13、
(2)若不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]恒成立,求實數a的取值范圍.
[自主解答] (1)證明:記F(x)=sin x-x,
則F′(x)=cos x-.
當x∈時,F′(x)>0,F(x)在上是增函數;[來源:]
當x∈時,F′(x)<0,F(x)在上是減函數.
又F(0)=0,F(1)>0,所以當x∈[0,1]時,F(x)≥0,即sin x≥x.
記H(x)=sin x-x,
則當x∈(0,1)時,H′(x)=cos x-1<0,[來源:]
所以,H(x)在[0,1]上是減函數,
則H(x)≤H(0)=0,即sin x≤x.
綜上,x≤
14、sin x≤x,x∈[0,1].
(2)因為當x∈[0,1]時,
ax+x2++2(x+2)cos x-4
=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2
≤(a+2)x+x2+-4(x+2)2
=(a+2)x,
所以,當a≤-2時,
不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]恒成立.
下面證明,當a>-2時,
不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]不恒成立.
因為當x∈[0,1]時,
ax+x2++2(x+2)cos x-4
=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2
≥(a+2)x+x2+-4(x+2)2
=(a+2)
15、x-x2-
≥(a+2)x-x2
=-x.
所以存在x0∈(0,1)滿足ax0+x++2(x0+2)cos x0-4>0,
即當a>-2時,[來源:]
不等式ax+x2++2(x+2)cos x-4≤0對x∈[0,1]不恒成立.
綜上,實數a的取值范圍是(-∞,-2].
導數在不等式問題中的應用問題的常見類型及解題策略
(1)利用導數證明不等式.①證明f(x)
16、(x).
②證明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以構造函數F(x)=f(x)-g(x),如果F′(x)>0,則F(x)在(a,b)上是增函數,同時若F(a)≥0,由增函數的定義可知,x∈(a,b)時,有F(x)>0,即證明了f(x)>g(x).
(2)利用導數解決不等式的恒成立問題.利用導數研究不等式恒成立問題,首先要構造函數,利用導數研究函數的單調性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數的取值范圍;也可分離變量,構造函數,直接把問題轉化為函數的最值問題.
(2013新課標全國卷Ⅰ)設函數f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線
17、y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4,b=2,c=2,d=2.
(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).設函數F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).
18、由題設可得F(0)≥0,即k≥1.
令F′(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2.
(ⅰ)若1≤k<e2,則-2<x1≤0,從而當x∈(-2,x1)時,F′(x)<0;當x∈(x1,+∞)時,F′(x)>0,即F(x)在(-2,x1)上單調遞減,在(x1,+∞)上單調遞增,故F(x)在[-2,
+∞)的最小值為F(x1).而F(x1)=2x1+2-x-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故當x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
(ⅱ)若k=e2,則F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).從而當x>-2時,F′(x)>0,即F(x)在
(-2,+∞)上單調
19、遞增.而F(-2)=0,故當x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
(ⅲ)若k>e2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.從而當x≥-2時,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
綜上,k的取值范圍是[1,e2].
————————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1個構造——構造函數解決問題
把所求問題通過構造函數,轉化為可用導數解決的問題,這是用導數解決問題時常用的方法.
2個轉化——不等式問題中的兩個轉化
(1)利用導數解決含有參數的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題,要注意分類討論和數形結合思想的應用.
(2)將不等式的證明、方程根的個數的判定轉化為函數的單調性、極值問題處理.
3個注意點——利用導數解決實際問題應注意的三點
(1)既要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系式表示,還要注意確定函數關系式中自變量的取值范圍.
(2)一定要注意求得函數結果的實際意義,不符合實際的值應舍去.
(3)如果目標函數在定義區(qū)間內只有一個極值點,那么根據實際意義該極值點就是最值點.
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