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高考數(shù)學復習:第五章 :第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和演練知能檢測

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 [全盤鞏固] 1.設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,a3=,S3=,則公比q=(  ) A. B.- C.1或- D.1或 解析:選C 當q=1時,a1=a2=a3=,S3=a1+a2+a3=,符合題意;當q≠1時,由題意得解得q=-.故q=1或q=-. 2.各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,首項a1=3,前三項和為21,則a3+a4+a5=(  ) A.33 B.72 C.84 D.189 解析:選C ∵a1+

2、a2+a3=21, ∴a1+a1·q+a1·q2=21,3+3×q+3×q2=21,[來源:] 即1+q+q2=7,解得q=2或q=-3. ∵an>0,∴q=2,a3+a4+a5=21×q2=21×4=84. 3.已知等比數(shù)列{an}滿足an>0(n∈N*),且a5a2n-5=22n(n≥3),則當n≥1時,log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1等于(  ) A.(n+1)2 B.n2 C.n(2n-1) D.(n-1)2 解析:選B 由等比數(shù)列

3、的性質可知a5a2n-5=a, 又a5a2n-5=22n,所以an=2n. 又log2a2n-1=log222n-1=2n-1, 所以log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1)==n2. 4.已知數(shù)列{an}滿足a1=5,anan+1=2n,則=(  ) A.2 B.4 C.5 D. 解析:選B 依題意得==2,即=2,故數(shù)列a1,a3,a5,a7,…是一個以5為首項、2為公比的等比數(shù)列,因此=4. 5.數(shù)列{an}中,已知對任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,則a

4、+a+a+…+a=(  ) A.(3n-1)2 B.(9n-1) C.9n-1 D.(3n-1) 解析:選B ∵a1+a2+a3+…+an=3n-1,① ∴a1+a2+a3+…+an-1=3n-1-1.② 由①-②,得an=3n-3n-1=2×3n-1. ∴當n≥2時,an=3n-3n-1=2×3n-1, 又n=1時,a1=2適合上式, ∴an=2×3n-1, 故數(shù)列{a}是首項為4,公比為9的等比數(shù)列. 因此a+a+…+a==(9n-1). 6.已知{an}為等比數(shù)列,下面結論中正確的是(  ) A.a(chǎn)1+a3≥2a2

5、 B.a(chǎn)+a≥2a C.若a1=a3,則a1=a2 D.若a3>a1,則a4>a2 解析:選B 設{an}的首項為a1,公比為q,則a2=a1q,a3=a1q2.∵a1+a3=a1(1+q2),又1+q2≥2q,當a1>0時,a1(1+q2)≥2a1q,即a1+a3≥2a2;當a1<0時,a1(1+q2)≤2a1q,即a1+a3≤2a2,故A不正確;∵a+a=a(1+q4),又1+q4≥2q2且a>0,∴a+a≥2a,故B正確;若a1=a3,則q2=1.∴q=±1.當q=1時,a1=a2;當q=-1時,a1≠a2,故C不正確;D項中,若q>

6、0,則a3q>a1q,即a4>a2;若q<0,則a3q<a1q,此時a4<a2,故D不正確. 7.(2013·遼寧高考)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=________. 解析:a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根且{an}是遞增數(shù)列,故a3=4,a1=1,故公比q=2,S6==63. 答案:63 8.(2014·杭州模擬)公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項ak1,ak2,ak3,…,構成等比數(shù)列,且k1=1,k2=2,k3=6,則k4=______

7、. 解析:據(jù)題意等差數(shù)列的a1,a2,a6成等比數(shù)列,設等差數(shù)列的公差為d,則有(a1+d)2=a1(a1+5d),解得d=3a1,故a2=4a1,a6=16a1?ak4=64a1=a1+3a1(n-1),解得n=22. 答案:22 9.(2013·江蘇高考)在正項等比數(shù)列{an}中,a5=,a6+a7=3.則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________. 解析:設等比數(shù)列的首項為a1,公比為q>0, 由得a1=,q=2. 所以an=2n-6. a1+a2+…+an=2n-5-2-5,a1a2…an=2. 由a1+a2+…+

8、an>a1a2…an,得2n-5-2-5>2, 由2n-5>2,得n2-13n+10<0, 解得<n<,取n=12,可以驗證當n=12時滿足a1+a2+…+an>a1a2…an,n≥13時不滿足a1+a2+…+an>a1a2…an,故n的最大值為12.[來源:] 答案:12 10.數(shù)列{an}中,Sn=1+kan(k≠0,k≠1). (1)證明:數(shù)列{an}為等比數(shù)列; (2)求通項an; (3)當k=-1時,求和a+a+…+a. 解:(1)證明:∵Sn=1+kan,① Sn-1=1+kan-1,② ①-②得Sn-Sn-1=k

9、an-kan-1(n≥2), ∴(k-1)an=kan-1,=為常數(shù),n≥2. ∴{an}是公比為的等比數(shù)列. (2)∵S1=a1=1+ka1,∴a1=. ∴an=·n-1=-. (3)∵{an}中a1=,q=, ∴{a}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列. 當k=-1時,等比數(shù)列{a}的首項為,公比為, ∴a+a+…+a==. 11.已知函數(shù)f(x)=的圖象過原點,且關于點(-1,2)成中心對稱. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=f(an),證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項公式. 解:(1)∵f(0)=0,

10、∴c=0. ∵f(x)=的圖象關于點(-1,2)成中心對稱, ∴f(x)+f(-2-x)=4,解得b=2. ∴f(x)=. (2)∵an+1=f(an)=, ∴當n≥2時, =·=·=·=2. 又=2≠0, ∴數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列, ∴=2n,∴an=.[來源:] 12.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*). (1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并寫出數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足4b1-1·4b2-1·4b3-1·…·4bn-1=(an

11、+1)n,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解:(1)證明:∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), 又a1=1,∴a1+1=2≠0,an+1≠0, ∴=2, ∴數(shù)列{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列. ∴an+1=2n,可得an=2n-1. (2)∵4b1-1·4b2-1·4b3-1·…·4bn-1=(an+1)n, ∴4b1+b2+b3+…+bn-n=2n2, ∴2(b1+b2+b3+…+bn)-2n=n2, 即2(b1+b2+b3+…+bn)=n2+2n, ∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=n2+n.

12、 [沖擊名校] 1.設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù),且對任意的實數(shù)x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________. 解析:由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=2,a3=f(3)=f(2)f(1)=[f(1)]3=3,…,an=f(n)=[f(1)]n=n, 所以Sn=+2+3+…+n ==1-n. ∵n∈N*,∴≤Sn<1. 答案:[來源:] 2.數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,a1=t,點(Sn,an+1)在直線y=3x+1上,n∈N

13、*. (1)當實數(shù)t為何值時,數(shù)列{an}是等比數(shù)列; (2)在(1)的結論下,設bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是數(shù)列{cn}的前n項和,求Tn. 解:(1)∵點(Sn,an+1)在直線y=3x+1上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且n∈N*). ∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an, ∴an+1=4an(n>1,n∈N*), a2=3S1+1=3a1+1=3t+1, ∴當t=1時,a2=4a1,數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (2)在(1)的結論下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=

14、an+bn=4n-1+n, ∴Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)=+. [高頻滾動] 1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,則n=(  ) A.12 B.14 C.16 D.18 解析:選B Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(a1+an)=120,a1+an=30,由Sn==210,得n=14. 2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1

15、,且an=2an-1+2n(n≥2,n∈N*). (1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項公式; (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解:(1)證明:因為an=2an-1+2n, 所以==+1,即-=1, 所以數(shù)列是等差數(shù)列,且公差d=1,其首項=,[來源:] 所以=+(n-1)×1=n-, 解得an=×2n=(2n-1)2n-1. (2)Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1,① 2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,② ①-②,得 -Sn=1×20+2×21+2×22+…+2×2n-1-(2n-1)2n=1+-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3. 所以Sn=(2n-3)2n+3. 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品

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