《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識(shí)點(diǎn)033直線與圓的位置關(guān)系》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識(shí)點(diǎn)033直線與圓的位置關(guān)系（43頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 一、選擇題 1. （ 2016湖北省荊州市，6，3分）如圖，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別是A、B，OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是優(yōu)弧上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、CD．若∠APB＝80°，則∠ADC的度數(shù)是（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 切線長(zhǎng)定理，圓心角、圓周角定理，切線的判定與性質(zhì) 【答案】C 【逐步提示】本題考查了切線長(zhǎng)定理，圓心角、圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線． 【詳細(xì)解答】解：因?yàn)?/p>

2、PA、PB是⊙O的兩條切線 ，由切線長(zhǎng)定理得∠AP0＝∠0PB＝40°,連接OA，則∠0AP＝90°，所以∠A0P＝90°-40°＝50°，最后由圓周角定理得∠ADC ＝ ∠A0P＝25°，故選擇C . 【解后反思】解決與圓的切線有關(guān)的角度和長(zhǎng)度的相關(guān)計(jì)算時(shí)，一般先連接半徑構(gòu)造直角三角形，利用切線長(zhǎng)定理結(jié)合圓周角和圓心角有關(guān)性質(zhì)求解角度，利用切線長(zhǎng)定理結(jié)合垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)構(gòu)造方程求解長(zhǎng)度．在和圓的切線有關(guān)的問(wèn)題中，一般需要連接圓心和切點(diǎn)． 【關(guān)鍵詞】切線長(zhǎng)定理；圓周角定理；切線的判定與性質(zhì) 2. （2016

3、湖南湘西，18，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm ，AC=4cm，以點(diǎn)C為圓心，以2.5cm為半徑畫(huà)圓，則⊙O與直線AB的位置關(guān)系是 A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定 D A B C 第8題答圖 【答案】A 【逐步提示】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是求出直角三角形斜邊上的高.根據(jù)題中的已知條件，可以求出直角三角形的斜邊，因而能用面積法求出該直角三角形斜邊上的高，即圓心到直線的距離d，再比較d和圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系確定直線與圓的位置關(guān)系． 【詳細(xì)解答】解：∵∠C=90&

4、#176;，BC=3cm ，AC=4cm，∴AB＝5，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則CD＝，即d＝2.4，∵⊙O的半徑r= 2.5，∴d＜r，⊙O與直線AB的位置關(guān)系是相交，故選擇A . 【解后反思】此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是未掌握直線和圓之間的位置關(guān)系的定理而選錯(cuò)答案． 圖　形 名　稱 性質(zhì)和判定 相離 d＞r 相切 d＝r 相交 d＜r 【關(guān)鍵詞】直線和圓的位置關(guān)系 3. （2016江蘇省南京市，5，2分）已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則它的內(nèi)切圓的半徑為（ ） A．1 B． C．2 D．

5、 【答案】B 【逐步提示】本題考查了正六邊形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用正六邊形的內(nèi)角和與內(nèi)切圓的性質(zhì)．如圖，作出正六邊形的內(nèi)切圓，連接AO，BO，則得到等邊△ABC，進(jìn)而得到內(nèi)切圓的半徑． 【詳細(xì)解答】解：如圖，作出正六邊形的內(nèi)切圓切AF與點(diǎn)G，連接AO，BO，OG，所以∠AOB=60°，因?yàn)檎呅蔚膬?nèi)心也是外心，所以O(shè)A=OB，則得到等邊△ABO，所以O(shè)A=AB=2；而在Rt△AGO中，∠GAO =60°，所以O(shè)G==．故選擇B． 【解后反思】這里提供另外一個(gè)解法．作出正六邊形的內(nèi)切圓，連接AC，因?yàn)榱呅蔚膬?nèi)角和為720°，每個(gè)內(nèi)角都是1

6、20°，加上AB=BC，所以得到頂角為120°的等腰△ABC，AC=AB=，AC與內(nèi)切圓的直徑相等，所以內(nèi)切圓的直徑就是，半徑是，故選擇B．另外，正n邊形的內(nèi)角==180°－；正n邊形的外角=；正n邊形的中心角=；正六邊形的邊長(zhǎng)等于外接圓的半徑，正三角形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑的倍，正方形的邊長(zhǎng)等于外接圓的半徑的倍． 【關(guān)鍵詞】 圓；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；正多邊形與圓的位置關(guān)系； 4. （2016山東省德州市，11，3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著.書(shū)中有下列問(wèn)題“今有勾八步，股十五步.問(wèn)勾中容圓徑幾何 ?”其意思是今有直角三角形，勾〔短直

7、角邊)長(zhǎng)為8步，股(長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓）直徑是多少?” A．3步 B.5步 C.6步 D.8步 【答案】 【逐步提示】（1）先根據(jù)勾股定理求出斜邊AC的長(zhǎng)；（2）再根據(jù)直角三角形面積的兩種表示方法：和 即可求出此直角三角形內(nèi)切圓的半徑. 【詳細(xì)解答】解：過(guò)點(diǎn)O分別作OD⊥AC、OE⊥AB、OF⊥BC，連接OA、OB、OC， ∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OD=OE=OF=r ∵ , ∴ ∵ AB=15， BC=8 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ∴ ∴，故答案為

8、. 【解后反思】（1）正確理解三角形的面積與內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系是關(guān)鍵，題目中所用方法是解決此類問(wèn)題的通法；（2）本題是求直角三角形內(nèi)切圓的半徑，也可以根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求內(nèi)切圓的半徑. 【關(guān)鍵詞】 勾股定理；三角形的內(nèi)切圓；數(shù)形結(jié)合思想 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.

9、 二、填空題 1. （2016甘肅蘭州，20，4分）對(duì)于—個(gè)矩形ABCD及⊙M給出如下定義，在同平面內(nèi)，如果矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)到⊙M上一點(diǎn)的距離相等，那么稱這個(gè)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=交x軸于點(diǎn)M，⊙M的半徑為2，矩形ABCD沿直線l運(yùn)動(dòng)（BD在直線l上）．BD=2，AB∥y，當(dāng)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)___． 【答案】或 【逐步提示】第一步，根據(jù)一次函數(shù)解析式求出直線l與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)及它們到原點(diǎn)的距離，借助銳角三角函數(shù)定義進(jìn)一步求∠MPO的度數(shù)，由AB∥y軸得到BC∥x軸；第二步，因?yàn)橹挥?/p>

10、矩形兩對(duì)角線的交點(diǎn)到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，而⊙M交直線L于E、F兩點(diǎn)，故分矩形兩對(duì)角線的交點(diǎn)與E重合和與F重合兩種情況分類討論；第三步，矩形ABCD沿直線l運(yùn)動(dòng)到兩對(duì)角線交點(diǎn)與E重合時(shí)，借助平行線性質(zhì)與互余關(guān)系求得∠EBC與∠BMN度數(shù)，從而可證△EBC是等邊三角形，求得BC的長(zhǎng)；第四步，借助解直角三角形求得BN、MN的長(zhǎng)，再由點(diǎn)M的坐標(biāo)通過(guò)適當(dāng)平移求得C的坐標(biāo)；第六步，矩形ABCD沿直線l運(yùn)動(dòng)到兩對(duì)角線交點(diǎn)與F重合時(shí)，與“第三步”、第四步類似方法可求得C的坐標(biāo)，從而歸納得到答案． 答圖1 答圖2 【詳細(xì)解答】解：易知直線y=與x軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，

11、0），與y軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3），所以O(shè)P=3，DM=，在Rt△POM中，tan∠MPO=，所以∠MPO=30°，因?yàn)锳B∥y軸，x軸⊥y軸，所以AB⊥x軸，矩形ABCD中，∠ABC=90°，所以AB⊥BC，所以BC∥x軸．設(shè)y=與⊙M交于E、F兩點(diǎn)，其中E在第一象限，F(xiàn)在第四象限，因?yàn)橹挥芯匦蝺蓪?duì)角線的交點(diǎn)到矩形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以，①矩形ABCD沿直線l運(yùn)動(dòng)到兩對(duì)角線交點(diǎn)與E重合時(shí)（見(jiàn)答圖1），矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”．此時(shí)，延長(zhǎng)AB交x軸于N，因?yàn)锳B∥y軸，所以∠NBM=∠MPO=30°，因?yàn)锳B⊥x軸，所以∠BNM=90°，

12、∠BMN=90°－∠NBM=60°，因?yàn)锽C∥x軸，所以∠EBC=∠BMN=60°，矩形ABCD中，BE=BD=1，CE=AC，BD=AC=2，所以BE=CE=1，所以△EBC是等邊三角形，所以BC=BE=1，所以BM=ME－BE=2-1=1，在Rt△BMN中，∠NBM=30°，所以MN=BM=，BN==，又M的坐標(biāo)為（，0），所以M向右移動(dòng)MN的長(zhǎng)再向上移動(dòng)BN的長(zhǎng)得B的坐標(biāo)為（＋，），點(diǎn)B再向右移動(dòng)BC長(zhǎng)得C的坐標(biāo)為（＋，）；②矩形ABCD沿直線l運(yùn)動(dòng)到兩對(duì)角線交點(diǎn)與F重合時(shí)（見(jiàn)答圖2），矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”．此時(shí)，延長(zhǎng)AB交x軸于N，因

13、為AB∥y軸，所以∠NBM=∠MPO=30°，因?yàn)锳B⊥x軸，所以∠BNM=90°，∠BMN=90°－∠NBM=60°，因?yàn)锽C∥x軸，所以∠FBC=∠BMN=60°，矩形ABCD中，BF=BD=1，CF=AC，BD=AC=2，所以BF=CF=1，所以△FBC是等邊三角形，所以BC=BF=1，所以BM=MF＋BF=2＋1=3，在Rt△BMN中，∠NBM=30°，所以MN=BM=，BN==，又M的坐標(biāo)為（，0），所以M向左移動(dòng)MN的長(zhǎng)再向下移動(dòng)BN的長(zhǎng)得B的坐標(biāo)為（－，-），點(diǎn)B再向右移動(dòng)BC長(zhǎng)得C的坐標(biāo)為（－，-），綜合以上兩種情況，

14、故答案為或. 【解后反思】本題是 “矩形的對(duì)角線在過(guò)已知圓圓心的直線上移動(dòng)”為背景的閱讀理解題，解題的關(guān)鍵是理解“伴侶矩形”含義，明確“到矩形四個(gè)頂點(diǎn)距離相等點(diǎn)是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)”，從而知道符合條件的情況有兩種，需分類討論來(lái)求解．另外，利用已知點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)適當(dāng)平移來(lái)求點(diǎn)的坐標(biāo)，體現(xiàn)了變換思想的運(yùn)用. 【關(guān)鍵詞】 一次函數(shù)；矩形的性質(zhì)；圓；解直角三角形；分類討論思想；轉(zhuǎn)化思想 2. （ 2016湖南省益陽(yáng)市，14，5分）13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，過(guò)C點(diǎn)的切線與AB的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn)，若∠P=40°，則∠D的度數(shù)為 ． 【答案】115

15、6; 【逐步提示】本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握已知切線時(shí)常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）連結(jié)OC，由的切線性質(zhì)可求出∠BOC的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠OBC的度數(shù)；（3）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求∠D＝115°. 【詳細(xì)解答】解：連結(jié)OC，因?yàn)镻C為切線，所以，OC⊥PC，所以，∠BOC＝90°－40°＝50°，又OB＝OC，所以，∠OBC＝（180°－50°）＝65°，又ABCD為圓內(nèi)接四邊形，所以，∠D＝180°－65°＝115

16、76;，故答案為115°. 【解后反思】半徑處處相等可得等腰三角形，從而底角相等；切線垂于過(guò)切點(diǎn)的半徑得直角三角形，從而兩銳角互余；圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)． 【關(guān)鍵詞】圓的切線性質(zhì)；圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理；等腰三角形性質(zhì) 3. (2016湖南省永州市，20，4分)如圖，給定一個(gè)半徑為2的圓，圓心O到水平直線l的距離為d，即OM=d．我們把圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為m．如d=0時(shí)，l為經(jīng)過(guò)圓心O的一條直線，此時(shí)圓上有四個(gè)到直線l的距離等于1的點(diǎn)，即m=4．由此可知： (1)當(dāng)d=3時(shí)，m=_____； (2)當(dāng)m=2時(shí)，d的取值范圍是_______

17、． 【答案】(1)1 (2)1<d<3 【逐步提示】本題考查了圓中的新定義，解題的關(guān)鍵在于能正確理解點(diǎn)到直線的距離及分類討論．(1)圓心O到水平直線l的距離為3時(shí)，圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)就是圓與OM的交點(diǎn)；(2)圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，找出兩個(gè)臨界狀態(tài)的點(diǎn)，即圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)與3個(gè)，據(jù)此作出回答． 【詳細(xì)解答】解：(1)當(dāng)d=3時(shí)，圓上有四個(gè)到直線l的距離等于1的點(diǎn)，是圓與OM的交點(diǎn)，只有一點(diǎn)，所以m=1；(2)當(dāng)m=2時(shí)，即圓上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，這時(shí)d的取值范圍是1<d<3，故答案為(

18、1)1 (2)1<d<3． 【解后反思】1．新定義類型題，理解題意是關(guān)鍵；2．分類討論時(shí)，找出臨界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 【關(guān)鍵詞】直線與圓的位置關(guān)系；新定義題型；分類討論 4. （2016江蘇省無(wú)錫市，18，2分）如圖，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，點(diǎn)C從A點(diǎn)出發(fā)，在邊AO上以2cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，在邊BO上以1.5cm/s的速度向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．過(guò)OC的中點(diǎn)E作CD的垂線EF，則當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)了______s時(shí)，以C點(diǎn)為圓心、1.5cm為半徑的圓與直線EF相切． 【答案】． 【逐步提示】本題考查了直線與圓的位置關(guān)

19、系、相似以及垂直平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用直線EF到⊙O的距離等于半徑列出方程．本題的思路是點(diǎn)C、點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)速度之比為4∶3，AC與BD的線段長(zhǎng)度之比為4∶3，容易得出△COD與△AOB相似，本題探求直線與圓相切的，可借助圓心C到直線EF的距離CF等于半徑1.5來(lái)列方程，其中求CF長(zhǎng)的時(shí)候，可利用△EFC與△BOA相似獲得． 【詳細(xì)解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AC＝2t，BD＝1.5t，OC＝8－2t，OD＝6－1.5t，∴，∵∠O＝∠O，∴△OCD∽△OAB，∴∠OCD＝∠A，∵EF⊥CD，∴∠EFC＝∠O＝90°，∴△EFC∽△BOA，∴，∵CE＝OC＝4－t，∴CF＝，當(dāng)C

20、F＝1.5時(shí)，直線與圓相切，∴＝1.5，解得t＝．故答案為. 【解后反思】判斷兩個(gè)三角形相似有以下幾種方法：①平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長(zhǎng)線)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；④如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似． 直線與圓有三種位置關(guān)系：設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則：d>R←→直線和圓相離←→無(wú)公共點(diǎn)；d=R←→直線和圓相切←→惟一公共點(diǎn)；d<R←→直線和圓相交←→兩

21、公共點(diǎn). 【關(guān)鍵詞】相似三角形的判定；直線與圓的位置關(guān)系；垂直平分線；動(dòng)態(tài)問(wèn)題； 5. （2016江蘇鹽城，12，3分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，則B、E兩點(diǎn)間的距離為 ▲ ． 【答案】8 【逐步提示】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A與正多邊形的關(guān)系．由正六邊形的6條邊對(duì)6條相等的劣弧，從而確定線段BE的長(zhǎng)就是圓的直徑即可． 【詳細(xì)解答】解：連接BE，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴＝＝＝＝＝，∴＝，∴BE是圓的直徑，∴BE＝2×4＝8，故答案為8． 【解后反思】正多邊形是一種特殊的多邊形，其有關(guān)概念及計(jì)算是中考的常

22、考點(diǎn)，有關(guān)計(jì)算公式及規(guī)律： ①正邊形的內(nèi)角和是°，它有個(gè)相等的內(nèi)角，因此，正邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是； ②正邊形有個(gè)相等的中心角，而這些中心角的和是360°，因此正邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是； ③正邊形有個(gè)相等的外角，而這些外角的和是360°，因此正邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.很容易看出：正邊形的中心角與它的外角大小相等； ④正邊形的其他計(jì)算都轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行，如圖所示，設(shè)正邊形的半徑為R，一邊AB＝，邊心距OM＝，則有∠BOM＝，，正邊形的周長(zhǎng)，面積. 【關(guān)鍵詞】正多邊形與圓的位置關(guān)系 6. 7. 8. 9. 10. 11.

23、12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （ 2016甘肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、臨夏州、張掖市等9市，27，10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，D三點(diǎn)． (1)求證：AB是⊙O的直徑； (2)判斷 DE與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明； (3

24、)若⊙O的半徑為3，∠BAC=60º，求DE的長(zhǎng)． 第27題圖 【逐步提示】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)、切線的判定方法、以及特殊直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形進(jìn)行證明，（1）證明圓的直徑，很自然想到90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，因此想到連接AD，設(shè)法證明∠ADB=90°，而聯(lián)系已知條件可以發(fā)現(xiàn)，△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形三線合一很容易證明∠ADB=90°；（2）DE經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)D，若能夠證明OD⊥DE，則DE為⊙O的切線，因此可以考慮連接OD進(jìn)行探索，由（1）和已知條件可知：OD是△ABC的中位線，所以

25、OD∥AC，而DE⊥AC，所以O(shè)D⊥DE，故DE與⊙O的位置關(guān)系是相切；（3）當(dāng)∠BAC=60º時(shí)，△ABC是等邊三角形，圓的半徑為3，則直徑AD為6，在Rt△ABD中可求出AD的長(zhǎng)度，在Rt△ADE中可求出DE的長(zhǎng)度. 【詳細(xì)解答】（1）證明：如圖①，連接AD， ∵在△ABC中， AB=AC，BD=DC， ∴ AD⊥BC 1分 ∴ ∠ADB=90°， ∴ AB是⊙O的直徑； 2分 圖① A B

26、 C D E O （2）DE與⊙O的相切． 3分 證明：如圖②，連接OD， ∵ AO=BO，BD=DC， ∴ OD是△BAC的中位線， ∴ OD∥AC， 4分 又 ∵ DE⊥AC ∴DE⊥OD， ∴ DE為⊙O的切線； 5分 圖② A B C D E O （3）解：如圖③，∵ AO=3，∴ AB=6， 又 ∵ AB=AC，∠BAC=60°， ∴

27、 △ABC是等邊三角形， ∴ AD=， 6分 ∵ AC?DE=CD?AD， ∴ 6?DE=3×， 7分 解得 DE =． 8分 A B C D E O 圖③ 【解后反思】在圓中，看到直徑聯(lián)想90°的圓周角，反之，亦然；直線與圓的位置關(guān)系最重要的當(dāng)屬直線與圓相切，判定圓的切線常

28、見(jiàn)思路：①若已知直線與圓的公共點(diǎn)，則采用判定定理法，其基本思路是：當(dāng)已知點(diǎn)在圓上時(shí)，連接過(guò)這點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡(jiǎn)述為：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直；②若未知直線與圓的交點(diǎn)，則采用數(shù)量關(guān)系法，其基本思路是：過(guò)圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑，可簡(jiǎn)述為：無(wú)切點(diǎn)，作垂線，證相等． 【關(guān)鍵詞】 等腰三角形的判定和性質(zhì)；圓周角定理；直線與圓的位置關(guān)系；切線的判定方法；含有30°角的直角三角形的性質(zhì)； 2. （2016甘肅蘭州，27，10分）如圖，三角形ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB于點(diǎn)O，分別交AC、CF于點(diǎn)E、D，且DE=DC．

29、（1）求證：CF是⊙O的切線； （2）若⊙O的半徑為5，BC=，求DE的長(zhǎng)． 【逐步提示】（1）第一步：連接OC，易知∠A=∠OCA，由OD⊥AB證得∠A＋∠AEO=90°； 第二步：根據(jù)“等邊對(duì)等角”有∠DEC=∠DCE，代換得∠OCE+∠DCE=90°，從而證得結(jié)論； （2）第一步：作DH⊥EC，根據(jù)“等角的余角相等”可得∠EDH=∠A，△EDC中根據(jù)三線合一得EH =HC=EC，于是AB=10，由勾股定理可得AC=；第三步：由△AEO∽△ABC得，代入數(shù)據(jù)求得AE，進(jìn)一步求出EC、EH；第四步：由等角的正弦相等得sin∠A= sin∠EDH，從而，進(jìn)而求

30、得DE的長(zhǎng)． 【詳細(xì)解答】解：（1）證明：連接OC，則∠A=∠OCA，∵ OD⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠A＋∠AEO=90°， ∵DE =DC，∴∠DEC=∠DCE，∵∠AEO=∠DEC， ∴ ∠AEO= ∠DCE，∴∠OCE+∠DCE=90°，∴CF是⊙O的切線． （2）作DH⊥EC，則∠EDH=∠A，∵DE =DC，∴ EH =HC=EC，∵ ⊙O的半徑為5，BC= ，∴AB=10，AC=，∵△AEO∽△ABC，∴， ∴AE=，∴EC=AC-AE==， ∴EH=EC=， ∵∠EDH=∠A，∴sin∠A= sin∠EDH，即， ∴DE=

31、． 【解后反思】看到切線，就想到作過(guò)切點(diǎn)的半徑，看到直徑就想到直徑所對(duì)的圓周角是直角；看到切線的判定，就想到：①若已知直線與圓的公共點(diǎn)，則采用判定定理法，其基本思路是：當(dāng)已知點(diǎn)在圓上時(shí)，連接過(guò)這點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡(jiǎn)述為：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直；②若未知直線與圓有交點(diǎn)，則采用數(shù)量關(guān)系法，其基本思路是：過(guò)圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑，可簡(jiǎn)述為：無(wú)切點(diǎn)，作垂線，證相等． 【關(guān)鍵詞】 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)；轉(zhuǎn)化思想；方程思想 3. （ 2016甘肅省天水市，23，10分）如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E、F、G，且AB∥CD．連結(jié)

32、OB、OC，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥OB交CD于點(diǎn)N． （1）（4分）求證：MN是⊙O的切線； （2）（6分）當(dāng)OB＝6cm，OC＝8cm時(shí)，求⊙O的半徑及MN的長(zhǎng)． A B D C E F G M O N 【逐步提示】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：對(duì)于（1），理解要證明MN是⊙O的切線，就是要證明OM⊥MN．對(duì)于（2），需要連接OF，得到OF⊥BC，根據(jù)勾股定理先求出BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)△BOC的面積求出⊙O的半徑，最后根據(jù)△NMC∽△BOC產(chǎn)生相似比就可以求出MN的長(zhǎng)． 【詳細(xì)解答】證明：（1）∵AB、B

33、C、CD分別與⊙O切于點(diǎn)E、F、G， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB． ∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠DCB＝180°． ∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝×180°＝90°． ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－90°＝90°． ∴∠BOM＝180°－∠BOC＝90°． ∵M(jìn)N∥OB， ∴∠NMC＝∠BOM＝90°． ∴OM⊥MN． ∴MN是⊙O的切線． 解：（2）連接OF，則OF⊥BC， A B D C E

34、 F G M O N 由（1）知，△BOC是直角三角形， ∴BC＝＝＝10． ∵S△BOC＝?OB?OC＝?BC?OF， ∴6×8＝10×OF． ∴OF＝4.8． ∴⊙O的半徑為4.8cm． 由（1）知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°， ∴△NMC∽△BOC． ∴＝，即＝，解得MN＝9.6． ∴MN的長(zhǎng)為9.6cm． 【解后反思】證切線的常用方法有：（1）連半徑，證垂直；（2）作垂直，證半徑．即已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可；若此線與圓的唯一公共點(diǎn)未定，則過(guò)圓心作到這條直線的垂線段，

35、再證它等于半徑即可．由于此題半徑OM已有，只要證得OM⊥MN即可說(shuō)明MN是⊙O的切線．對(duì)于含切線的圓類問(wèn)題，還要注意“切點(diǎn)與圓心，連結(jié)要領(lǐng)先”解題思想方法的貫徹執(zhí)行，即遇到切點(diǎn)與圓心沒(méi)連結(jié)的圖形，首先要想到將它倆連結(jié)起來(lái)．這樣就可以得到數(shù)量關(guān)系（圓中半徑相等）和位置關(guān)系（圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑），產(chǎn)生新的幾何結(jié)論． 【關(guān)鍵詞】切線的判定與性質(zhì)；切線長(zhǎng)定理；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì)；綜合法證明；面積法． 4. （2016廣東省廣州市，25，14分）如圖，點(diǎn)C為△ABD外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不在上，且不與點(diǎn)B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°． （1）求

36、證：BD是該外接圓的直徑； （2）連結(jié)CD，求證：AC=BC+CD； （3）若△ABC關(guān)于直線AB的對(duì)稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2，AM2，BM2三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． A B C D 【逐步提示】（1）要證BD是圓的直徑，只需證明∠BAD=90°即可，這可由已知條件∠ACB=∠ABD=45°及∠D=∠ACB直接得到；（2）由所要證明的結(jié)論形式自然聯(lián)想到證明線段“a+b=c”型問(wèn)題的方法：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，由“AC”可聯(lián)想到構(gòu)造以AC為直角邊的等腰直角三角形，其斜邊長(zhǎng)即等于AC．于是可作AE⊥AC，交CB的延

37、長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)AE，通過(guò)證明△ABE≌△ADC進(jìn)一步獲證結(jié)論；（3）由DM2，AM2，BM2三者的形式，可構(gòu)建直角三角形，進(jìn)一步利用勾股定理探究三者之間的數(shù)量關(guān)系．則根據(jù)圓的性質(zhì)，易于構(gòu)造以DM為斜邊的Rt△MDF，顯然有DM2= DF2＋MF2，借助“幾何直觀”，易于猜想DF=BM，關(guān)于MF2與2AM2，連結(jié)AF后它們?cè)谝粋€(gè)等腰直角三角形中，進(jìn)而易于得出結(jié)論．另外，亦可以BM為直角邊，以AM為直角邊構(gòu)造兩個(gè)Rt△BMF與Rt△MAF，通過(guò)三角形全等證明BF=MD獲得結(jié)論． 【詳細(xì)解答】解：（1）由=，得∠ADB=∠ACB=45°．又∵∠ABD=45°，∴∠ABD+∠A

38、DB=90°，∴∠BAD=90°，∴BD是△ABD外接圓的直徑； （2）證明：如圖，作AE⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)AE．∵∠EAC=∠BAD=90°，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，∴∠EAB=∠DAC．由∠ACB=∠ABD=45°，可得△ACE與△ABD是等腰直角三角形，∴AE=AC，AB=AD，∴△ABE≌△ADC，∴CD=BE．在等腰Rt△ACE中，由勾股定理，得CE=AC．∵CE=BC+BE，∴AC=BC+CD； A C D B E （3）DM2=BM2＋2MA

39、2．證明如下： 方法1：如圖，延長(zhǎng)MB交圓于點(diǎn)F，連結(jié)AF，DF． ∵∠BFA=∠ACB=∠BMA=45°，∴∠MAF=90°，MA=AF，∴MA2+AF2=2MA2=MF2． 又∵AC=MA=AF，∴=，又∵=，∴=，∴=，∴∴DF=BC=BM． ∵BD是直徑，∴∠BFD=90°． 在Rt△MDF中，由勾股定理，得DM2= DF2＋MF2， ∴DM2=BM2＋2MA2． A C D B F M 方法2：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥MB，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥MA，MF與AF交于點(diǎn)F，連結(jié)BF． 由軸對(duì)稱

40、性可知∠AMB=ACB=45°，∴∠FMA=45°，∴△AMF是等腰直角三角形， ∴AM=AF，MF2=2AM2． ∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，∴∠FAB=∠MAD． 又∵AF=AM，AB=AD，∴△ABF≌△ADM，∴BF=DM． 在Rt△BMF中， ∵BF2=BM2+MF2，∴DM2=BM2＋2MA2． A C D B F M 【解后反思】1．關(guān)于問(wèn)題（2）的解決，是利用證明線段“a+b=c”型問(wèn)題的方法——截長(zhǎng)補(bǔ)短法．該例所作的輔助線本質(zhì)上是在線段CB的延長(zhǎng)線上得到BE=CD．我們也

41、可直接在CB的延長(zhǎng)線上截取BE=CD，顯然∠ABE=∠ADC，AB=AD，因此，△ABE≌△ADC，從而可證∠EAC=90°，進(jìn)一步可證得結(jié)論成立． 2．對(duì)于許多幾何證明題，根據(jù)已知條件與所要證明的結(jié)論，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)是溝通證明思路的重要途徑．如本例（3）中根據(jù)探究量的形式聯(lián)想到勾股定理，從而構(gòu)造直角三角形是解決問(wèn)題的突破口．另外，注意“幾何直觀”，合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合，常常能給我們指明思考的方向與切入點(diǎn)，收到事半功倍之效． 【關(guān)鍵詞】圓周角定理的推論；圓的三組量關(guān)系定理；全等三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；軸對(duì)稱的性質(zhì)；轉(zhuǎn)化思想 5. （2016廣東茂名，24，8分）如圖

42、，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB邊上的兩點(diǎn)，以DF為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，連接EF，過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，其中∠OFE=∠A. （1）求證：BC是⊙O的切線； （2）若sinB=，⊙O的半徑為r，求△EHG的面積.（用含r的代數(shù)式表示） 【逐步提示】本題考查了切線的判定定理、圓中有關(guān)線段的求值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法以及構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)、勾股定理等使問(wèn)題獲解．（1）由于BC與⊙O有一個(gè)確定的公共點(diǎn)E，根據(jù)切線的判定定理，只要連接OE，證明OE⊥BC即可說(shuō)明BC是⊙O的切線；（2）連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB，垂足為Q，由于△ED

43、Q與題中已知條件的聯(lián)系比較密切，較容易求出它的兩直角邊的長(zhǎng)度，因此證△EDQ≌△EHG，將“求△EHG的面積”轉(zhuǎn)化為“求△EDQ的面積”. 【詳細(xì)解答】解：（1）連接OE. ∵⊙O中，OE=OF， ∴∠OEF=∠OFE. ∵∠BOE為△OEF的外角， ∴∠BOE=∠OEF+∠OFE=2∠OFE. ∵∠OFE=∠A， ∴∠BOE=∠A， ∴OE∥AC， ∴∠BEO=∠C. ∵∠C=90°， ∴∠BEO=90°，即OE⊥BC. ∴BC是⊙O的切線； （2）連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB，垂足為Q. 在Rt△BEO中，sinB=，即=，∴BO=r，

44、∴BE==r. 在Rt△BQE中，sinB=，即=QE÷r，解得QE=r. 在Rt△OQE中，OQ==r， ∴DQ=OD－OQ=r－r=r. ∴S△EDQ=DQ×QE=r2. ∵OE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC， ∴OE∥FG， ∴∠OEF=∠EFG. ∵∠OEF=∠OFE， ∴∠OFE=∠EFG， ∴EF是∠QFG的平分線，=. ∴在⊙O中，ED=EH. 又∵EF是∠QFG的平分線，EQ⊥AB，EG⊥FG， ∴EQ=EG， ∴△EDQ≌△EHG（HL）， ∴S△EHG=S△EDQ=r2. 【解后反思】（1）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于

45、這條半徑的直線是圓的切線﹒切線的基本證明方法：①切點(diǎn)已知，連過(guò)切點(diǎn)的半徑，證所連半徑垂直于要證明的切線；②切點(diǎn)未知，作垂線段，證垂線段等于半徑. （2）求△EHG的面積也可采用證△EHG∽△FEG，先求出EG、HG長(zhǎng)度，再求△EHG面積，不管哪一種方法，都要將條件“sinB=”置于直角三角形，溝通直角三角形邊、角間的關(guān)系，從而為求△EHG的面積創(chuàng)設(shè)條件. 【關(guān)鍵詞】直線與圓相切；銳角三角函數(shù)；勾股定理. 6.（2016貴州省畢節(jié)市，26，14分）如圖，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，且CD＝CB，以BC為直徑作⊙O，交BD于點(diǎn)E，連接CE，過(guò)D作DFAB于點(diǎn)F，∠BCD＝2∠ABD. 求

46、證：（1）AB是⊙O的切線； （2）若∠A＝60°，DF＝，求⊙O的直徑BC的長(zhǎng)． （第26題圖） 【逐步提示】本題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及利用特殊角的三角函數(shù)求三角形的邊，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法以及運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角是直角進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化．（1）要證明AB是⊙O的切線，只需證明∠CBA＝90°.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可知，∠CEB＝90°，根據(jù)等腰三角形“三線合一”及∠BCD＝2∠ABD，可得∠ABD＝∠BCE，從而證得結(jié)論；（2）在Rt△ADF中，根據(jù)∠A＝60°，DF＝，可求得AD的長(zhǎng)，AC＝

47、BC＋2，再利用∠A的正弦值可求BC的長(zhǎng). 【詳細(xì)解答】解：（1）∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB. 又∠CEB＝90°，∴∠CBD＋∠BCE＝∠CDE＋∠DCE＝90°. ∴∠BCE＝∠DCE，又∵∠BCD＝2∠ABD，∴∠ABD＝∠BCE， ∴∠CBD＋∠ABD＝∠CBD＋∠BCE＝90°，∴CB⊥AB，垂足為B，又CB為直徑，∴AB是⊙O的切線； （2）∵∠A＝60°，DF＝，在Rt△ADF中，AD＝2. 設(shè)BC的長(zhǎng)為x，則AC的長(zhǎng)為（x＋2），在Rt△ABC中，.即，解得x＝.所以⊙O的直徑BC的長(zhǎng)為. 【解后反思】此類問(wèn)題容易出

48、錯(cuò)的地方是不能利用已知條件發(fā)現(xiàn)AC與BC的關(guān)系，找不到解決問(wèn)題的突破口. 【關(guān)鍵詞】切線的判定 ；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)； 7. （ 2016河南省，18，9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=900，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC,BM于點(diǎn)D,E. (1)求證：MD=ME; (2)填空：①若AB=6,當(dāng)AD=2DM時(shí)，DE= ； ②連接OD,OE,當(dāng)∠A的度數(shù)為 時(shí)，四邊形ODME是菱形. 【逐步提示】（1）MD=ME應(yīng)來(lái)源于∠MDE=∠MED，根據(jù)條件可知四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓

49、內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角的性質(zhì)及直角三角形的斜邊中線性質(zhì)綜合可得結(jié)論。（2）由第一問(wèn)可知DE∥AB，由相似三角形的性質(zhì)可知,可得DE=2. (3)根據(jù)菱形性質(zhì)可知OE∥AM.∵O是AB中點(diǎn)，∴E為BM中點(diǎn)，連接AE，∵AB是直徑，∴AE⊥BM,可得AB=AM.同理AB=BM.∴△ABM 是等邊三角形，∴∠A=60°。 【詳細(xì)解答】解：（1）在Rt△ABC中，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)， ∴MA=MB，∴∠A=∠MBA. ∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ADE+∠ABE=180°, 又∠ADE+∠MDE=180°, ∴∠MDE=∠MBA. 同理可證：∠

50、MED=∠A. ∴∠MDE=∠MED, ∴MD=ME. （2）①2； ②60°（或60）. 【解后反思】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定；相似三角形的判斷和性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng). 【關(guān)鍵詞】圓內(nèi)接四邊形，相似，菱形，等腰三角形.- 8. （ 2016湖北省黃岡市，19，8分）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接BC， 求證：（1）∠PBC=∠CBD； （2）BC2=AB·BD 【逐步提示】本題考查圓的切線的

51、性質(zhì)與三角形相似的判定，解題的關(guān)鍵是利用切線的性質(zhì)為證明結(jié)論創(chuàng)造條件，利用三角形的相似證明線段的乘積關(guān)系。第（1）問(wèn)，只需連接圓心O和切點(diǎn)C，利用切線的性質(zhì)即可證明；（2）分析要證明的乘積式，只需要證明ΔDCB與ΔACB相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出結(jié)論. 【詳細(xì)解答】證明（1）連接OC, ∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PD, ∵BD⊥PC，∴OC∥BD, ∴∠DBC=∠BCO. ∵OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB. ∴∠PBC=∠CBD. (2) 連接AC，∵AB是是半圓O的直徑，∴∠ACB=900， ∴∠ACB=∠CDB, ∵∠PBC=∠CBD. ∴ΔACB∽ΔCD

52、B. ∴. ∴BC2=AB·BD. 【解后反思】（1）在圓中，若有切線，則“連接圓心和切點(diǎn)”是最常見(jiàn)的做輔助線的方法；（2）證明線段的乘積式，先將乘積式化成比例式，然后從比例式中尋找相似的三角形，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論。 【關(guān)鍵詞】切線的性質(zhì) ；相似三角形的判定。 9.（ 2016湖北省黃石市，19，7分）如圖，⊙O的直徑為AB，點(diǎn)C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD． （1）若BC＝3，AB＝5，求AC的值； （2）若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線． 【逐步提示】本題考查了與圓有關(guān)的計(jì)算，切線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法．

53、（1）直接利用勾股定理求解；（2）連接OC，先利用角平行線及△AOC是等腰三角形推導(dǎo)出AD∥OC，進(jìn)而得到OC⊥CD，于是由切線的判定定理得到直線CD是⊙O的切線． 【詳細(xì)解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°． ∴AC＝＝＝4． （2）證明：連接OC． ∵AC是∠DAB的角平分線， ∴∠DAC＝∠OAC． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∴∠DAC＝∠OCA． ∴AD∥OC． ∵AD⊥DC， ∴OC⊥CD． ∴直線DC是⊙O的切線． 【解后反思】判定圓的切線常見(jiàn)思路：①若已知直線與圓的公共點(diǎn)，則采用判定定理法，其基本思路是：

54、連接過(guò)公共點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直．可簡(jiǎn)述為：有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直；②若未知直線與圓的公共點(diǎn)，則采用數(shù)量關(guān)系法，其基本思路是：過(guò)圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑，可簡(jiǎn)述為：無(wú)公共點(diǎn)，作垂線，證相等． 【關(guān)鍵詞】勾股定理；圓的切線的判定． 10. （ 2016湖北省黃石市，25，10分）如圖1所示，已知點(diǎn)A（－2，－1）在雙曲線C：＝上，直線：＝，直線與關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，F(xiàn)1（2，2），F(xiàn)2（－2，－2）兩點(diǎn)間的連線與曲線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為B，P是曲線C上第一象限內(nèi)異于B的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作軸平行線分別交，于M，N兩點(diǎn)． （1）求雙曲線C及直線的解析式； （2

55、）求證：PF2－PF1＝MN＝4； （3）如圖2所示，△PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2，PF1，PF2三邊分別相切于點(diǎn)Q，R，S，求證：點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合．（參考公式：在平面坐標(biāo)系中，若有點(diǎn)A（，），B（，），則A、B兩點(diǎn)間的距離公式為AB＝．） 圖1 圖2 【逐步提示】本題考查了雙曲線的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象、待定系數(shù)法、中心對(duì)稱、三角形的內(nèi)切圓，解題關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)之間的相互轉(zhuǎn)化．（1）將點(diǎn)A（－2，－1）代入可求出雙曲線C的解析式．求直線的解析式，需找兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這可在直線上取兩個(gè)點(diǎn)，然后利用關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律得到對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出

56、的解析式．（2）設(shè)點(diǎn)P（，）（＞0），由PM∥軸，知點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)為都為，分別代入、的函數(shù)解析式，得到M，N橫坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示），再利用題中提供的“兩點(diǎn)間的距離公式”分別求出PF1，PF2，MN的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示），最后通過(guò)計(jì)算即可證明．（3）分別求出OQ，OB的長(zhǎng)即可證明．其中OB的長(zhǎng)由“兩點(diǎn)間的距離公式”容易求得，而求OQ的長(zhǎng)有一定難度．由圖知OQ＝OF1－QF1，而OF1＝F1F2，F(xiàn)1F2的長(zhǎng)由“兩點(diǎn)間的距離公式”容易求得．QF1的長(zhǎng)可借助第（2）問(wèn)得到QF2－QF1＝4，再結(jié)合QF2＋QF1＝F1F2＝求得． 【詳細(xì)解答】解：（1）把A（－2，－1）代入＝，得 －1＝

57、，解得＝2． ∴雙曲線C的函數(shù)解析式為＝． 在＝中，當(dāng)＝0時(shí)，＝2；當(dāng)＝0時(shí)，0＝，＝2． ∴與軸交于點(diǎn)（2，0），與軸交于點(diǎn)（0，2）． 設(shè)直線的函數(shù)解析式為＝（≠0）． ∵點(diǎn)（2，0），（0，2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是（－2，0），（0，－2）， ∴把（－2，0），（0，－2）分別代入＝，得． ∴＝－1，＝－2． ∴直線的函數(shù)解析式為＝． （2）設(shè)P（，）（＞0）． ∵F1（2，2）， ∴＝＝＝． ∵＝＝＞0， ∴PF1＝． 在＝中，當(dāng)＝時(shí)，得＝，＝． ∴M（，）． 同理N（，）． ∴PM＝＝， ∴PM＝PF1． 同理＝＝． ∴PF2＝，PN＝．

58、∴PF2＝PN． ∴PF2－PF1＝PN－PM＝MN＝4． （3）∵△PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2，PF1，PF2三邊分別相切于點(diǎn)Q，R，S， ∴PR＝PS，F(xiàn)1R＝F1Q，F(xiàn)2S＝F2Q． ∵F1（2，2），F(xiàn)2（－2，－2）， ∴F1F2＝＝． ∵F1（2，2），F(xiàn)2（－2，－2）， ∴點(diǎn)F1與點(diǎn)F2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． ∴OF1＝F1F2＝． 由（2）同理可得QF2－QF1＝4　①． 又∵QF2＋QF1＝F1F2＝?、?， ∴由①、②解得QF1＝． ∴OQ＝OF1－QF1＝＝2． ∵B（，），O（0，0）， ∴OB＝＝2＝OQ． ∴點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合． 【解后反思】（

59、1）解答反比例函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的問(wèn)題，關(guān)鍵是進(jìn)行點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化，利用幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)求解．（2）關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等；關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)是互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)是互為相反數(shù)．（3）兩點(diǎn)間的距離公式的實(shí)質(zhì)是以兩點(diǎn)連成的線段為直角三角形的斜邊構(gòu)造出直角三角形（兩直角邊“橫平豎直”），這一公式在函數(shù)與幾何圖形綜合題運(yùn)用較廣，牢固掌握有利用于提高解題能力． 【關(guān)鍵詞】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；初高中銜接題型；反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)；一次函數(shù)的圖象． 11. （2016湖北省荊州市，23，10分）如圖，A、F

60、、B、C是半圓O上的四個(gè)點(diǎn)，四邊形OABC是平行四邊形，∠FAB＝15°，連接OF交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作OF的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AF交直線CD于點(diǎn)H． （1）求證：CD是半圓O的切線； （2）若DH＝6－3，求EF和半徑OA的長(zhǎng)． 【逐步提示】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形、菱形、等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)用等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟練掌握以上幾何圖形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）連接OB，先說(shuō)明四邊形OABC是平行四邊形為菱形，證明∠FOC＝∠

61、AOC－∠AOF＝90°，再設(shè)法證明四邊形OCDE為平行四邊形，則有OCDE為矩形，得∠OCD＝90°即可；（2）先證△AEF∽△ADH，得，再在Rt△OEA和Rt△CDB中用AE的代數(shù)式表示EF和AD，從而求得EF和半徑OA的長(zhǎng). 【詳細(xì)解答】解：（1）證明：連接OB， ∵四邊形OABC是平行四邊形，OA＝OC，∴ OABC為菱形， ∴OA＝OB＝AB，即△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝∠OAB ＝60°，∴∠AOC＝120°， ∵∠FAB＝15°，∴∠BOF＝2∠FAB＝30°，∴∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝30

62、76;， ∴∠FOC＝∠AOC－∠AOF＝90°， ∵CD∥OF，OC∥AD，∴四邊形OCDE為平行四邊形，∴OCDE為矩形， ∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是半圓O的切線． （2）∵∠AOF＝∠BOF，OA＝OB，∴OF⊥AB，∴∠FEA＝90°， ∵四邊形OCDE為矩形，∴∠HAD＝∠CDA＝90°，∴∠HAD＝∠FEA＝90°， ∵∠HAD＝∠FAE，∴△AEF∽△ADH，∴， 設(shè)AE＝a，在Rt△OEA中，∠AOE＝30°， ∴OA＝＝2a，OE＝＝a， ∴CD＝OE＝a，EF＝OF－OE＝（2

63、－）a， ∵四邊形OABC為菱形，∴BC＝OA＝AB＝2a， 在Rt△CDB中，DB＝＝a，∴AD＝AB＋DB＝3a， ∴，即a＝1，∴EF＝2－，OA＝2． 【解后反思】①判定圓的切線的方法有：（a）直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（b）若已知直線與圓有公共點(diǎn)，則連結(jié)過(guò)該點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直；（c）若題意沒(méi)有說(shuō)明直線與圓有公共點(diǎn)，那么過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明它等于半徑．②相似三角形、勾股定理，等腰三角形，特殊四邊形，銳角三角形函數(shù)等知識(shí)常融于圓中進(jìn)行綜合應(yīng)用，證明角或線段相等以及求值問(wèn)題，因此，遇到該類問(wèn)題，多注意探究圖形里面所蘊(yùn)含的相似三角形與直角三角形，利用方程思想，聯(lián)想

64、相關(guān)知識(shí)則助于解證思路的溝通． 【關(guān)鍵詞】平行四邊形的性質(zhì)；矩形、菱形、等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)用 12. （ 2016湖北省十堰市，24，10分）如圖1，AB是半圓O的直徑，D為BA的延長(zhǎng)線上 的一點(diǎn)，DC是半圓O的切線，切點(diǎn)為C. (1)求證：∠ACD=∠B; (2)如圖2，∠BDC的平分線分別交AC、BC于點(diǎn)E、F. ①求tan∠CFE值； ②若AC=3,BC=4，求CE的長(zhǎng). 【逐步提示】本題主要考查直徑對(duì)的圓周角是直角、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、特殊角的三角函數(shù)值、相似

65、三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、等比代換及比例的基本性質(zhì).解答此題第（1）題的關(guān)鍵添作切半徑；解答第（2）題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的直角三角形，把求線段CE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為相似三角形的邊的比. 解題思路：（1）容易知道，∠ACD+∠OCD=90°，∠OCA+∠OCB=90°，要證明∠ACD=∠B，只需證明∠OCB=∠B即可；（2）要求tan∠CFE的值，只需將∠CFE放置在直角三角形中，求出∠CFE的度數(shù)，或把相應(yīng)的直角邊的比轉(zhuǎn)化到已知線段的比即可，本題選擇了前者；本題中有幾對(duì)相似三角形，要求線段CE的長(zhǎng)，顯然是利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成立來(lái)求. 【詳細(xì)解答】解：(1)連結(jié)OC，∵D

66、C為半圓O的切線， ∴∠OCD=90°,即∠ACD+∠OCD=90°, ∵AB為半圓O的直徑， ∴∠ACB=90°, ∠OCA+∠OCB=90°. ∵OB=OC,∴∠OCB=∠B ∴∠ACD=∠B. (2)①∵DF平分∠BDC,∴∠CDE=∠BDF, 由（1）得 ∠ACD=∠B， ∵∠CFE=∠BDF+∠B, ∠CEF=∠CDE+∠ACD ∴∠CFE=∠CEF. 又∠ACB=90°,∴∠CFE=∠CEF=45° ∴tan∠CFE=1. ②∠ACD=∠B, ∠ADC=∠CDB ∴△DCA∽△DBC. ∴

67、∵AC=3,BC=4, ∴ ∵∠DEA=∠CEF=∠DFC, ∠ADE=∠CDF ∴△DEA∽△DFC ∴ , 又 CE=CF, 即 ∴, CE=. 【解后反思】本題的重點(diǎn)是連接切點(diǎn)與圓心的線段，難點(diǎn)是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比轉(zhuǎn)移，求線段CE的長(zhǎng)；解題規(guī)律：解決圓問(wèn)題，常常需要添加輔助線，常見(jiàn)的輔助線的添加方法有：①構(gòu)造直徑所對(duì)的圓角為90°，②連結(jié)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，③作出弦的中垂線;④有弦長(zhǎng)，常作弦心距；⑤兩圓相交，常作公共弦; ⑥兩圓三元，常作連心線等。 解題拓展：第（1）問(wèn)實(shí)際是證明弦切角等于它所夾弧對(duì)的圓周角，在新課標(biāo)前這是一個(gè)重要的結(jié)論，

68、現(xiàn)在是一個(gè)重要的方法，需要有意識(shí)的在數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中建立一個(gè)“根據(jù)地”；第（2）問(wèn)中的△DCA∽△DBC是新課標(biāo)前證明切割線定理中的一對(duì)重要的相似三角形，在新課標(biāo)中不少題中要求證明DC2=DA·DB, 所以需要有意識(shí)的在數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中建立另一個(gè)“根據(jù)地”. 【關(guān)鍵詞】圓；圓周角; 切線的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定；相似多邊形的性質(zhì) ；相似三角形的判定；銳角三角函數(shù)值的求法； 13. （2016湖北宜昌，21，8分）如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，且CD∥AB．連接AC，AD，OD，其中AC=CD．過(guò)點(diǎn)B的切線交CD的延長(zhǎng)線于E．【來(lái)源：21cnj*y.co*m】 （1

69、）求證：DA平分∠CDO； （2）若AB=12，求圖中陰影部分的周長(zhǎng)之和（參考數(shù)據(jù)：，，）． （第21題） 【逐步提示】本題考查了圓的切線，弧長(zhǎng)公式，三角函數(shù)，圓周角定理及推論，關(guān)鍵是通過(guò)適當(dāng)?shù)妮o助線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化. 【詳細(xì)解答】解：證明：（1）∵CD∥AB ∴∠CDA＝∠BAD， 又∵AO=OD ∴∠ADO＝∠BAD， ∴∠ADO＝∠CDO， (2)如圖，連接BD，∵AB是直徑， 90°，即BO⊥AB又DO⊥CD，∴∠ADＢ＝90° ∵ＣA＝ＣＤ ∴∠DAＣ＝∠CDＡ， 又∵CD∥AB ∴∠BAD＝∠CDA， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠CDA， ∴弧AC=弧DC＝弧BD 又∵∠BOA＝180° ∴∠BOD