切點 圓心 (2)外端 垂直 自我檢測 1. 解析 設(shè)切點為T,則DT⊥AC,AD=2DB=2DT, ∴∠A=30,sin A=. 2.2 解析 連接
13、CB,則∠DCA=∠CBA, 又∠ADC=∠ACB=90, ∴△ADC∽△ACB. ∴=. ∴AC2=ABAD=26=12. ∴AC=2. 3. 解析 如圖,連接CE,AO,AB.根據(jù)A,E是半圓周上的兩個三等分點,BC為直徑,可得∠CEB=90,∠CBE=30,∠AOB=60,故△AOB為等邊三角形,AD=,OD=BD=1,∴DF=,∴AF=AD-DF=. 4.40 解析 如圖,連接BD,則BD⊥AC,由射影定理知, AB2=ADAC=3250=1 600,故AB=40. 5.4 30 解析 由切割線定理得PD2=PEPF, ∴PE===4,∴EF=8,
14、OD=4. 又∵OD⊥PD,OD=PO,∠P=30, ∠POD=60=2∠EFD,∴∠EFD=30. 課堂活動區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 (1)借用等弦或等弧所對圓周角相等,所對的圓心角相等,進行角的等量代換;同時也可借在同圓或等圓中,相等的圓周角(或圓心角)所對的弧相等,進行弧(或弦)的等量代換. (2)本題的證法是證明一條線段等于另一條線段的一半的常用方法. 證明 作直徑AF,連接BF,CF,則∠ABF=∠ACF=90. 又OE⊥AB,O為AF的中點, 則OE=BF. ∵AC⊥BD, ∴∠DBC+∠ACB=90, 又∵AF為直徑,∠BAF+∠BFA=90, ∵∠AFB=
15、∠ACB, ∴∠DBC=∠BAF,即有CD=BF. 從而得OE=CD. 變式遷移1 證明 ∵CM是∠ACB的平分線, ∴=, 即BC=AC, 又由割線定理得BMBA=BNBC, ∴BNAC=BMBA, 又∵AC=AB,∴BN=3AM, ∵在圓O內(nèi)∠ACM=∠MCN, ∴AM=MN,∴BN=3MN. 例2 解題導(dǎo)引 證明多點共圓,當(dāng)它們在一條線段同側(cè)時,可證它們對此線段張角相等,也可以證明它們與某一定點距離相等;如兩點在一條線段異側(cè),則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補. 證明 連接EF, 因為EM是∠AEC的角平分線, 所以∠FEC+∠FEA=2∠FEM
16、. 同理,∠EFC+∠EFA=2∠EFM. 而∠BCD+∠BAD=∠ECF+∠BAD =(180-∠FEC-∠EFC)+(180-∠FEA-∠EFA) =360-2(∠FEM+∠EFM) =360-2(180-∠EMF)=2∠EMF=180, 即∠BCD與∠BAD互補. 所以四邊形ABCD內(nèi)接于圓. 變式遷移2 (1)證明 連接OP,OM, 因為AP與⊙O相切于點P, 所以O(shè)P⊥AP. 因為M是⊙O的弦BC的中點,所以O(shè)M⊥BC. 于是∠OPA+∠OMA=180, 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部,可知四邊形APOM的對角互補, 所以A,P,O,M四點共圓. (2)解
17、 由(1)得A,P,O,M四點共圓, 所以∠OAM=∠OPM. 由(1)得OP⊥AP. 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部, 可知∠OPM+∠APM=90, 所以∠OAM+∠APM=90. 例3 解題導(dǎo)引 尋找適當(dāng)?shù)南嗨迫切?,把幾條要證的線段集中到這些相似三角形中,再用圓中角、與圓有關(guān)的比例線段的定理找到需要的比例式,使問題得證. 證明 (1)∠AED=∠EPC+∠C,∠ADE=∠APD+∠PAB. 因PE是∠APC的角平分線,故∠EPC=∠APD,PA是⊙O的切線,故∠C=∠PAB. 所以∠AED=∠ADE.故AD=AE. (2)?△PCE∽△PAD?=; ?△PAE∽△PBD
18、?=. 又PA是切線,PBC是割線?PA2=PBPC?=. 故=,又AD=AE,故AD2=DBEC. 變式遷移3 證明 (1)因為=,所以∠BCD=∠ABC. 又因為EC與圓相切于點C,故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因為∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, 所以△BDC∽△ECB,故=,即BC2=BECD. 課后練習(xí)區(qū) 1.4 解析 ∵在同圓或等圓中,等弦所對的圓心角相等,所對的弧相等,所對弦心距相等,故①②③成立,又由=,得=,∴④正確. 2.6 解析 連接BT,由切割線定理, 得PT2=PAPB, 所以PB=8,故AB=6. 3.
19、 解析?。?=?AD=?BD=(cm),=. 4.8π 解析 連接OA,OB, ∵∠BCA=45, ∴∠AOB=90. 設(shè)圓O的半徑為R,在Rt△AOB中,R2+R2=AB2=16,∴R2=8. ∴圓O的面積為8π. 5. 解析 如圖,依題意,AO⊥PA,AB⊥PC,PA=2,PB=1,∠P=60, 在Rt△CAP中,有2OA=2R=2tan 60=2, ∴R=. 6.4 解析 由切割線定理得:DBDA=DC2,即DB(DB+BA)=DC2,∴DB2+3DB-28=0,∴DB=4. 7. 解析 設(shè)BE=a,則AF=4a,F(xiàn)B=2a. ∵AFFB=DF
20、FC,∴8a2=2,∴a=, ∴AF=2,F(xiàn)B=1,BE=,∴AE=. 又∵CE為圓的切線,∴CE2=EBEA==. ∴CE=. 8. 解析 ∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD, ∴△PCB∽△PAD.∴==. ∵=,=,∴=. 9. 解 過B點作BE∥AC交圓于點E,連接AE,BO并延長交AE于F, 由題意∠ABC=∠ACB=∠AEB,(2分) 又BE∥AC,∴∠CAB=∠ABE,則AB=AC知,∠ABC=∠ACB=∠AEB=∠BAE,(4分) 則AE∥BC,四邊形ACBE為平行四邊形. ∴BF⊥AE.又BC2=CDAC=2, ∴BC=,BF==.(8分) 設(shè)
21、OF=x,則 解得r=.(11分) 10.證明 由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA,(3分) 故A、B、C、D四點共圓,(5分) 從而∠CAB=∠CDB.(7分) 再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA, 因此∠DBA=∠CDB,(10分) 所以AB∥CD.(12分) 11. 證明 如圖,連接AO1并延長,分別交兩圓于點E和點D.連接BD,CE.因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A,所以點O2在AD上,故AD,AE分別為圓O1,圓O2的直徑.(5分) 從而∠ABD=∠ACE=.(7分) 所以BD∥CE,于是===.(10分) 所以AB∶AC為定值.(12分) 12
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