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1、△+△2019年數學高考教學資料△+△
考點一
三角函數的化簡求值
[例1] (1)(2013重慶高考)4cos 50-tan 40=( )
A. B.
C. D.2-1
(2)化簡:(0<θ<π).
[自主解答] (1)4cos 50-tan 40=4sin 40-
=
=
=
=
==.
(2)原式=
=
=.
因為0<θ<π,所以0<<,
所以cos>0,故原式=-cos θ.
[答案] (1)C
【方法規(guī)律】
1.三角函數式化簡的原則
三角函數式的化簡要遵循“三
2、看”原則,即一看角,二看名,三看式子結構與特征.
2.解決給角求值問題的基本思路
對于給角求值問題,往往所給角都是非特殊角,解決這類問題的基本思路有:
(1)化為特殊角的三角函數值;
(2)化為正、負相消的項,消去求值;
(3)化分子、分母出現公約數進行約分求值.
化簡:
(1)sin 50(1+tan 10);
(2).
解:(1)sin 50(1+tan 10)=sin 50(1+tan 60tan 10)
=sin 50
=sin 50[來源:]
=
===1.[來源:]
(2)原式=
==
==cos 2x.
[來源:]
考點二[來源:]
3、三角函數的條件求值
[例2] (1)(2013浙江高考)已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α=( )
A. B.
C.- D.-
(2)(2013廣東高考)已知函數f(x)=cos,x∈R.
①求f的值;
②若cos θ=,θ∈,求f.
[自主解答] (1)法一:(直接法)兩邊平方,再同時除以cos2α,得3tan2α-8tan α-3=0,tan α=3或tan α=-,代入tan 2α=,得tan 2α=-.
法二:(猜想法)由給出的數據及選項的唯一性,記sin α=,cos α=,這時s
4、in α+2cos α=符合要求,此時tan α=3,代入二倍角公式得到答案C.
(2)①f=cos=cos=
cos =1.
②f= cos=cos=cos 2θ-sin 2θ.
因為cos θ=,θ∈,所以sin θ=-.
所以sin 2θ=2sin θcos θ=-,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-.
所以f=cos 2θ-sin 2θ=--=.
[答案] (1)C
【互動探究】
保持本例(2)②條件不變,求f的值.
解:因為θ∈,cos θ=,
所以sin θ=-=- =-.
所以f=cos=cos
=
=cos θ+sin θ=-=-.
5、
【方法規(guī)律】
三角函數求值的兩種類型
(1)給角求值:關鍵是正確選用公式,以便把非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數.
(2)給值求值:關鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數的差異.
①一般可以適當變換已知式,求得另外函數式的值,以備應用;
②變換待求式,便于將已知式求得的函數值代入,從而達到解題的目的.
1.(2013新課標全國卷Ⅱ)設θ為第二象限角,若tan=,則sin θ+cos θ=________.
解析:法一:由θ在第二象限,且tan=,因而sin=-,因而sin θ+cos θ= sin=-.
法二:如果將tan=利用兩角和的正切公式展開,則=,
6、求得tan θ=-.又因為θ在第二象限,則sin θ=,cos θ=-,從而sin θ+cos θ=-=-.
答案:-
2.已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值.
解:∵0<β<<α<π,
∴-<-β<,<α-<π,
∴cos= =,
sin= =,
∴cos=cos
=coscos+sinsin
=+
=,
∴cos(α+β)=2cos2-1
=2-1=-.
高頻考點
考點三 三角變換的綜合應用
1.三角恒等變換是三角函數化簡、求值、證明的主要依據.高考常與三角函數的其他知識相結合命題,題目難度適中,為中檔題
7、.
2.高考對三角恒等變換綜合問題的考查常有以下幾個命題角度:
(1)與三角函數的圖象和性質相結合命題;
(2)與向量相結合命題;
(3)與解三角形相結合命題(見本章第六節(jié)).
[例3] (1)(2013天津高考)已知函數f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.
①求f(x)的最小正周期;
②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
(2)(2013遼寧高考)設向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.
①若|a|=|b|,求x的值;
②設函數f(x)=ab,求f(x)的最大值.
[自主解答] (1)①f(x)=-
8、sin 2xcos-cos 2xsin+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
②因為f(x)在區(qū)間上是增函數,在區(qū)間,上是減函數,又f(0)=-2,f=2,f=2,故函數f(x)在上的最大值為2,最小值為-2.
(2)①由|a|2=(sin x)2+sin2x=4sin2x,
|b|2=cos2x+sin2x=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈,從而sin x=,
所以x=.
②f(x)=ab=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,
當x=∈時,sin取最
9、大值1.
所以f(x)的最大值為.
三角恒等變換綜合應用問題的常見類型及解題策略
(1)與三角函數的圖象與性質相結合的綜合問題.借助三角恒等變換將已知條件中的函數解析式整理為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后借助三角函數圖象解決.
(2)與向量相結合的綜合問題.此類問題通常是先利用向量的運算轉化為三角函數問題,然后再利用三角恒等變換轉化為三角函數的圖象與性質等問題解決.
1.已知平面向量a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),R是實數集,f(x)=ab+4cos2x+2sin xcos x,如果存在m∈R,任意的x∈R,f(x)≥f(m),那
10、么f(m)=( )
A.2+2 B.3 C.0 D.2-2
解析:選C 依題意得f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+sin 2x=sin2x+3cos2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x+2=2sin+2,因此函數f(x)的最小值是-2+2=0,即有f(m)=0.
2.已知x0,x0+是函數f(x)=cos2-sin2ωx(ω>0)的兩個相鄰的零點.
(1)求f的值;
(2)若對?x∈,都有|f(x)-m|≤1,求實數m的取值范圍.
解:(1)f(x)=-
=
=
=
=
=sin.
由題意可知,f(x)
11、的最小正周期T=π,∴=π,
又∵ω>0,∴ω=1,∴f(x)=sin.
∴f=sin=sin=.
(2)|f(x)-m|≤1,即f(x)-1≤m≤f(x)+1,
∵對?x∈,都有|f(x)-m|≤1,
∴m≥f(x)max-1且m≤f(x)min+1,
∵-≤x≤0,∴-≤2x+≤,
∴-1≤sin≤,
∴-≤sin≤,即f(x)max=,f(x)min=-,
∴-≤m≤1-.
故實數m的取值范圍為.
———————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1組關系——兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與倍角 公式的關系
2個技巧——
12、拼角、湊角的技巧
(1)用已知角表示未知角
2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β);
α=(α+β)-β=(α-β)+β;
α=+,β=-;
=-等.
(2)互余與互補關系
+=;
+=;
+=π;
+=π; …
3個變換——應用公式解決問題的三個變換角度
(1)變角:目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角,其手法通常是“配湊”.
(2)變名:通過變換函數名稱達到減少函數種類的目的,其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.
(3)變式:根據式子的結構特征進行變形,使其更貼近某個公式或某個期待的目標,其手法通常有:“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.[來源:數理化網]
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