《數(shù)學(xué) 理一輪對點訓(xùn)練：642 數(shù)列的綜合應(yīng)用 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 理一輪對點訓(xùn)練：642 數(shù)列的綜合應(yīng)用 Word版含解析（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1．若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　D 解析　由題可知a，b是x2－px＋q＝0的兩根， ∴a＋b＝p>0，ab＝q>0，故a，b均為正數(shù)． ∵a，b，－2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列， ∴－2是a，b的等比中項，得ab＝4， ∴q＝4.又a，b，－2適當(dāng)排序后成等差數(shù)列， 所以－2是第一項或第三項，不防設(shè)a<b， 則－2，a，b成遞增的等差數(shù)列， ∴2

2、a＝b－2，聯(lián)立 消去b得a2＋a－2＝0， 得a＝1或a＝－2，又a>0， ∴a＝1，此時b＝4， ∴p＝a＋b＝5， ∴p＋q＝9，選D. 2.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________. 答案　3n－1 解析　由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，則3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1. 3．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. 答案　－ 解析　∵an＋1＝Sn＋1

3、－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差數(shù)列，且公差為－1，而＝＝－1，∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. 4.設(shè)n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)． (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥. 解　(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2， 從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)． 令y＝0，解得切線與x軸交點的橫坐標(biāo)xn＝1－＝. (2)證明：由題設(shè)和

4、(1)中的計算結(jié)果知 Tn＝xx…x＝22…2. 當(dāng)n＝1時，T1＝. 當(dāng)n≥2時，因為x＝2＝>＝＝. 所以Tn>2×××…×＝. 綜上可得對任意的n∈N*，都有Tn≥. 5．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn； (2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列的前n項和Tn. 解　(1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a

5、8＝4×2a7＝2a7＋2.解得d＝a8－a7＝2.所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. (2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，它在x軸上的截距為a2－. 由題意，a2－＝2－，解得a2＝2.所以，d＝a2－a1＝1. 從而an＝n，bn＝2n. 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， 2Tn＝＋＋＋…＋.因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以，Tn＝. 6．已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求a

6、n與bn； (2)設(shè)cn＝－(n∈N*)．記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. ①求Sn； ②求正整數(shù)k，使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn. 解　(1)由題意a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6， 知a3＝()＝8，又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 所以數(shù)列{an}的通項為an＝2n(n∈N*)． 所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)． 故數(shù)列{bn}的通項為bn＝n(n＋1)(n∈N*)． (2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，所以Sn＝－(n∈N*)． ②因為c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0， 當(dāng)n≥5時，cn＝

7、， 而－＝>0， 得≤<1. 所以，當(dāng)n≥5時，cn<0. 綜上，對任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4. 7．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，則稱{an}是“H數(shù)列”． (1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n(n∈N*)，證明：{an}是“H數(shù)列”； (2)設(shè){an}是等差數(shù)列，其首項a1＝1，公差d<0.若{an}是“H數(shù)列”，求d的值； (3)證明：對任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立． 解　(1)證明：由已知，當(dāng)n≥1時，an

8、＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am. 所以{an}是“H數(shù)列”． (2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因為{an}是“H數(shù)列”，所以存在正整數(shù)m，使得S2＝am，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1. 因為d<0，所以m－2<0，故m＝1，從而d＝－1. 當(dāng)d＝－1時，an＝2－n，Sn＝是小于2的整數(shù)，n∈N*. 于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am.所以{an}是“H數(shù)列”．因此d的值為－1. (3)證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)．令bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，則an＝bn＋cn(n∈N*)． 下證{bn}是“H數(shù)列”． 設(shè){bn}的前n項和為Tn，則Tn＝a1(n∈N*)．于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m＝，使得Tn＝bm.所以{bn}是“H數(shù)列”． 同理可證{cn}也是“H數(shù)列”． 所以，對任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．