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第六節(jié) 幾 何 概 型
[全盤鞏固]
1.如圖,EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,則P(A)=( )
A. B. C.2 D.
解析:選D 豆子落在正方形EFGH內(nèi)是隨機的,故可以認為豆子落在正方形EFGH內(nèi)任一點是等可能的,屬于幾何概型.因為圓的半徑為1,所以正方形EFGH的邊長是,
2、則正方形EFGH的面積是2,又圓的面積是π,所以P(A)=.
2.
[來源:]
如圖,在矩形ABCD中,點E為邊CD的中點.若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q,則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( )
A. B. C. D.
解析:選C 不妨設(shè)矩形的長、寬分別為a、b,于是S矩形=ab,S△ABE=ab,由幾何概型的概率公式可知P==.
3.(2012·遼寧高考)在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32 cm2的概率為( )
A.
3、 B. C. D.
解析:選C 設(shè)AC=x cm,
則CB=(12-x)cm(0<x<12),
所以矩形面積為x(12-x)cm2,
由x(12-x)<32,解得x>8或x<4,
所以0<x<4或8<x<12.
故所求概率為=.
4.(2014·金華模擬)在區(qū)間[-5,5]內(nèi)隨機地取出一個數(shù)a,則恰好使1是關(guān)于x的不等式2x2+ax-a2<0的一個解的概率為( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6
4、 D.0.7
解析:選D 由已知得2+a-a2<0,解得a>2或a<-1.故當a∈[-5,-1)∪(2,5]時,1是關(guān)于x的不等式2x2+ax-a2<0的一個解.
故所求概率為P===0.7.
5.(2014·長沙模擬)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D,在D內(nèi)任取一點P(x,y),若滿足2x+y≤b的概率大于,則實數(shù)b的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)
解析:選C 區(qū)域D表示以點O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)為頂點的正方形,其面積
5、S1=1.根據(jù)題意,b>0,設(shè)正方形OABC位于直線2x+y=b下方部分面積為S2,因為直線2x+y=b在x軸,y軸上的截距分別為,b,則當0<b≤1時,S2=·=≤.故題設(shè),P==S2>,則b>1.
6.(2013·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機地取一點P,使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為,則=( )
A. B. C. D.
解析:選D 依題可知,E,F(xiàn)是CD上的四等分點,P只能在線段EF上且BF=AB.不妨設(shè)CD=AB=a,BC=b,則
6、有b2+2=a2,即b2=a2,故=.
7.在區(qū)間[0,1]上隨意選擇兩個實數(shù)x,y,則使≤1成立的概率為________.
解析:D為直線x=0,x=1,y=0,y=1圍成的正方形區(qū)域,而d為由≤1,即x2+y2≤1(x≥0,y≥0)圍成的單位圓在第一象限內(nèi)部分(四分之一個圓),故所求概率為==.
答案:
8.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P,則△PBC的面積大于的概率是________.
解析:要使S△PBC>S△ABC,只需PB>AB.
故所求概率為P==.
答案:
9.小張通過做游戲的方式來確定
7、周末活動,他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點,若此點到圓心的距離大于,則周末去看電影;若此點到圓心的距離小于,則去打籃球;否則,在家看書.則小張周末不在家看書的概率為________.
解析:因為去看電影的概率
P1==,
去打籃球的概率
P2==,
所以小張周末不在家看書的概率為
P=+=.
答案:
10.如圖,在單位圓O的某一直徑上隨機地取一點Q,求過點Q且與該直徑垂直的弦長不超過1的概率.
[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
解:弦長不超過1,即|OQ|≥,而Q點在直徑AB上是隨機的,事件A={弦長超過1}.
由幾何概型的概率公式得P(A)==.
所以弦長
8、不超過1的概率為1-P(A)=1-.
11.城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費,太少又難以滿足乘客需求,為此,某市公交公司在某站臺60名候車乘客中隨機抽取15人,將他們的候車時間作為樣本分成5組,如下表所示(單位:min):[來源:]
組別
候車時間
人數(shù)
一
[0,5)
2
二
[5,10)
6
三
[10,15)
4
四
[15,20)
2
五
[20,25]
1
(1)求這15名乘客的平均候車時間;
(2)估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù);
(3)若從上表第三、四組的6人中選2人作進一步問卷調(diào)查,求抽到的2人恰好來自不同
9、組的概率.
解:(1)×(2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1)=×157.5=10.5,
故這15名乘客的平均候車時間為10.5 min.
(2)由幾何概型的概率計算公式可得,候車時間少于10分鐘的概率為=,所以候車時間少于10分鐘的人數(shù)為60×=32.
(3)將第三組乘客編號為a1,a2,a3,a4,第四組乘客編號為b1,b2.從6人中任選2人的所有可能情況為(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2
10、,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15種,其中2人恰好來自不同組包含8種可能情況,故所求概率為.
12.(2014·濟南模擬)某幼兒園在“六·一兒童節(jié)”開展了一次親子活動,此次活動由寶寶和父母之一(后面以家長代稱)共同完成,幼兒園提供了兩種游戲方案:
方案一:寶寶和家長同時各拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別是1,2,3,4,5,6),寶寶所得點數(shù)記為x,家長所得點數(shù)記為y;
方案二:寶寶和家長同時按下自己手中一個計算器的按鈕(此計算器只能產(chǎn)生區(qū)間[1,6]的隨機實數(shù)
11、),寶寶的計算器產(chǎn)生的隨機實數(shù)記為m,家長的計算器產(chǎn)生的隨機實數(shù)記為n.
(1)在方案一中,若x+1=2y,則獎勵寶寶一朵小紅花,求拋擲一次后寶寶得到一朵小紅花的概率;
(2)在方案二中,若m>2n,則獎勵寶寶一本興趣讀物,求按下一次按鈕后寶寶得到一本興趣讀物的概率.
解析:(1)由題意,寶寶和家長所得點數(shù)x,y所有取值所得基本事件總數(shù)為36.
而滿足x+1=2y的(x,y)有:(1,1),(3,2),(5,3)共3組.[來源:]
則拋擲一次后寶寶得小紅花的概率P1==.
(2)由題意,m,n∈[1,6],則(m,n)所有取值組成一個邊長為5的正方形,其面積為25.
(m,
12、n)滿足不等式m>2n,所占區(qū)域面積為×4×2=4.
則按下一次按鈕后寶寶得興趣讀物一本的概率P2=.
[沖擊名校]
設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到直線x-4=0的距離大于2的概率是( )[來源:]
A. B. C. D.
解析:選C 作出線性約束條件的平面區(qū)域D,而到直線x-4=0的距離大于2的區(qū)域為陰影部分所示,其面積為S1=×(2+2)×[2-(-6)]=16,區(qū)域D的面積為S2=×(3+2)×[4-(-6)]=25,由幾何概型的計算公式可得P=.
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