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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第三章 :第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)突破熱點(diǎn)題型

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義域和值域   [例1] (1)求函數(shù)y=lg(sin 2x)+的定義域; (2)求函數(shù)y=cos2x+sin x的最大值與最小值. [自主解答] (1)由 得 ∴-3≤x<-或0<x<. ∴函數(shù)y=lg(sin 2x)+的定義域為 . (2)令t=sin x,∵|x|≤, ∴t∈. ∴y=-t2+t+1=-2+, ∴當(dāng)t=時,ymax=,t=-時,ymin=. ∴函數(shù)y=cos2x+sin x的最大值為,最小值為. 【方法規(guī)律】 1.三角函數(shù)定

2、義域的求法 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式,常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解. 2.三角函數(shù)值域(或最值)的求法 求解三角函數(shù)的值域(或最值)常見到以下幾種類型的題目:①形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(或最值);②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可先設(shè)sin x=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值);③形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函數(shù),可先設(shè)t=sin xcos x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值). (2013陜西高考)已知向量

3、a=,b=(sin x,cos 2x),x∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ab. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在上的最大值和最小值. 解:f(x)=(sin x,cos 2x) =cos xsin x-cos 2x =sin 2x-cos 2x =cossin 2x-sincos 2x =sin. (1)f(x)的最小正周期為T===π, 即函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤. 由正弦函數(shù)的性質(zhì), 當(dāng)2x-=,即x=時,f(x)取得最大值1.[來源:] 當(dāng)2x-=-,即x=0時,f(0)=-, 當(dāng)2x-=,即x=時,f=,

4、 故f(x)的最小值為-. 因此,f(x)在上的最大值為1,最小值為-. 考點(diǎn)二 三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性   [例2] (1)(2013浙江高考)已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ=”的(  ) A.充分不必要條件    B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)(2012福建高考)函數(shù)f(x)=sin的圖象的一條對稱軸是(  ) A.x= B.x= C.x=- D.x=- (3)(2

5、013江西高考)函數(shù)y=sin 2x+2sin2x的最小正周期T為________. [自主解答] (1)f(x)是奇函數(shù)時,φ=+kπ(k∈Z);φ=時,f(x)=Acos=-Asin ωx,為奇函數(shù).所以“f(x)是奇函數(shù)”是“φ=”的必要不充分條件. (2)法一:(圖象特征)∵正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 故令x-=kπ+,k∈Z,則x=kπ+,k∈Z.取k=-1,則x=-. 法二:(驗證法)x=時,y=sin=0,不合題意,排除A;x=時,y=sin=,不合題意,排除B;x=-時,y=sin=-,不合題意,排除D;而x=-時,y=sin=-1,

6、符合題意,C項正確,故選C. (3)∵y=sin 2x+(1-cos 2x)=2sin+,[來源:] ∴最小正周期T==π. [答案] (1)B (2)C (3)π 【互動探究】 本例(2)中函數(shù)f(x)的對稱中心是什么? 解:令x-=kπ,k∈Z,則x=+kπ,k∈Z. 故函數(shù)f(x)=sin的對稱中心為(k∈Z).      【方法規(guī)律】[來源:] 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性和對稱性 (1)若f(x)=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù),則當(dāng)x=0時,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù),則當(dāng)x=0時,f(x)=0.

7、(2)對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ),其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn),因此在判斷直線x=x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時,可通過檢驗f(x0)的值進(jìn)行判斷. 1.函數(shù)y=2sin(3x+φ)的一條對稱軸為x=,則φ=________. 解析:由y=sin x的對稱軸為x=kπ+(k∈Z),即3+φ=kπ+(k∈Z),得φ=kπ+(k∈Z). 又|φ|<,所以k=0,故φ=. 答案: 2.函數(shù)y=cos(3x+φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形,則φ=________. 解析:由題意,得y=cos(3x+φ)是奇函數(shù),故φ

8、=kπ+(k∈Z). 答案:kπ+(k∈Z) 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 三角函數(shù)的單調(diào)性   [來源:] 1.三角函數(shù)的單調(diào)性是每年高考命題的熱點(diǎn),題型既有選擇題也有填空題,難度適中,為中低檔題. 2.高考對三角函數(shù)單調(diào)性的考查有以下幾個命題角度: (1)求已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù); (3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值). [例3] (1)(2012新課標(biāo)全國卷)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是(  ) A.        B. C. D.(0,2] (2)(

9、2013安徽高考)已知函數(shù)f(x)=4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期為π. ①求ω的值; ②討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性. [自主解答] (1)由<x<π,得ω+<ωx+<πω+,由題意知?(k∈Z)且≥2, 則且0<ω≤2, 故≤ω≤. (2)①f(x)=4cos ωxsin=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin+. 因為f(x)的最小正周期為π,且ω>0, 從而有=π,故ω=1. ②由①知,f(x)=2sin+.若0≤x≤,則≤2x+≤. 當(dāng)≤2x+≤,即0≤x≤時,f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)≤2x+≤,即≤

10、x≤時,f(x)單調(diào)遞減. 綜上可知,f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減. [答案] (1)A 三角函數(shù)單調(diào)性問題的常見類型及解題策略 (1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間.①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則,將解析式先化簡,并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”;②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時,要視“ωx+φ”為一個整體,通過解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯. (2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解. (3)利用三角函數(shù)的單調(diào)

11、性求值域(或最值).形如y=Asin(ωx+φ)+b或可化為y=Asin(ωx+φ)+b的三角函數(shù)的值域(或最值)問題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決. 1.若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω等于(  ) A.3 B.2 C. D. 解析:選C ∵y=sin ωx(ω>0)過原點(diǎn), ∴當(dāng)0≤ωx≤,即0≤x≤時,y=sin ωx是增函數(shù); 當(dāng)≤ωx≤,即≤x≤時,y=sin ωx是減函數(shù). 由y=sin ωx(ω>0)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減知,=,故ω=. 2.求函數(shù)y=tan的單調(diào)區(qū)間. 解

12、:把函數(shù)y=tan變?yōu)閥=-tan. 由kπ-<2x-

13、方法  (1)利用sin x、cos x的有界性. (2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,逐步分析ωx+φ的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(或最值). (3)換元法:把sin x或cos x看作一個整體,可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(或最值)問題. 4個注意點(diǎn)——研究三角函數(shù)性質(zhì)應(yīng)注意的問題  (1)三角函數(shù)的圖象從形上完全反映了三角函數(shù)的性質(zhì),求三角函數(shù)的定義域、值域時應(yīng)注意利用三角函數(shù)的圖象. (2)閉區(qū)間上值域(或最值)問題,首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性,含參數(shù)的值域(或最值)問題,要討論參數(shù)對值域(或最值)的影響. (3)利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時,要注意x系數(shù)的正負(fù). (4)利用換元法求三角函數(shù)值域(或最值)時要注意三角函數(shù)的有界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x,則y=(t-2)2+1≥1,解法錯誤. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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