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第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性
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1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義.
2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.
3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義,會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性.
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1.奇函數(shù)、偶函數(shù)及其圖象特征
奇函數(shù)
偶函數(shù)
定[來源:]
義[來源:
義
一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,
都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)
都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)
圖象
特征
關(guān)于原點對稱
關(guān)于y軸對稱
2、
2.周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](a≠b)上有奇偶性,則實數(shù)a,b之間有什么關(guān)系?
提示:a+b=0.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.
2.若f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,那么f(0)為何值?如果是偶函數(shù)呢?
提示:如果f(x)是奇函數(shù)時,f(0)=-f
3、(0),則f(0)=0;如果f(x)是偶函數(shù)時,f(0)不一定為0,如f(x)=x2+1.
3.是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)?若有,有多少個?
提示:存在,如f(x)=0,定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集,這樣的函數(shù)有無窮多個.
4.若T為y=f(x)的一個周期,那么nT(n∈Z)是函數(shù)f(x)的周期嗎?
提示:不一定.由周期函數(shù)的定義知,函數(shù)的周期是非零常數(shù),當n∈Z且n≠0時,nT是f(x)的周期.
1.(2013廣東高考)定義域為R的四個函數(shù)y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函數(shù)的個數(shù)是( )
A.4 B.3 C.
4、2 D.1
解析:選C 函數(shù)y=x3,y=2sin x為奇函數(shù),y=2x為非奇非偶函數(shù),y=x2+1為偶函數(shù),故奇函數(shù)的個數(shù)是2.
2.(2013山東高考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當x>0時, f(x) =x2+,則f(-1)=( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
解析:選A 因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-2.
3.(2013湖北高考)x為實數(shù),[x]表示不超過x的最大整數(shù),則函數(shù)f(x)=x-[x]在R上為( )
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.增函數(shù) D.周期函數(shù)
解析:選D 函數(shù)f(x)=x
5、-[x]在R上的圖象如下圖:
故f(x)在R上為周期函數(shù).
4.若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則實數(shù)a=________.
解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a為二次函數(shù),其圖象的對稱軸為x=-,因為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以-=0,解得a=4.
答案:4
5.設f(x)是周期為2的奇函數(shù),當0≤x≤1時,f(x)=2x(1-x),則f=________.
解析:∵f(x)是周期為2的奇函數(shù),
∴f=-f=-f=-f=
-2=-.
答案:-
前沿熱點(二)
與奇偶性、周期性有關(guān)的交匯問題
1.函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性
6、質(zhì),在高考中常常將它們綜合在一起與函數(shù)圖象、函數(shù)零點等問題相交匯命題.
2.函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為f(-x)與f(x)的相等或相反關(guān)系,而根據(jù)周期函數(shù)的定義知,函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為f(x+T)與f(x)的關(guān)系.函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系,而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.因此,在解題時,往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性,即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換,再利用單調(diào)性來解決相關(guān)問題.
[典例] (2012遼寧高考)設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且當x∈[0,1]時,f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos
7、(πx)|,則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點個數(shù)為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[解題指導] 由f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x)可知該函數(shù)是周期為2的偶函數(shù),可畫出g(x)與f(x)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.
[解析] 由題意知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且周期是2.作出g(x),f(x)的函數(shù)圖象,如圖.由圖可知函數(shù)y=g(x),y=f(x)在上有6個交點,故函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點有6個.
[答案] B
[名師點評] 解決本題的關(guān)鍵有以下幾點:
(1)正確識別函數(shù)f(x)的性質(zhì);
8、(2)注意到x=0是函數(shù)h(x)的一個零點,此處極易被忽視;
(3)正確畫出函數(shù)的圖象,將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題.
(2014合肥模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).當0≤x≤1時,f(x)=x2.若直線y=x+a與函數(shù)y=f(x)的圖象在[0,2]內(nèi)恰有兩個不同的公共點,則實數(shù)a的值是( )
A.0 B.0或-
C.-或- D.0或-
解析:選D ∵f(x+2)=f(x),∴T=2.
又0≤x≤1時,f(x)=x2,可畫出函數(shù)y=f(x)在一個周期內(nèi)的圖象如圖.
顯然a=0時,y=x與y=x2在[0,2]內(nèi)恰有兩個不同的公共點.
另當直線y=x+a與y=x2(0≤x≤1)相切時也恰有兩個不同公共點,由題意知x2=x+a,即x2-x-a=0,Δ=1+4a=0,則a=-,此時x=.
綜上可知a=0或-.
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