《高考數(shù)學復習:第五章 :第四節(jié) 數(shù)列求和回扣主干知識提升學科素養(yǎng)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考數(shù)學復習:第五章 :第四節(jié) 數(shù)列求和回扣主干知識提升學科素養(yǎng)(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
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第四節(jié) 數(shù) 列 求 和
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1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.
2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法.
1.公式法與分組求和法
(1)公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和.
①等差數(shù)列的前n項和公式:
Sn==na1+d.
②等比數(shù)列的前n項和公式:
Sn=
(2)分組求和法
若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組求和法,分別求和后相加減.
2.倒序相加法與并項求和法
(1)倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端
2、等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的.
(2)并項求和法
在一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結合求解,則稱之為并項求和.
形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.
例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
3.裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和.
4.錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等
3、差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的,那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求,如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的.
1.求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和時,只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.你認為該說法正確嗎?為什么?
提示:不正確.當a≠0,且a≠1時,可用錯位相減法求解.
2.如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列,那么Skm=mSk.你認為該說法正確嗎?
提示:正確.
3.如果數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,則與相等嗎?
提示:相等.
1.數(shù)列{an}的通項公式是an=,前n項和為9,則n=(
4、 )
A.9 B.99 C.10 D.100
解析:選B ∵an==-.
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1.
∴-1=9,即=10,∴n=99.
2.若數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項和為( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
解析:選C Sn=a1+a2+a3+…+an
=(21+21-1)+(22+22-1)+(23+23-1)+…+(2n+2n-1)
=(2
5、+22+…+2n)+2(1+2+3+…+n)-n
=+2-n
=2(2n-1)+n2+n-n
=2n+1+n2-2.
3.若數(shù)列{an}的通項公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a10=( )
A.15 B.12 C.-12 D.-15
解析:選A ∵an=(-1)n(3n-2).
∴a1+a2+…+a10
=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28
=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(-19+22)+(-25+28)=35=15.
4.一個數(shù)列{an},當n是奇數(shù)時,an=5n+1
6、;當n為偶數(shù)時,an=2,則這個數(shù)列的前2m項的和是________.[來源:]
解析:當n為奇數(shù)時,{an}是以6為首項,以10為公差的等差數(shù)列;當n為偶數(shù)時,{an}是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列.所以,
S2m=S奇+S偶=ma1+10+
=6m+5m(m-1)+2(2m-1)
=6m+5m2-5m+2m+1-2
=2m+1+5m2+m-2.
答案:2m+1+5m2+m-2
5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an=n2n,則Sn=________.
解析:∵an=n2n,
∴Sn=121+222+323+…+n2n.①
∴2Sn=122+223+…+(n
7、-1)2n+n2n+1.②
①-②,得
-Sn=2+22+23+…+2n-n2n+1
=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1
=(1-n)2n+1-2.
∴Sn=(n-1)2n+1+2.
答案:(n-1)2n+1+2
答題模板(四)
利用錯位相減法解決數(shù)列求和
[典例] (2013山東高考)(12分)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足++…+=1-,n∈N*,求{bn}的前n項和Tn.
[快速規(guī)范審題][來源:]
第(1)問
1.審結論,明解題方向
8、
觀察所求結論:求{an}的通項公式應求a1和d.
2.審條件,挖解題信息
觀察條件:{an}為等差數(shù)列,S4=4S2,a2n=2an+1
3.建聯(lián)系,找解題突破口
由S4=4S2,a2n=2an+1建立關于a1和d的方程組a1=1,d=2an=2n-1.
3.建聯(lián)系,找解題突破口
由S4=4S2,a2n=2an+1建立關于a1和d的方程組a1=1,d=2an=2n-1.
第(2)問
1.審結論,明解題方向
觀察所求結論:求{bn}的前n項和Tn―→應求{bn}的通項公式bn.
2.審條件,挖解題信息
觀察條件:++…+=1-即的前n項和為利用=An-An-1可求可求bn
9、.
3.建聯(lián)系,找解題突破口
由++…+=1-求=An-An-1=可求bn=求Tn.,
.
,[準確規(guī)范答題]
(1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.
由S4=4S2,a2n=2an+1,得[來源:]
?2分
解得a1=1,d=2.?4分
因此an=2n-1,n∈N*.?5分
(2)由已知++…+=1-,n∈N*,
當n=1時,=;?6分
當n≥2時,=1--=,?7分
所以=,n∈N*.?8分
由(1)知an=2n-1,n∈N*,
所以bn=,n∈N*.?9分
又Tn=+++…+,
Tn=++…++,?10分
兩式相減,得[來源:]
Tn
10、=+-
=--,?11分
所以Tn=3-.?12分
[答題模板速成]
用錯位相減法解決數(shù)列求和的步驟:
第一步 判斷結構
若數(shù)列{anbn}是由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}(公比q)的對應項之積構成的,則可用此法求和
第二步 乘公比
設{anbn}的前n項和為Tn,然后兩邊同乘以q
第三步 錯位相減
乘以公比q后,向后錯開一位,使含有qk(k∈N*)的項對應,然后兩邊同時作差
第四步 求和
將作差后的結果求和,從而表示出Tn
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