《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第五節(jié) 數(shù)列的綜合問(wèn)題演練知能檢測(cè)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第五節(jié) 數(shù)列的綜合問(wèn)題演練知能檢測(cè)(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第五節(jié) 數(shù)列的綜合問(wèn)題
[全盤鞏固]
1.已知各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列{an},滿足2a3-a+2a11=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b6b8=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
解析:選D 因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以a3+a11=2a7,所以已知等式可化為4a7-a=0,解得a7=4或a7=0(舍去),又{bn}為等比數(shù)列,所以b6b8=b=a=16.
2.已知等比數(shù)列{an}中的各項(xiàng)都是正數(shù),且5a1,a3,4a2成等差數(shù)列,則=( )
A.-1 B
2、.1 C.52n D.52n-1
解析:選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),則依題意有a3=5a1+4a2,即a1q2=5a1+4a1q,q2-4q-5=0,解得q=-1或q=5.又q>0,因此q=5,所以==q2n=52n.
3.在直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第一象限的兩個(gè)點(diǎn),若1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列,而1,y1,y2,8依次成等比數(shù)列,則△OP1P2的面積是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:選A 根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì),
3、可知x1=2,x2=3,y1=2,y2=4.∴P1(2,2),P2(3,4).∴S△OP1P2=1.
4.已知函數(shù)y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)所過(guò)定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{an}的第二項(xiàng)與第三項(xiàng),若bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則T10等于( )
A. B. C. D.
解析:選B 由y=loga(x-1)+3恒過(guò)定點(diǎn)(2,3),即a2=2,a3=3,又{an}為等差數(shù)列,∴an=n,n∈N*.∴bn=,∴T10=-+-+…+-=1-=.
5.(2014·寧波模擬)已知數(shù)列{an}滿足a
4、1=0,an+1=an+2+1,則a13=( )
A.143 B.156 C.168 D.195
解析:選C 由an+1=an+2+1,可知an+1+1=an+1+2+1=(+1)2,即=+1,故數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列,所以=+12=13,則a13=168.
6.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2,其前n項(xiàng)和為Sn,則S30為( )
A.470 B.490 C.495 D.510
解析:選A 注意到an=n2cos,且函數(shù)y=cos的最小正周期是3,因此當(dāng)n是正整數(shù)時(shí),an+an+1+an+2=-n2-(n+1)2+(n
5、+2)2=3n+,其中n=1,4,7,…,S30=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a28+a29+a30)=++…+=3×+×10=470.
7.(2013·江西高考)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹(shù)不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________.
解析:由題意知第n天植樹(shù)2n棵,則前n天共植樹(shù)2+22+…+2n=(2n+1-2)棵,令2n+1-2≥100,則2n+1≥102,又25+1=26=64,26+1=27=128,∴n≥6.∴n的最小值為6.
答案:6
8.?dāng)?shù)列{an}是公
6、差不為0的等差數(shù)列,且a1,a3,a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng),則數(shù)列{bn}的公比為_(kāi)_______.
解析:由題意知a=a1·a7,即(a1+2d)2=a1·(a1+6d),∴a1=2d,∴等比數(shù)列{bn}的公比q===2.
答案:2
9.(2014·臺(tái)州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且=,S7-S4=15,則Sn的最小值為_(kāi)_____.
解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意有由此解得a1=-15,d=4,an=4n-19,Sn==2n2-17n=22-2,因此當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值2n2-17n=2×42-17
7、×4=-36.
答案:-36
10.(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.
由題意,a=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d),
于是d(2a1+25d)=0.
又a1=25,所以d=0(舍去),或d=-2.
故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首項(xiàng)為25,公差為-6
8、的等差數(shù)列.從而Sn=(a1+a3n-2)=·(-6n+56)=-3n2+28n.
11.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a2·a4=65,a1+a5=18.
(1)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng),求i的值;
(2)設(shè)bn=,是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m使得b1+b2+…+bn<m對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立?若存在,求出常數(shù)m;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)∵{an}為等差數(shù)列,
∴a1+a5=a2+a4=18,
又a2·a4=65,
∴a2,a4是方程x2-18x+65=0的兩個(gè)根
9、,[來(lái)源:[來(lái)源:]
又?jǐn)?shù)列{an}的公差d>0,
∴a2<a4,∴a2=5,a4=13.[來(lái)源:]
∴
∴a1=1,d=4,∴an=4n-3.
∵1<i<21,a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng),
∴a1·a21=a,
即1×81=(4i-3)2,
解得i=3.
(2)由(1)知,Sn=n·1+·4=2n2-n,
∴bn==,
b1+b2+…+bn
=
=.
∵=-<,
∴存在m=使b1+b2+…+bn<m對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立.
12.已知正項(xiàng)數(shù)列{an},{bn}滿足:a1
10、=3,a2=6,{bn}是等差數(shù)列,且對(duì)任意正整數(shù)n,都有bn,,bn+1成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Sn=++…+,試比較2Sn與2-的大?。?
解:(1)∵對(duì)任意正整數(shù)n,都有bn,,bn+1成等比數(shù)列,且數(shù)列{an},{bn}均為正項(xiàng)數(shù)列,
∴an=bnbn+1(n∈N*).
由a1=3,a2=6得
又{bn}為等差數(shù)列,即有b1+b3=2b2,
解得b1=,b2=,
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.
∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=(n∈N*).
(2)由(1)得,對(duì)任意n∈N*,
an=bnbn+1=,
從而有==2,
∴
11、Sn=2++…+-=1-.
∴2Sn=2-.
又2-=2-,
∴2Sn-=-=.
∴當(dāng)n=1,n=2時(shí),2Sn<2-;
當(dāng)n≥3時(shí),2Sn>2-.
[沖擊名校]
已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S,S,…,S,…是以3為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列;數(shù)列{bn}為無(wú)窮等比數(shù)列,其前四項(xiàng)之和為120,第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90.
(1)求an,bn;
(2)從數(shù)列中能否挑出唯一的無(wú)窮等比數(shù)列,使它的各項(xiàng)和等于?若能的話,請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)和公比;若不能的話,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1){Sn}是以3為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,
所以S=3+(n-1)=n+2
12、.
因?yàn)閍n>0,所以Sn=(n∈N*),
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-,
又a1=S1=,所以an=(n∈N*),
設(shè){bn}的首項(xiàng)為b1,公比為q,則有
所以即bn=3n(n∈N*).
(2)=n,設(shè)可以挑出一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列{cn},
首項(xiàng)為c1=p,公比為k(p,k∈N*),它的各項(xiàng)和等于=,則有=,
所以p=,[來(lái)源:]
當(dāng)p≥k時(shí)3p-3p-k=8,即3p-k(3k-1)=8,
因?yàn)閜,k∈N*,所以只有當(dāng)p-k=0,k=2,即p=k=2時(shí),數(shù)列{cn}的各項(xiàng)和為.[來(lái)源:]
當(dāng)p<k時(shí),3k-1=8·3k-p,因?yàn)閗>p右邊
13、含有3的因數(shù)而左邊非3的倍數(shù),不存在p,k∈N*,
所以存在唯一的等比數(shù)列{cn},首項(xiàng)為,公比為,使它的各項(xiàng)和等于.
[高頻滾動(dòng)]
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)證明:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=(2n+1)an+2n+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.
解:(1)證明:因?yàn)镾n+n=2an,即Sn=2an-n,
所以Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*).
兩式相減化簡(jiǎn),得an=2an-1+1.
所以an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*).
所以
14、數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列.
因?yàn)镾n+n=2an,令n=1,得a1=1.
a1+1=2,所以an+1=2n,即an=2n-1.
(2)因?yàn)閎n=(2n+1)an+2n+1,
所以bn=(2n+1)·2n.
所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②
①-②,得
-Tn=3×2+2(22+23+…+2n)-(2n+1)·2n+1
=6+2×-(2n+1)·2n+1
=-2+2n+2-(2n+1)·2n+1
=-2-(2n-1)·2n+1.
所以Tn=2+(2n-1)·2n+1.
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