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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第三節(jié)圓的方程突破熱點(diǎn)題型

上傳人:仙*** 文檔編號(hào):40976409 上傳時(shí)間:2021-11-18 格式:DOC 頁數(shù):5 大?。?47KB
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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第三節(jié) 圓 的 方 程 考點(diǎn)一 求圓的方程   [例1] (1)經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),B(3,-2),且圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程為________________. (2)(2013·江西高考)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0),且與直線y=1相切,則圓C的方程是________________. [自主解答] (1)法一:由題知kAB=2,A,B的中點(diǎn)為(4,0),設(shè)圓心為C(a,b). ∵圓過A(5,2),B(3,-2)兩點(diǎn), ∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上. 則解得∴C(2,1), r

2、=|CA|==. ∴所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10. 法二:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, 則 解得 故圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10. 法三:設(shè)圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 則 解得D=-4,E=-2,F(xiàn)=-5. ∴所求圓的方程為x2+y2-4x-2y-5=0. (2)由已知可設(shè)圓心為(2,b),由22+b2=(1-b)2=r2,得b=-,r2=. 故圓C的方程為(x-2)2+2=. [答案] (1)x2+y2-4x-2y-5=0(或(x-2)2+(y-1)2=10) (2)

3、(x-2)2+2= 【互動(dòng)探究】 本例(2)中“與直線y=1相切”改為“圓心在y=1上”,結(jié)果如何? 解:∵圓過點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)(4,0). ∴圓心在直線x=2上, 又∵圓心在y=1上, ∴圓心的坐標(biāo)為(2,1),半徑r==. 因此,圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.      【方法規(guī)律】 求圓的方程的兩種方法 (1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程. (2)待定系數(shù)法:若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值. 求下列圓的方程: (1)圓心

4、在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2); (2)過三點(diǎn)A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 解:(1)法一:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, 則有解得a=1,b=-4,r=2. 故所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. 法二:過切點(diǎn)且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3. 與y=-4x聯(lián)立可得圓心為(1,-4), 所以半徑r==2. 故所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. (2)法一:設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 則 解得D=-2,E=-4

5、,F(xiàn)=-95, 所以所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-95=0. 法二:由A(1,12),B(7,10),得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11), kAB=-,則AB的中垂線方程為3x-y-1=0. 同理得AC的中垂線方程為x+y-3=0.[來源:] 聯(lián)立得 即圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑r==10, 所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=100. 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的軌跡問題   [例2] (2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程

6、; (2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),求|AB|. [自主解答] 由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3. 設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R. (1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為+=1(x≠-2). (2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),[來源:] 由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,

7、 當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2. 所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4. 若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|=2. 若l的傾斜角不為90°,由r1≠R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,則=,可求得Q(-4,0), 所以可設(shè)l:y=k(x+4). 由l與圓M相切得=1,解得k=±. 當(dāng)k=時(shí),將y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0, 解得x1=,x2=. 所以|AB|=|x2-x1|=. 當(dāng)k=-時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=. 綜上,|AB|=2或|AB|=. 【方法規(guī)

8、律】 求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法 已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程; (2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程. 解:(1)法一:設(shè)頂點(diǎn)C(x,y),因?yàn)锳C⊥BC,所以x≠3且x≠-1. 又kAC=,kBC=,且kAC·kBC=-1, 所以·=-1,即x2+y2-2x-3=0. 因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1). 法二:設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知,|CD|=|AB|=2,由圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1

9、,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)). 所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1). (2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),點(diǎn)C(x0,y0),因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=(x≠3且x≠1),y=,于是有x0=2x-3,y0=2y. 由(1)知,點(diǎn)C在圓(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上運(yùn)動(dòng),將x0=2x-3,y0=2y代入該方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1). 因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1). 高頻考點(diǎn) 考

10、點(diǎn)三 與圓有關(guān)的最值問題   1.與圓有關(guān)的最值問題,是高考命題的熱點(diǎn),多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn),試題難度不大,多為容易題、中檔題. 2.高考中主要有以下幾個(gè)命題角度: (1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題; (2)與圓上的點(diǎn)(x,y)有關(guān)的代數(shù)式的最值問題. 例如,形如u=型;形如t=ax+by型;形如(x-a)2+(y-b)2型. [例3] (1)(2013·重慶高考)設(shè)P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動(dòng)點(diǎn),Q是直線x=-3上的動(dòng)點(diǎn),則|PQ|的最小值為(  ) A.6 B.4 C.3 D

11、.2 (2)(2013·山東高考)過點(diǎn)(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的長(zhǎng)為________.[來源:] [自主解答] (1)當(dāng)PQ所在直線過圓心且垂直于直線x=-3時(shí),|PQ|有最小值,且最小值為圓心(3,-1)到直線x=-3的距離減去半徑2,即最小值為4. (2)設(shè)P(3,1),圓心C(2,2),則|PC|=,由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直,所以最短弦長(zhǎng)為2=2.[來源:][來源:] [答案] (1)B (2)2 與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略 (1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義

12、,利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解. (2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.①形如u=型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最值問題;②形如t=ax+by型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題;③形如(x-a)2+(y-b)2型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問題. 已知M為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)若M(m,n),求的最大值和最小值. 解:(1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,

13、所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2. 又|QC|==4. 所以|MQ|max=4+2=6, |MQ|min=4-2=2. (2)可知表示直線MQ的斜率, 設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0,則=k. 由直線MQ與圓C有交點(diǎn),所以≤2. 可得2-≤k≤2+, 所以的最大值為2+,最小值為2-. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1種方法——待定系數(shù)法求圓的方程  (1)若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; (2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進(jìn)而求出D,E,F(xiàn)的值. 3個(gè)性質(zhì)——常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)  在解決與圓有關(guān)的問題時(shí),借助于圓的幾何性質(zhì),往往會(huì)使得思路簡(jiǎn)潔明了,簡(jiǎn)化思路,簡(jiǎn)便運(yùn)算. (1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上; (2)圓心在任意一弦的垂直平分線上; (3)兩圓相切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心共線. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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