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第四節(jié) 基本不等式
【考綱下載】
1.了解基本不等式的證明過程.
2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.
[來源:]
[來源:]
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.
(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.
2.幾個重要的不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R);+≥2(a,b同號).
ab≤2(a,b∈R);2≤(a,b∈R).
3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為:兩個正實數(shù)的
2、算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù).
4.利用基本不等式求最值問題
已知x>0,y>0,則:
(1)如果積xy是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時,x+y有最小值是2(簡記:積定和最小).
(2)如果和x+y是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時,xy有最大值是(簡記:和定積最大).
[來源:]
1.有人說:(1)函數(shù)y=x+的最小值是2;
(2)f(x)=cos x+,x∈的最小值是4;
(3)當(dāng)a>0時,a3+的最小值是2.
你認為這三種說法正確嗎?為什么?
提示:不正確.(1)中忽視了條件x>0;(2)中cos x∈(0,1),利用基本不等式求最值時,“=”不能
3、成立;(3)2不是定值.
2.x>0且y>0是+≥2的充要條件嗎?
提示:不是.當(dāng)x>0且y>0時,+≥2;但+≥2時,x,y同號即可.
1.下列不等式中正確的是( )
A.若a∈R,則a2+9>6a
B.若a,b∈R,則≥2
C.若a,b>0,則2lg≥lg a+lg b
D.若x∈R,則x2+>1
解析:選C ∵a>0,b>0,∴≥.
∴2lg≥2lg=lg ab=lg a+lg b.
2.若x>0,y>0,且x+y=,則xy的最大值為( )
4、
A. B.2 C. D.
解析:選D ∵x>0,y>0,∴=x+y≥2,
即≤,∴xy≤.
3.已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,則的( )
A.最小值為8 B.最大值為8
C.最小值為 D.最大值為
解析:選D?。剑剑健?當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2z時取等號.
4.若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是________(填寫所有正確命題的序號).
①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥
5、3;⑤+≥2.
解析:令a=b=1,可排除命題②④;由2=a+b≥2,得ab≤1,故命題①正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,故命題③正確;+==≥2,故命題⑤正確.
答案:①③⑤
5.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準備費用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元,為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品________件.
解析:記平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為f(x),則f(x)==+≥
2 =20,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=80(x>0)時,等號成立.故每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件,可使
6、f(x)最小.
答案:80
易誤警示(七)
忽視基本不等式成立的條件致誤
[來源:][來源:數(shù)理化網(wǎng)]
[典例] (2014·徐州模擬)已知正數(shù)a,b滿足2a2+b2=3,則a的最大值為________.
[解題指導(dǎo)] a==×.
[解析] a=×a≤×(2a2+b2+1)=×(3+1)=.當(dāng)且僅當(dāng)a=,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1時,等號成立.所以a的最大值為.
[答案]
[名師點評] 1.本題易錯解為:因為a≤(a2+b2+1)2,等號成立的條件是a=,即a2=,b2=,
所以a的最大值為.錯誤的原因是:(a2+b2+1)不是定值,不符合利用基本不等式的前提.
2.利用基本不等式求積的最大值時,要保證和為定值;求和的最小值時,要保證積為定值.定值是利用基本不等式的前提.
已知正實數(shù)x,y滿足xy=1,則的最小值為________.
解析:依題意知,=1+++1≥2+2 =4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=1時,等號成立,故的最小值為4.
答案:4
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