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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第十章 :第六節(jié)幾何概型突破熱點題型

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第六節(jié) 幾 何 概 型 高頻考點 考點一 與長度有關(guān)的幾何概型   1.與長度有關(guān)的幾何概型是高考命題的熱點,多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),試題難度不大,多為容易題或中檔題. 2.高考對與長度有關(guān)的幾何概型的考查主要有以下幾個命題角度: (1)與線段長度有關(guān)的幾何概型; (2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型; (3)與時間有關(guān)的幾何概型; (4)與不等式有關(guān)的幾何概型. [例1] (1)(2013·福建高考)利用計算機產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機數(shù)a,則事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為____

2、____. (2)在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x,則cos x的值介于0到之間的概率為________. [自主解答] (1)由3a-1<0,得a<,而0~1的長度為1,故所求概率為. (2)當(dāng)-≤x≤時,由0≤cos x≤,得-≤x≤-或≤x≤,根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為. [答案] (1) (2) 【互動探究】 本例(2)中,若將“cos x的值介于0到”改為“cos x的值介于0到”,則概率如何? 解:當(dāng)-≤x≤時, 由0≤cos x≤, 得-≤x≤-或≤x≤, 根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.   與長度有關(guān)的幾何概型的常見類型及解題策略 (1

3、)與線段長度有關(guān)的幾何概型.利用幾何概型公式求解,直接利用兩線段的長度之比即可. (2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型.利用幾何概型公式,求曲線的長度之比即可. (3)與時間有關(guān)的幾何概型.利用幾何概型公式,求時間段之比即可. (4)與不等式有關(guān)的幾何概型.利用幾何概型公式,求兩實數(shù)之間距離之比即可. 1.(2013·湖北高考)在區(qū)間[-2,4]上隨機取一個數(shù)x,若x滿足|x|≤m的概率為,則m=________. 解析:由|x|≤m,得-m≤x≤m,當(dāng)m≤2時,由題意得=,解得m=2.5,矛盾,舍去. 當(dāng)2<m<4時,由題意得=,解得m=3. 答案:3 2

4、.已知集合A={x|-1<x<5},B=,在集合A中任取一個元素x,則事件“x∈A∩B”的概率是________.[來源:] 解析:由題意得A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},由幾何概型知,在集合A中任取一個元素x,則x∈A∩B的概率為P=. 答案: 考點二 與面積有關(guān)的幾何概型  [來源:] [來源:] [例2] (1)(2013·陜西高考)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點處各有一個通信基站,假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選

5、一地點,則該地點無信號的概率是(  ) A.1- B.-1 C.2- D. (2)(2013·四川高考)節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是(  ) A. B. C. D. [自主解答] (1)依題意知,有信號的區(qū)域面積為×2=,矩形面積為2,故無信號的概率P==1-. (2)設(shè)第一串彩燈亮的時刻為x,第

6、二串彩燈亮的時刻為y,則 要使兩串彩燈亮的時刻相差不超過2秒,則 如圖所示,不等式組所表示的圖形面積為16,不等式組所表示的六邊形OABCDE的面積為16-4=12, 由幾何概型的概率公式可得P==. [答案] (1)A (2)C 【方法規(guī)律】 求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點 求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,以求面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標(biāo),找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解. 1.(2014·邛崍模擬)已知一個三角形的三邊長分別是5,5,6,一只螞蟻在其內(nèi)部爬行,若不考慮螞蟻的大小,則某時刻該螞蟻

7、距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是(  ) A.2- B.1- C.2- D.1- 解析: 選B 如圖,當(dāng)螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2時,螞蟻要在圖中的空白區(qū)域內(nèi),△ABC為等腰三角形,假設(shè)AB=AC=5,易知AD=4,△ABC的面積是12,由于三角形內(nèi)角和等于π,圖中的三個扇形的面積之和等于一個半徑為2的圓的面積的一半,即三個扇形的面積之和等于2π,故空白區(qū)域的面積是12-2π,所求的概率為=1-. 2.已知平面區(qū)域U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向區(qū)域U內(nèi)隨

8、機投一點P,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為________. 解析: 依題意可在平面直角坐標(biāo)系中作出集合U與A所表示的平面區(qū)域(如圖),由圖可知SU=18,SA=4,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為P==. 答案: 考點三 與角度有關(guān)的幾何概型   [例3]  如圖所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=,在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M,求BM<1的概率. [自主解答] 因為∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°. 在Rt△ABD中,AD=,∠B=60°,所以BD==1,∠BAD

9、=30°. 記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M,使BM<1”,則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生. 由幾何概型的概率公式,得P(N)==. 【互動探究】 若本例中“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M”改為“在線段BC上找一點M”,求BM<1的概率.[來源:] 解:依題意知BC=BD+DC=1+, P(BM<1)==.     【方法規(guī)律】 與角度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動,扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時,應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率,且不可用線段的長度代替,這是兩種不同的度量手段. 提醒:有時與長度或角度有關(guān)的幾何

10、概型,題干并不直接給出,而是將條件隱藏,與其他知識綜合考查. 1. 如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在30°角的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________. 解析:如題圖,因為射線OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的,則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為=. 答案: 2.如圖,M是半徑為R的圓周上一個定點,在圓周上等可能地任取一點N,連接MN,則弦MN的長度超過R的概率是________. 解析:連接圓心O與M點,作弦MN使∠MON=90°,這樣的 點有兩個,分別記為N1,N2,僅當(dāng)點N在不包含點M的半圓弧上取值時,滿足MN>

11、;R,此時∠N1ON2=180°,故所求的概率為=. 答案:[來源:] ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1條規(guī)律——對幾何概型概率公式中“測度”的認識  幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān),而與形狀和位置無關(guān),在解題時,要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法. 2種方法——判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 (1)當(dāng)題干是雙重變量問題,一般與面積有關(guān)系. (2)當(dāng)題干是單變量問題,要看變量可以等可能到達的區(qū)域:若變量在線段上移動,則幾何度量是長度;若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動,則幾何度量是面積(體積),即一個幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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