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1、 求極限的方法 摘要 求數(shù)列和函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運(yùn)算。求極限的主要方法有用定義,四則運(yùn)算,兩邊夾法則,函數(shù)連續(xù)性等。除這些常規(guī)方法外,還有許多技巧,這些技巧隱含在函數(shù)的相關(guān)理論中,對(duì)這些技巧進(jìn)行探討歸納,不僅有教材建設(shè)的現(xiàn)實(shí)意義,而且便于解決極限相關(guān)問題。在這里簡(jiǎn)單綜述了一些常用的求極限的方法，目的在于大家更好地學(xué)習(xí)極限，并為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 關(guān)鍵詞 極限 洛必達(dá)法則 重要極限 等價(jià)無(wú)窮小 The limit of the method Abstract For the sequence and function limit is the basic

2、 operation mathematical analysis. The main methods used for limit definition, arithmetic, both sides clip law, function, continuity, etc. In addition to the conventional method, but there are many techniques that these skills implicit in the related theory, of the techniques discussed induction, not

3、 only have the practical significance of the construction of teaching material, and easy to solve the problems related to the limit. Here some commonly used article reviews for the limits of the method, the purpose is to you better learning limit, and for the future study and lay a solid foundati

4、on. Key word Limit L'Hospital Rule Important limit Equivalent infinitesimal 引言 極限是研究變量變化趨勢(shì)的基本工具，《數(shù)學(xué)分析》中許多基本概念，如連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，定積分，無(wú)窮級(jí)數(shù)都是建立在極限的基礎(chǔ)上，極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法，因此學(xué)好極限在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義。本文介紹了一些求極限的方法有：利用或定義求極限、函數(shù)連續(xù)性求極限、四則運(yùn)算、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小量代替求極限、洛必達(dá)法則、泰勒展式求極限、微分中值定理、積分中值定理、夾逼準(zhǔn)則等等

5、。那么在運(yùn)用這些方法時(shí)應(yīng)該注意一些細(xì)節(jié)問題。在利用或定義，求解的關(guān)鍵在于不等式的建立，在求解過程中往往采用放大、縮小等技巧。運(yùn)用連續(xù)性求極限時(shí)，在定義域范圍內(nèi)求極限，可以將該點(diǎn)直接代入得極限值，因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)的極限值就等于在該點(diǎn)的函數(shù)值。運(yùn)用極限四則運(yùn)算時(shí)，要注意分子分母有理化，當(dāng)然對(duì)于簡(jiǎn)單的一類，直接代入，如果代入后分母為零，就化簡(jiǎn)，比如分解因式，然后代入其中。當(dāng)極限形式中含有三角函數(shù)時(shí)，這時(shí)我們一般可通過三角公式恒等變換和等價(jià)變換，然后利用重要極限來求解。在運(yùn)用重要極限求極限時(shí)，可通過配系數(shù)法、變量替換來轉(zhuǎn)換成型極限。在利用等價(jià)無(wú)窮小量求極限，那就要求要先熟記幾個(gè)替換了，如：，，也要注意到只

6、有對(duì)所求函數(shù)式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量替換,而對(duì)于極限式中的相加或相減的部分則不能隨便替換。而在運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)。 在求極限的過程中，會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一道題可以運(yùn)用多種方法解答，因此給我們的啟示是每種方法之間都有一定的聯(lián)系。那我們?cè)诮忸}時(shí)，最常用的方法是洛必達(dá)法則，等價(jià)無(wú)窮小代換，兩個(gè)重要極限公式在做題時(shí)，如果是分子或分母的一個(gè)因子部分，如果在某一過程中，可以得出一個(gè)不為0的常數(shù)值時(shí)，我們常用數(shù)值直接代替，進(jìn)行化簡(jiǎn)。也可以用等價(jià)無(wú)窮小代換進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)之后再考慮用洛必達(dá)法則。對(duì)0/0和/型的，用洛必達(dá)法則，還有一些待定型函數(shù)的極限，先化為0/0或的再用此法則。求極限

7、必須是在極限存在的前提下進(jìn)行的，根據(jù)不同的形式可以選擇不同的計(jì)算方法，合理利用各種計(jì)算方法，亦可進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合，使得求極限的方法更明了，算法更加簡(jiǎn)單。 1 利用或-定義 設(shè)為定義在[,+）上的函數(shù)，為定數(shù).若對(duì)人給的0，存在正數(shù)，使得當(dāng)>M時(shí)有：，則稱函數(shù)當(dāng)趨于+時(shí)，以為極限，記作： .[1] 例1 求證. 證明 = = +， 先限制在點(diǎn)（2，1）的=1的方域：｛（x,y）|1，1｝內(nèi)討論，于是有 +4<5= ++5<7, 7+5<7（+）. 設(shè)為任給的

8、正數(shù)，取=min｛1，｝，則當(dāng)，，（x,y）（2，1）時(shí)，就有： 7=14. 用極限的定義時(shí)，只需要證明存在（或），故求解的關(guān)鍵在于不等式的建立，在求解過程中往往采用放大、縮小等技巧.但是不能把含有（或）的因子移到不等式的另一邊再放大，而是應(yīng)該直接對(duì)要證其極限的式子一步一步放大，有時(shí)還需要加入一些限制條件.限制條件必須和所求的（或）一致，最后結(jié)合在一起考慮. 2 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 設(shè)函數(shù)于<,b>上有定義，(,b)固定，則定義導(dǎo)數(shù)(x)為差商/的極限： (x)= =， 如果(x)存在且有限，則稱在點(diǎn)可導(dǎo).[2] 例2 求 . 解 取=.則 ==, 利

9、用導(dǎo)數(shù)定義求極限時(shí)，要注意判斷題目給的函數(shù)是否可導(dǎo),若可導(dǎo)，就可以在于構(gòu)造函數(shù)與. 3 利用函數(shù)連續(xù)性求極限 若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),則在點(diǎn)有極限,且極限值等于函數(shù)值.可以用連續(xù)性的一種推廣定理：設(shè)復(fù)合函數(shù)是由函數(shù)，復(fù)合形成的，并且，，則在處的極限存在且 =.[3] 例3 求. 解 令=，則,當(dāng)，于是有： === ===, 由此可見，利用連續(xù)性可以求復(fù)合函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)處的極限，只要該函數(shù)滿足定理?xiàng)l件. 4 利用定積分求幾個(gè)和式的極限 利用定積分求幾個(gè)和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)，取特殊的點(diǎn)，把所求極限的和式表示成在某區(qū)間上的待定分法（一般是等

10、分）的積分和式的極限，即是所求的極限等于在上的定積分，因此遇到求一些和式的極限時(shí)，若能將其分化為某個(gè)可積函數(shù)的積分和，就可以用定積分求此極限. 例4 計(jì)算數(shù)列極限 （） 解 將數(shù)列通項(xiàng)變形為 =+=， 令，它是等分區(qū)間[0，1]，取區(qū)間[]的右端點(diǎn)構(gòu)成的積分和。已知函數(shù)在[0，1]可積，于是由定積分求和式有 ==. 5 利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算求極限 利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限是最基本、最直接的方法，但需注意的是各個(gè)函數(shù)的極限必須存在且分母的極限不能為零.有些情況下能直接利用極限的四則運(yùn)算法則，而有時(shí)我們無(wú)法直接利用極限的四則運(yùn)算法則，這時(shí)就要求我們對(duì)所給的函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)

11、變形，之后再利用四則運(yùn)算法則求解. 例5 求 解 由于時(shí)，， 故無(wú)法直接用四則運(yùn)算，應(yīng)先化簡(jiǎn)原函數(shù) 原式== =， 對(duì)要求的函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形和化簡(jiǎn),常用的變形或化簡(jiǎn)有：分式的約分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函數(shù)的恒等變形、某些求和或求積公式以及適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q. 6 利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限 靈活運(yùn)用兩個(gè)重要的極限: ， 對(duì)所求的函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形,將其變?yōu)榕c兩個(gè)重要極限的形式相同,再求解. 例6（1） 求. 解 ===. 當(dāng)極限形式中含有三角函數(shù)時(shí)，一般可通過三角公式恒等變換，然后利用重要極限來求解. 例6（2）

12、 求，. 解 當(dāng)時(shí)，=1, 當(dāng)時(shí)，此極限為型，且 ==, =，. 對(duì)于這類求極限的題目，可以通過配系數(shù)法、變量替換，來轉(zhuǎn)換成型極限，函數(shù)中含有冪指函數(shù)時(shí)，往往出現(xiàn)這種情形，這時(shí)可通過變換化成或的形式，再利用重要極限求解. 7 利用等價(jià)無(wú)窮小量代替求極限 例7 求. 解 由于 , 時(shí)，,，, 故有 =. 在利用等價(jià)無(wú)窮小量求極限時(shí)應(yīng)注意，只有對(duì)所求函數(shù)式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量替換,而對(duì)于極限式中的相加或相減的部分則不能隨便替換.如在上題中,若用 ,,而推出 =,則得到的是錯(cuò)誤的結(jié)果. 8 利用洛必達(dá)法則求極限 洛必達(dá)法則是以

13、導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限,只能對(duì)型和型的不定式極限直接使用, 其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則.利用這種方法求解既簡(jiǎn)單又有效,但并不是任何比式極限都可以按洛必達(dá)法則來求解,需注意其條件極其繁瑣程度. 對(duì)無(wú)窮?。ù螅┻M(jìn)行降價(jià)處理，使得過未定式一步步的轉(zhuǎn)化，最終分子或是分母中至少有一個(gè)不再是無(wú)窮小（大），這時(shí)就可以直接用極限的四則運(yùn)算法則求出結(jié)果.[4] 例8(1) 求 . 解 令,,易知、在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)滿足,且在的空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo),則 ， 當(dāng)用洛必達(dá)求解極限不存在時(shí),不能說明原函數(shù)極限不存在. 例8(2) 求極限. 解 = , 但用洛必達(dá)法則時(shí):,

14、極限不存在. 9 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂,利用該條件,可以求極限,而且利用此條件可以判斷級(jí)數(shù)的斂散性.對(duì)于級(jí)數(shù)收斂性有這樣的一個(gè)推廣定理：設(shè)數(shù)列{}，對(duì)n=1,2,及某一自然數(shù)p，滿足： ，，則：的必要充分條件是 .[5] 例9 設(shè)數(shù)列一般項(xiàng)為：=+ ，其中，證明{}收斂，并求其極限. 解 +++- =--, =++=, 令，則=, 故由定理知：{}收斂，且. 10 利用泰勒公式求極限 在處理某些特殊函數(shù)（高階函數(shù)或幾種不同類型的初等函數(shù)的混用）的極限時(shí),用其他方法會(huì)受到一定的限制或是計(jì)算過于繁

15、瑣,則可考慮用泰勒公展式（或麥克勞林公式）來求極限，但在運(yùn)算過程中,必須注意高階無(wú)窮小的運(yùn)算及處理. 例10 求極限 解 因?yàn)榉帜甘堑碾A無(wú)窮小，所以只需將分子中各函數(shù)展開到含項(xiàng)即可， , , 因此 = , . 在運(yùn)用泰勒公式時(shí)，將分母中各函數(shù)在點(diǎn)按泰勒公式展開到第項(xiàng)，為使新分母不為0的最小項(xiàng)數(shù)，再化簡(jiǎn)得到新的分母，同時(shí)分子也如此展開到與分母具有同次冪的項(xiàng)止，化簡(jiǎn)得到新分子，然后再求極限.[6] 11 利用冪級(jí)數(shù)的展開式求極限 冪級(jí)數(shù)是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸，因此可以利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積分及將利用初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式將復(fù)雜的多項(xiàng)式簡(jiǎn)單

16、化,進(jìn)而方便求其極限. 例11 求. 解 由題可得 . 12 利用拉格朗日中值定理求極限 若函數(shù)滿足：在連續(xù) ，在可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使： .[7] 例12 求 . 解 , ＝ ===- . 在運(yùn)用此定理時(shí)，首先應(yīng)確定連續(xù)函數(shù)，再找出范圍. 13 夾逼準(zhǔn)則 設(shè),且在某內(nèi)有,則.[8]應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則時(shí)，要構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使得它們?cè)邳c(diǎn)處的極限相等，而同時(shí)建立不等式使得在這兩函數(shù)之間，此時(shí)極限就求得. 例13 求 . 解 當(dāng)x>0時(shí),有<,而 , 故由迫斂性可得: , 另一方面,當(dāng)時(shí),有 , 故由迫斂性又

17、可得: , 綜上所述,我們可以得出: . 14 單調(diào)有界性定理 設(shè)為定義在上的單調(diào)有界函數(shù),則右極限存在.當(dāng)，時(shí)其相應(yīng)的單側(cè)極限在其定義域內(nèi)上述定理亦存在.[9]在運(yùn)用此定理時(shí)，先確定定義域，再證明其單調(diào)性，然后就求極限. 例14 設(shè),,證明:存在,并求之. 證明 ,若,則 , 所以單調(diào)增加,且,于是由定理可知:存在,設(shè),兩邊求極限,有:,即:,所以,= ,即 . 16 柯西準(zhǔn)則 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,存在的充要條件是:任給,存在正數(shù),使得對(duì)任何,有： .[10] 從定義出發(fā)，一般用于反正法，函數(shù)列中用的多，主要找準(zhǔn)，然后作出的差. 例16 求極限 . 解

18、 取,對(duì)任給,記,存在,,使得 , 則由柯西準(zhǔn)則可知:不存在. 17 海涅定理（歸結(jié)原理） 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,存在的充要條件是:對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列,極限都存在且相等.[1]此定理的意義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理,通常利用此定理的逆否命題來判斷極限不存在. 例17 求極限 . 解 設(shè),,顯然有,, 則,,所以, ， 則由歸結(jié)原理可得:該極限不存在. 結(jié)束語(yǔ) 以上所求函數(shù)極限的方法各有條件、各具特色,因此各種類型所采用的技巧方法都不盡相同,我們必須根據(jù)其條件來判斷極限的類型,進(jìn)而根據(jù)類型來找到解決問題的方法。當(dāng)然,有些題目有可能可以用多種方法來解決,

19、此時(shí),我們不可以死搬硬套,要從繁瑣中找復(fù)雜,在復(fù)雜中找簡(jiǎn)單,而關(guān)于如何做到這一點(diǎn),就必須在做題中不斷總結(jié)、摸索、領(lǐng)悟各種方法的精髓,才能熟練而有靈活的掌握與運(yùn)用各種求極限的方法。 參考資料 [1] 華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].第三版.高等教育出版社.2001.6. [2] 歐陽(yáng)光中.數(shù)學(xué)分析[M].復(fù)旦大學(xué)出版社.2002.4. [3] 方明.如何利用連續(xù)性求極限[J].貴州商專學(xué)報(bào)，1996.6,第2期：45~46. [4] 馮志敏.使用洛必達(dá)法則的實(shí)質(zhì)及其注意事項(xiàng)[J].中國(guó)科技信息，2009.8，第15期：44~46. [5] 范欽杰.關(guān)于極限求法的進(jìn)一步探討[J].松遼學(xué)刊，1990.2，第三期：28~31. [6] 李懷林.一種用泰勒公式代換求極限的方法[J].渭南師專學(xué)報(bào)，1995，第21期：6~8. [7] 張筑生.數(shù)學(xué)分析新講[M].北京大學(xué)出版社.2002.4. [8] 夏濱.探析夾逼準(zhǔn)則在求極限中的應(yīng)用[J].讀與寫雜志，2009.11，第11期：76、125. [9] 毛鋼源. 高等數(shù)學(xué)解題方法技巧歸納[M].華中科技大學(xué)出版社.2010.4. [10] 陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解指南[M].高等教育出版社.2005.7.