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常用數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性比較本科生畢業(yè)論文

上傳人:沈*** 文檔編號:40874141 上傳時間:2021-11-17 格式:DOC 頁數(shù):10 大?。?90.02KB
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1、目錄 中文摘要………………………………………………………………………………………i 英文摘要………………………………………………………………………………………ii 1. 引言………………………………………………………………………………………1 2. 預(yù)備知識…………………………………………………………………………………1 3. 正項(xiàng)級數(shù)的兩種常用判別法的強(qiáng)弱性比較……………………………………………1 4. 任意項(xiàng)級數(shù)的三種常用判別法的強(qiáng)弱性比較…………………………………………4 致謝……………………………………………………………………………………………7 參考文獻(xiàn)……………

2、…………………………………………………………………………8 常用數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性比較 摘 要: 本文比較五種數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性, 并給出相應(yīng)的證明和反例, 其中五種數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法為: 柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、阿貝爾判別法、狄立克萊判別法和萊布尼茲判別法. 關(guān)鍵詞: 數(shù)項(xiàng)級數(shù); 斂散性; 判別法; 強(qiáng)弱性比較

3、 The Comparison of strength and weakness about Discriminance of Convergence and Divergence of Universal Number Series Abstract:In this paper, we compare the strength of five discriminance of convergence and divergence about number series, and give the corresponding proof and counter-

4、examples, where five discriminance of convergence and divergence about number series are: Cauchy Discriminance, D'Alembert Discriminance, Abel Discriminance, Dirichlet Discriminance and Leibniz Discriminance. Key words:Number series; Convergence and Divergence; Discriminance; Comparison of stre

5、ngth and weakness ii 1引 言 數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法是研究數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的一個重要而有趣的領(lǐng)域,是判斷數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的有效方法, 有廣泛的應(yīng)用, 見[1-7]. 關(guān)于數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法有很多種,我們可以選擇不同的判別法來確定數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性. 在[2]中, 給出幾種常用的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法, 其中有:比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、狄立克萊判別法、阿貝爾判別法、萊布尼茲判別法等. 對于一個給定的數(shù)項(xiàng)級數(shù)可用某些判別法

6、確定之,而不能用另外一些判別法確定之,這就出現(xiàn)了數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法的強(qiáng)弱性. 本文就是比較這些判別法之間的斂散性的強(qiáng)弱性. 以便于運(yùn)用判別法的有效選擇. 對于數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法的強(qiáng)弱性問題,常用的主要有比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法. 其中比較判別法是最強(qiáng)的, 因?yàn)榭挛髋袆e法、達(dá)朗貝爾判別法的證明就是依據(jù)比較判別法來證明的. 因此,本文只對柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法的強(qiáng)弱性進(jìn)行比較. 對于任意項(xiàng)級數(shù),主要有阿貝爾判別法、狄立克萊判別法和萊布尼茲判別法.它們都是多條件判別法,雖然各個條件分別各有其強(qiáng)弱性,但從狄立克萊判別法可以推導(dǎo)出阿貝爾判別法,從狄

7、立克萊判別法也可以得到萊布尼茲判別法. 所以它們之間也有強(qiáng)弱性,本文給出強(qiáng)弱性結(jié)果和相應(yīng)的證明與反例. 2預(yù)備知識 正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法 若兩個正項(xiàng)級數(shù)和之間成立著關(guān)系:存在常數(shù)>0, 使(1, 2, 3, ……)或者自某項(xiàng)以后(即, 當(dāng)時)成立以上關(guān)系, 那么: (i)當(dāng)級數(shù)收斂時,級數(shù)亦收斂; (ii)當(dāng)級數(shù)發(fā)散時,級數(shù)亦發(fā)散. (證明略, 參見[2]) 3正項(xiàng)級數(shù)的兩種常用判別法的強(qiáng)弱性比較 I.柯西(Cauchy)判別法 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), 若從某一項(xiàng)起(即, 當(dāng)時)成立著(為某確定的常數(shù)), 則級數(shù)收斂; 若從某一項(xiàng)起成立著, 則級數(shù)發(fā)散. 證明 若當(dāng)時, 成立

8、, 則有. 由于級數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較判別法得級數(shù)收斂. 若當(dāng)時, , 則有. 從而級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0, 故級數(shù)發(fā)散. 這個判別法也可以寫成極限形式: 對于正項(xiàng)級數(shù), 設(shè), 那么當(dāng)時, 此級數(shù)必為收斂級數(shù); 當(dāng), 此級數(shù)必為發(fā)散級數(shù); 當(dāng)時, 此級數(shù)的斂散性須進(jìn)一步判定. (參見[2]) II.達(dá)朗貝爾(D’Alembert)判別法 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), 若從某一項(xiàng)起 (即, 當(dāng)時)成立著(為某一確定的常數(shù)), 則級數(shù)收斂, 若從某一項(xiàng)起, , 則級數(shù)發(fā)散. 證明 若當(dāng)時, 成立, 則有. 故 . 由于級數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較判別法有級數(shù)收斂. 若當(dāng)時, 成立, 即,

9、則 . 又因, 則. 故不趨于0. 所以級數(shù)發(fā)散. 這個判別法也可以寫成極限形式:對于正項(xiàng)級數(shù), 當(dāng)時, 級數(shù)收斂; 當(dāng)時, 級數(shù)發(fā)散; 而當(dāng)或者時, 級數(shù)的斂散性須進(jìn)一步判定. (參見[2]) 定理1柯西判別法強(qiáng)于達(dá)朗貝爾判別法. 即對于正項(xiàng)級數(shù), 能用達(dá)朗貝爾判別法確定其斂散性, 則必可用柯西判別法確定之. 證明 這里只須證明: . 而這里只證明第一個不等式, 第二個不等式恒成立, 第三個不等式類似于第一個不等式的證明. 令, 任取, 使得, 則存在, 當(dāng)時, 有, 即, 故 . 所以, 即. 所以

10、 . 由于此式對一切均成立. 故 . 定理得證. 注1 對于給定的正項(xiàng)級數(shù), 能用柯西判別法確定其斂散性, 未必能用達(dá)朗貝爾判別法確定之. 下舉一例子說明. 例1 設(shè)級數(shù), 分別用柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法判斷該級數(shù)的斂散性. 解: 先用柯西判別法判別其斂散性. 由于, 又因. 故 . 即 . 由柯西判別法得, 級數(shù)收斂. 但 . 所以, , 故不能用達(dá)朗貝爾判別法判斷其斂散性. 4 任意項(xiàng)級數(shù)的三種常用判別法的強(qiáng)弱性比較 III.阿貝爾(Abel)判別法 如果: (i)級數(shù)

11、收斂; (ii)數(shù)列單調(diào)有界, (1, 2, 3, ……). 則級數(shù)收斂.(證明略,參見[2]) IV.狄立克萊(Dirichlet)判別法 如果: (i)級數(shù)的部分和有界, (1, 2, 3, ……); (ii)數(shù)列單調(diào)趨于零. 則級數(shù)收斂.(證明略, 參見[2]) V.萊布尼茲(Leibniz)判別法 如果一個交錯級數(shù)的項(xiàng)滿足以下兩個條件: (i)單調(diào)減少 (1, 2, 3, ……); (ii). 則級數(shù)收斂. (證明略, 參見[2]) 定理2 狄立克萊判別法強(qiáng)于阿貝爾判別法. 即凡能用阿貝爾判別法確定其斂散性的數(shù)項(xiàng)級數(shù), 必可用狄立克萊判別法確定之. 證明:由

12、阿貝爾判別法的假設(shè)條件(ii)可知, 數(shù)列的極限存在,設(shè)此極限為,則 . 由阿貝爾判別法的條件(i)可知, 級數(shù)收斂. 所以級數(shù)部分和有界,即存在, 使(1, 2, 3, ……). 因單調(diào)趨于0. 由狄立克萊判別法知, 級數(shù)收斂. 又因級數(shù)收斂, 所以級數(shù) 收斂. 定理得證. 注2 對于給定的數(shù)項(xiàng)級數(shù), 能用狄立克萊判別法確定其斂散性. 該數(shù)項(xiàng)級數(shù)未必能用阿貝爾判別法確定之. 下舉一例子說明. 例2 設(shè)級數(shù), 分別用狄立克萊判別法和阿貝爾判別法判斷其斂散性. 解:因 (2, 3, 4, ……) 由積化和差公式: , 得 . 所以(2, 3, 4

13、, ……). 又因時, 單調(diào)趨于0,故由狄立克萊判別法知級數(shù)收斂. 但由于不收斂于0. 由收斂級數(shù)的項(xiàng)必定趨于0, 可以得到級數(shù)不收斂. 所以不能用阿貝爾判別法判斷級數(shù)的斂散性. 定理3 狄立克萊判別法強(qiáng)于萊布尼茲判別法, 即凡能用萊布尼茲判別法確定其斂散性的數(shù)項(xiàng)級數(shù), 必可用狄立克萊判別法確定之. 證明 對于數(shù)項(xiàng)級數(shù)滿足萊布尼茲判別法的兩個條件, 可根據(jù)狄立克萊判別法證明其收斂. 如下: 令, (1, 2, 3, ……). 因?yàn)?(1, 2, 3, ……)且. 所以數(shù)列單調(diào)趨于0. 又因, 令, 則, 有界. 所以, 由狄立克萊判別法知級數(shù)收斂. 即級數(shù)收斂. 定理得證. 注3

14、 對于給定的任意項(xiàng)級數(shù), 能用狄立克萊判別法確定其斂散性. 該級數(shù)未必能用萊布尼茲判別法確定之. 例如: 例2中級數(shù)能用狄立克萊判別法確定其斂散性, 但由于該級數(shù)不是交錯級數(shù), 顯然不能用萊布尼茲判別法確定之. 其實(shí), 萊布尼茲判別法可以作為狄立克萊判別法的一個特殊情況. 因?yàn)? 對于狄立克萊判別法中的級數(shù), 令, , 由數(shù)列單調(diào)趨于零, 可得到: (i)單調(diào)減少(充分大時); (ii). 就是萊布尼茲判別法了. 參考文獻(xiàn) [1] 汪林, 戴正德, 楊富春, 鄭喜印編. 數(shù)學(xué)分析問題研究與評注. 北京: 科學(xué)出版社. 1995. [2] 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋編. 數(shù)學(xué)分析(第二

15、版). 北京: 高等教育出版社. 2005. [3] 許紹溥, 姜東平, 宋國柱, 任福賢編. 數(shù)學(xué)分析教程. 南京: 南京大學(xué)出版社. 2000. [4] 汪林編. 數(shù)學(xué)分析中的問題和反例. 昆明: 云南科技出版社. 1990. [5] 云南大學(xué)教務(wù)處編. 2006云南大學(xué)本科生優(yōu)秀畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))集粹(理科). 昆明: 云南民族大學(xué)印刷廠印制. 2006. [6] 楊鐘玄. 關(guān)于正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法及其聯(lián)系. 天水師專學(xué)報(bào). 1999, 第19卷(47期): 80—83. [7] 錢志良. 對Abel和Dirichlet判別法的擴(kuò)充. 常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào). 2004, 第3卷(3期): 41—42. 7

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