《高考數學復習：第九章 ：第二節(jié)導數的應用一回扣主干知識提升學科素養(yǎng)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學復習：第九章 ：第二節(jié)導數的應用一回扣主干知識提升學科素養(yǎng)（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、△+△2019年數學高考教學資料△+△ 第二節(jié)　導數的應用(一) 【考綱下載】 1．了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間(其中多項式函數一般不超過三次)． 2．了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次)． 1．函數的導數與單調性的關系 函數y＝f(x)在某個區(qū)間內可導，則 (1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內單調遞增； (2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內單調遞減；

2、 (3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內是常數函數． 2．函數的極值與導數 (1)函數的極小值 若函數y＝f(x)在點x＝a處的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，且f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則a點叫做函數的極小值點，f(a)叫做函數的極小值． (2)函數的極大值 若函數y＝f(x)在點x＝b處的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，且f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則b點叫做函數的極大值點，f(b)叫做函數的極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值． 3．函

3、數的最值與導數 (1)函數f(x)在[a，b]上有最值的條件： 一般地，如果在區(qū)間[a，b]上，函數y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值． (2)求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟為： ①求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值； ②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 1．若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f′(x)>0嗎？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)內單調遞增的充要條件？ 提示：函數f(x)在(a，b)內單調遞增，則f′(x)≥

4、0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)內單調遞增的充分不必要條件． 2．導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？“導數為0”是函數在該點取得極值的什么條件？ 提示：不一定．可導函數的極值點導數為零，但導數為零的點未必是極值點；如函數f(x)＝x3，在x＝0處，有f′(0)＝0，但x＝0不是函數f(x)＝x3的極值點；其為函數在該點取得極值的必要而不充分條件． 3．函數的極值和函數的最值有什么聯系和區(qū)別？ 提示：極值是局部概念，指某一點附近函數值的比較，因此，函數的極大(小)值，可以比極小(大)值小(大)；最值是整體概念，最大、最小值是指閉區(qū)間[a，b]上所有函數值的比較．因而在一般情況下

5、，兩者是有區(qū)別的，極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值，但如果連續(xù)函數在區(qū)間(a，b)內只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值． [來源:數理化網] 1．如圖所示是函數f(x)的導函數f′(x)的圖象，則下列判斷中正確的是(　　) A．函數f(x)在區(qū)間(－3,0)上是減函數 B．函數f(x)在區(qū)間(－3,2)上是減函數[來源:] C．函數f(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數 D．函數f(x)在區(qū)間(－3,2)上是單調函數 解析：選A　當x∈(－3,0)時，f′(x)<0，則f(x)在(－3,0)上是減函數．其他判斷均不正確．

6、 2．函數f(x)＝ex－x的單調遞增區(qū)間是(　　)[來源:] A．(－∞，1]　　　　　　　　B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(0，＋∞) 解析：選D　∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0. 3．設函數f(x)＝＋ln x，則(　　) A．x＝為f(x)的極大值點 B．x＝為f(x)的極小值點 C．x＝2為f(x)的極大值點 D．x＝2為f(x)的極小值點 解析：選D　f(x)＝＋ln x，f′(x)＝－＋＝，當x>2時，f′(x)>0，此時f(x)為增函數；當x<2時，f′(x)<0

7、，此時f(x)為減函數，據此知x＝2為f(x)的極小值點． 4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函數，則a的最大值是________． 解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3. 答案：3 5．函數f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________． 解析：f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－. 答案：－ 壓軸大題巧突破(三)[來源:] 利用導數研究函數的極值、最值問

8、題 [典例]　(2013浙江高考)(14分)已知a∈R，函數f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3. (1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程； (2)當x∈[0,2]時，求|f(x)|的最大值． [化整為零破難題] (1)切點處的導數值即為切線的斜率，求導后計算出斜率，寫出切線方程即可； (2)基礎問題1：|f(x)|的最大值與f(x)的最值之間有什么關系？ 如果函數f(x)的最大值為M，最小值為m，則|f(x)|的最大值必定是|M|和|m|中的一個．因此要求|f(x)|的最大值，應求f(x)的最值． 基礎問題2：如何求函數y＝f(x)，x∈[0,2]的

9、最值？ 由于f(x)是關于x的三次函數，因此，f(x)在[0,2]上的最值為函數f(x)在[0,2]上的端點值或極值．從而只要求出f(x)在[0,2]上的端點值f(0)，f(2)及其極值，然后比較其絕對值的大小即可． 基礎問題3：如何求f(x)在[0,2]上的極值？ 要求f(x)在[0,2]上的極值，應利用導數研究函數f(x)在區(qū)間[0,2]上的單調性，即研究f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)(0≤x≤2)的函數值符號，由于0≤x≤2，所以0≤3(x－1)2≤3.故應分3(a－1)≥0,3(a－1)≤－3，－3<3(a－1)<0，即a≥1，a≤0,0

10、a≤0時，函數f(x)為單調函數，故只需比較|f(0)|與|f(2)|的大小即可；當00，f(x)極大值－f(x)極小值>0，從而可確定f(x)極大值>|f(x)極小值|.因此|f(x)|max＝max，由于0|f(2)|，≤a<1時，|f(2)|＝f(2)≥|f(0)|.故當0

11、)極大值的大小即可． [規(guī)范解答不失分] (1)由題意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3. 2分 又f(1)＝1，所以所求的切線方程為y＝(3a－3)x－3a＋4. 4分 (2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故 (ⅰ)①，有f′(x)≤0，此時f(x)在[0,2]上單調遞減，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.

12、 5分 (ⅱ)①，有f′(x)≥0，此時f(x)在[0,2]上單調遞增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1. 6分 (ⅲ)當0

13、(x－x2)．列表如下： x 0 (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋[來源:] f(x) 3－3a ↗ 極大值 f(x1) ↘ 極小值 f(x2) ↗ 3a－1 　 由于f(x1)＝1＋2(1－a)，f(x2)＝1－2(1－a)， 8分 故f(x1)＋f(x2)＝2>0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a) >0，從而f(x1)>|f(x2)|.② 所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}.

14、 10分 a.③，f(0)>|f(2)|.又f(x1)－f(0)＝2(1－a)－(2－3a)＝>0，故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a). 11分 b.③，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a)－(3a－2)＝，所以④，f(x1)>|f(2)|.故f(x)max＝f(x1)＝1＋2(1－a). 12分 ④，f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1.

15、 13分 綜上所述，|f(x)|max＝ 14分 [易錯警示要牢記] 易錯 點一 ①處易忽視對a≤0和a≥1兩種情況的討論，而直接令f′(x)＝0，求出x1＝1－，x2＝1＋而導致解題錯誤 易錯 點二 ②處易發(fā)生不會比較f(x1)與|f(x2)|的大小，造成問題無法求解，或求解繁瑣，進而造成解題失誤 易錯 點三 ③處易發(fā)生不知如何比較f(0)，|f(2)|，f(x1)三者大小而造成問題無法后續(xù)求解．事實上，此處的分類依據是：先比較出f(0)與|f(2)|的大小，然后利用二者中的較大者再與f(x1)比較大小 高考數學復習精品 高考數學復習精品