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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
第七節(jié) 拋 物 線
[全盤鞏固]
1.拋物線x2=(2a-1)y的準(zhǔn)線方程是y=1,則實數(shù)a=( )
A. B. C.- D.-
解析:選D 把拋物線方程化為x2=-2y,則p=-a,故拋物線的準(zhǔn)線方程是y==,則=1,解得a=-.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
2.直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A,B兩點,若|AB|=4,則弦AB的中點到直線x+=0的距離等于( )
A. B.2 C. D.4
解析:選C 直線4kx-4y-k=0,即y=k
2、,即直線4kx-4y-k=0過拋物線y2=x的焦點.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+=4,故x1+x2=,則弦AB的中點的橫坐標(biāo)是,所以弦AB的中點到直線x+=0的距離是+=.
3.(2013江西高考)已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準(zhǔn)線相交于點N,則|FM|∶|MN|=( )
A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3
解析:選C FA:y=-x+1,與x2=4y聯(lián)立,得xM=-1,F(xiàn)A:y=-x+1,與y=-1聯(lián)立,得N(4,-1),由三角形相似知==.
4.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點
3、,A,B,C為該拋物線上三點,若++=0,則||+||+||=( )
A.9 B.6 C.4 D.3
解析:選B 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
又F(1,0),由++=0知,
(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,
||+||+||=x1+x2+x3+p=6.
5.已知點M(1,0),直線l:x=-1,點B是l上的動點,過點B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點P,則點P的軌跡是( )
A.拋物線 B.橢圓
C.雙曲線的一支
4、 D.直線
解析:選A 由點P在BM的垂直平分線上,故|PB|=|PM|.又PB⊥l,因而點P到直線l的距離等于點P到點M的距離,所以點P的軌跡是拋物線.
6.(2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)為拋物線C:y2=4x的焦點,P為C上一點,若|PF|=4,則△POF的面積為( )
A.2 B.2 C.2 D.4
解析:選C 設(shè)P(x0,y0),根據(jù)拋物線定義得|PF|=x0+,所以x0=3,
代入拋物線方程求得y2=24,解得|y|=2,
所以△POF的面積等于|OF||y|=2=2.
7.(2013北京高考)若拋物線y2=2px
5、的焦點坐標(biāo)為(1,0),則p=________,準(zhǔn)線方程為________.
解析:∵拋物線y2=2px的焦點坐標(biāo)為(1,0),∴=1,解得p=2,∴準(zhǔn)線方程為x=-1.
答案:2 x=-1
8.(2014麗水模擬)設(shè)Q為圓C:x2+y2+6x+8y+21=0上任意一點,拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為l.若拋物線上任意一點P到直線l的距離為m,則m+|PQ|的最小值為________.
解析:如圖由拋物線定義可得,點P到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點F的距離,故問題轉(zhuǎn)化為點P到焦點的距離與到圓上點的距離之和的最小值,由圓的知識可知當(dāng)且僅當(dāng)點P為圓心C和焦點F的連線與拋物線的交點,Q取CF的連線與
6、圓的交點時,距離之和取得最小值,即m+|PQ|≥|CF|-r=-2=-2.
答案:-2.
9.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是________.
解析:
如圖,設(shè)與直線4x+3y-8=0平行且與拋物線y=-x2相切的直線為4x+3y+b=0,切線方程與拋物線方程聯(lián)立得消去y整理得3x2-4x-b=0,則Δ=16+12b=0,解得b=-,所以切線方程為4x+3y-=0,拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是這兩條平行線間的距離d==.
答案:
10.已知以向量v=為方向向量的直線l過點,拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點關(guān)于直
7、線l的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)A,B是拋物線C上兩個動點,過A作平行于x軸的直線m,直線OB與直線m交于點N,若+p2=0(O為原點,A,B異于原點),試求點N的軌跡方程.[來源:
解:(1)由題意可得直線l的方程為y=x+,①
過原點垂直于l的直線方程為y=-2x.②
解①②得x=-.
∵拋物線的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上,
∴-=-2,p=2.
∴拋物線C的方程為y2=4x.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),由題意知y0=y(tǒng)1.
由+p2=0,得x1x2+y1y2+4=0,
又y=4x1
8、,y=4x2,解得y1y2=-8,③
直線ON:y=x,即y0=x0.④
由③④及y0=y(tǒng)1得點N的軌跡方程為x=-2(y≠0).
11.已知定點A(1,0)和直線x=-1上的兩個動點E,F(xiàn),且⊥,動點P滿足∥,∥ (其中O為坐標(biāo)原點).
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點B(0,2)的直線l與(1)中的軌跡C相交于兩個不同的點M,N,若<0,求直線l的斜率的取值范圍.
解:(1)設(shè)P(x,y),E(-1,yE),F(xiàn)(-1,yF),
∵=(-2,yE)(-2,yF)=y(tǒng)EyF+4=0,
∴yEyF=-4,①
又=(x+1,y-yE),=(1,-yF),
且∥,∥,
9、
∴y-yE=0且x(-yF)-y=0,
∴yE=y(tǒng),yF=-,
代入①得y2=4x(x≠0),
∴動點P的軌跡C的方程為y2=4x(x≠0).
(2)設(shè)l:y-2=kx(易知k存在,且k≠0),
聯(lián)立消去x,得ky2-4y+8=0,
Δ=42-32k>0,即k<.
令M(x1,y1),N(x2,y2),
則y1+y2=,y1y2=,
=(x1-1,y1)(x2-1,y2)
=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
=-+1+y1y2
=2-+y1y2+1
=+1<0,
∴-12
10、珠海模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點F,直線l:x=-,點P在直線l上移動,R是線段PF與y軸的交點,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求動點Q的軌跡C的方程;
(2)設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在曲線C上,TS是圓M在y軸上截得的弦,當(dāng)M運(yùn)動時,弦長|TS|是否為定值?請說明理由.
解:
(1)依題意知,點R是線段FP的中點,且RQ⊥FP,
∴RQ是線段FP的垂直平分線.
∵|PQ|是點Q到直線l的距離.
點Q在線段FP的垂直平分線上,
∴|PQ|=|QF|.
故動點Q的軌跡是以F為焦點,l為準(zhǔn)線的拋物線,
其方程為y2=2x(x>0).
(2)弦長|TS|為定值
11、.理由如下:取曲線C上點M(x0,y0),M到y(tǒng)軸的距離為d=|x0|=x0,
圓的半徑r=|MA|=,
則|TS|=2=2,
因為點M在曲線C上,所以x0=,
所以|TS|=2=2,是定值.
[沖擊名校]
已知直線y=-2上有一個動點Q,過點Q作直線l1垂直于x軸,動點P在l1上,且滿足OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點),記點P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若直線l2是曲線C的一條切線,當(dāng)點(0,2)到直線l2的距離最短時,求直線l2的方程.
解:(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則點Q的坐標(biāo)為(x,-2).
∵OP⊥OQ,
∴當(dāng)x=0時,P,O,Q三點共線,不符合
12、題意,故x≠0.
當(dāng)x≠0時,得kOPkOQ=-1,[來源:]
即=-1,化簡得x2=2y,
∴曲線C的方程為x2=2y(x≠0).
(2)∵直線l2與曲線C相切,
∴直線l2的斜率存在.
設(shè)直線l2的方程為y=kx+b,
由得x2-2kx-2b=0.
∵直線l2與曲線C相切,
∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.
點(0,2)到直線l2的距離
d=[來源:]
=
=
≥2=.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即k=時,等號成立.
此時b=-1.
∴直線l2的方程為x-y-1=0或x+y+1=0.
[高頻滾動]
1.(2014宜賓模擬)已知點F1(-,0),F(xiàn)2(,0),動點P
13、
滿足|PF2|-|PF1|=2,當(dāng)點P的縱坐標(biāo)是時,點P到坐標(biāo)原點的距離是( )
A. B. C. D.2
解析:選A 由已知可得c=,a=1,∴b=1.
∴雙曲線方程為x2-y2=1(x≤-1).
將y=代入,可得點P的橫坐標(biāo)為x=-.
∴點P到原點的距離為 =.
2.(2014上海模擬)已知雙曲線-=1的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點M在雙曲線上且MF1⊥x軸,則F1到直線F2M的距離為________.
解析:由題意知F1(-3,0),設(shè)M(-3,y0),代入雙曲線方程求得|y0|=,即|MF1|=.又|F1F2|=6,利用直角三角形性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合得F1到直線F2M的距離為d===.
答案:
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
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