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第六節(jié) 幾 何 概 型
【考綱下載】
1.了解隨機數(shù)的意義,能運用模擬方法估計概率.
2.了解幾何概型的意義.
1.幾何概型
如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.
2.幾何概型的概率公式
P(A)=.
1.幾何概型有什么特點?
提示:(1)無限性:試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限個.(2)等可能性:每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.
2.幾何概型和古典概型有什么區(qū)別?
提示:幾何概型和古典概型中基本事件發(fā)生的可能
2、性都是相等的,但古典概型的基本事件有有限個,而幾何概型的基本事件有無限個.
1.(2014漳州模擬)在區(qū)間[20,80]內(nèi)隨機取一實數(shù)a,則實數(shù)a屬于區(qū)間[50,75]的概率是( )
A. B. C. D.
解析:選C 顯然,該問題屬于幾何概型,實數(shù)a屬于區(qū)間[50,75]的概率為==.
2.已知地鐵列車每10 min(含在車站停車時間)一班,在車站停1 min,則乘客到達站臺立即乘上車的概率是( )
A. B. C. D.
解析:選A 試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為10 min,而構(gòu)成所
3、求事件的區(qū)域長度為1 min,故P=.[來源:]
3.有四個游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎,小明要想增加中獎機會,應(yīng)選擇的游戲盤是( )
[來源:]
解析:選A 選項A的概率為;選項B的概率為=;選項C的概率為=;選項D的概率為,故增加中獎機會的應(yīng)為A選項.[來源:]
4.點A為周長等于3的圓周上一個定點,若在該圓周上隨機取一點B,則劣弧的長度小于1的概率為________.
解析:劣弧的長度為,其中長度小于1的概率為=.
答案:
5.如圖所示,矩形長為6,寬為4,在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆,數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96,以此
4、試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計橢圓的面積為________.
解析:由隨機模擬的思想方法,可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為=0.68.
由幾何概型的概率計算公式,可得=0.68,
而S矩形=64=24,則S橢圓=0.6824=16.32.
答案:16.32
前沿熱點(十七)
幾何概型與線性規(guī)劃問題的交匯
1.幾何概型常常與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度、面積、體積或角度等有關(guān),在高考中經(jīng)常涉及面積區(qū)域的問題,而面積區(qū)域的確定又與線性規(guī)劃有關(guān).因此,高考命題常常在此交匯.[來源:]
2.因為面積經(jīng)常涉及一個封閉圖,解題時一定要注意各邊界對應(yīng)的直線(或曲線)方程,各端點的坐標,求面積時,還
5、要注意對圖形的分割等.
[典例] (2012北京高考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標原點的距離大于2的概率是( )[來源:]
A. B. C. D.
[解題指導] 先畫出平面區(qū)域D,再找出幾何區(qū)域的形狀,分析其幾何概型所對應(yīng)的量,然后解決問題.
[解析] 不等式組表示坐標平面內(nèi)的一個正方形區(qū)域,設(shè)區(qū)域內(nèi)點的坐標為(x,y),則在區(qū)域內(nèi)取點,此點到坐標原點的距離大于2表示的區(qū)域就是圓x2+y2=4的外部,即圖中的陰影部分,故所求的概率為.
[答
6、案] D
[名師點評] 1.本題有以下創(chuàng)新點:
(1)考查方式的創(chuàng)新:由常規(guī)方式轉(zhuǎn)換為以線性規(guī)劃為載體考查幾何概型的計算;
(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新:本題將幾何概型與線性規(guī)劃及圓求面積完美結(jié)合起來,角度獨特,形式新穎,又不失綜合性.
2.在解決以幾何概型為背景的創(chuàng)新交匯問題時,應(yīng)注意以下兩點:
(1)要準確判斷一種概率模型是否是幾何概型,為此必須了解幾何概型的含義及特征;
(2)運用幾何概型的概率公式時,要注意驗證事件是否具備等可能性.
已知實數(shù)x∈[-1,1],y∈[0,2],則點P(x,y)落在區(qū)域內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
解析:選B 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分),其面積為32-31=,則所求概率為=.
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