《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識點(diǎn)025等腰三角形、等邊三角形A》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識點(diǎn)025等腰三角形、等邊三角形A（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 一、選擇題 1. (2016山東臨沂，12，3分)如圖，將等邊△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到△EDC，連接AD，BD.則下列結(jié)論：①AC=AD；②BD⊥AC；③四邊形ACED是菱形.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】D 【逐步提示】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，先由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠DCE=60，AC=CD，從而得出△ACD是等邊三角形，得出①正確；再判斷四邊形ABCD是菱形，得出②正確；然后根據(jù)①結(jié)論得出四邊形ACED是菱形，得出③正確．

2、 【詳細(xì)解答】解：∵△ABC、△EDC是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60，AC=CD，∴∠ACD=180－∠ACB－∠DCE=60，∴△ACD是等邊三角形，∴AD=AC，故①正確； 由①可得AD=BC=AB=CD，∴四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，故②正確； 由①可得AD=AC=CE=DE，故四邊形ACED是菱形，即③正確． 綜上可得①②③正確，共3個(gè)．故選D． 【解后反思】解答本題需掌握以下知識：(1)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60； (2)等邊三角形的判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形

3、； (3)菱形的判定：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③四條邊都相等的四邊形是菱形； (4)菱形的性質(zhì)：①菱形是四條邊都相等；②菱形的對角線互相垂直且平分；③菱形的每一條對角線平分一組對角． 【關(guān)鍵詞】 等邊三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的判定；菱形的性質(zhì) 2. m（ 2016山東泰安，18，3分）如圖，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分別是邊PA、PB、AB上的點(diǎn)，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44，則∠P的度數(shù)為（ ） P N B M K A 第18題圖 A．44

4、 B．66 C．88 D．92 【答案】D 【逐步提示】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．通過題中所給的條件AM＝BK，BN＝AK，以及由PA＝PB，可證∠A＝∠B所以△AKM≌△BNK，得到對應(yīng)角相等，再利用外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，便可求出∠A與∠MKN相等，最后由三角形的內(nèi)角和求出∠P的度數(shù)． 【詳細(xì)解答】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B． 又∵AM＝BK，BN＝AK，∴△AKM≌△BNK（SAS），∴∠AMK＝∠BKN，∵∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK

5、，∴∠A＝∠MKN，∵∠MKN＝44，∴∠A＝44，∴∠P＝180－2∠A＝180－244＝92故答案為D . 【解后反思】本題主要考查全等三角形的判定，判斷三角形全等的方法有SSS、SAS、AAS、ASA，解題時(shí)可根據(jù)題目已有條件，選擇便捷可行的判定方法． 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì) ；三角形的外角；三角形全等的判定． 3. 4. （2016四川達(dá)州，9，3分）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF并延長交AC于點(diǎn)E.若AB=10，BC=16，則線段EF的長為 A.2　　B.3　　C.4　　D.5 第9題圖 【答案】B

6、【逐步提示】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定.解題的關(guān)鍵是根據(jù)邊角關(guān)系得到DE∥BC，從而得到△ADE∽△ABC.解題思路是：由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及D是AB的中點(diǎn)，可得DF＝DB＝5，則∠DBF＝∠DFB，又BF平分∠ABC，則∠DFB＝∠CBF，則DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求得DE，則EF可求. 【詳細(xì)解答】解：∵AF⊥BF，D是AB的中點(diǎn)，∴DF＝DB＝5，∴∠DBF＝∠DFB，又∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠DBF，∴∠DFB＝∠CBF，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝

7、∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝8.∴EF＝DE－DF＝8－5＝3.故選擇B . 【解后反思】1.直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.2.在等腰三角形中，注意用“等邊對等角”完成邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化. 【關(guān)鍵詞】直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)和判定；相似三角形的性質(zhì)和判定 5. （ 2016四川省綿陽市，7，3分）如圖，平行四邊形ABCD的周長是26cm，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AC⊥AB，E是BC中點(diǎn)，△AOD的周長比△AOB的周長多3cm，則AE的長度為 （　?。? A．3cm B．4cm C．5m D．8cm 【答案】B． 【逐步

8、提示】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．由□ABCD的周長是26cm，得到□ABCD兩鄰邊的和，即為AD＋AB＝13；由△AOD的周長比△AOB的周長多3cm，得到□ABCD兩鄰邊的差，即AD－AB＝3．聯(lián)立方程組解得BC＝8．最后利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AE長． 【詳細(xì)解答】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD＝BC．因?yàn)椤魽BCD的周長是26cm，所以AD＝BC且AB＋BC＝13①．因?yàn)椤鰽OD的周長比△AOB的周長多3cm，所以AD－AB＝3，即BC－AB＝3②．①＋②，得2BC＝16，所以BC＝8．因?yàn)锳C⊥AB，所以∠BAC＝90，又因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以

9、AE＝BC＝8＝4．，故選擇B． 【解后反思】（1）在直角三角形中出現(xiàn)斜邊中點(diǎn)時(shí)，一般利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求斜邊上的中線長．（2）平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補(bǔ)，對角線互相平分． 6. （ 2016四川南充，7，3分）如圖，在RtΔABC，∠A=30，BC=1，點(diǎn)D，E分別 直角邊BC，AC的中點(diǎn)，則DE的長為（ ） A．1 B．2 C． D．1+ 【答案】A 【逐步提示】本題考查了三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)30所對的直角邊等于斜邊的一半推出斜邊的長．由“3

10、0度角所對的直角邊等于斜邊的一半”求得AB=2BC=2．然后根據(jù)三角形中位線定理求得DE= AB． 【詳細(xì)解答】解：如∵在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30， ∴AB=2BC=2． 又∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)， ∴DE是△ACB的中位線， ∴DE= AB=1． 故選擇A． 【解后反思】遇到條件是中點(diǎn)計(jì)算線段的長，常考慮三角形的中位線定理；遇銳角有30的直角三角形常考慮直角三角形的性質(zhì)：30度角所對的直角邊等于斜邊的一半． 【關(guān)鍵詞】三角形中位線定理 7. （ 2016四川省宜賓市，5，3分）如圖，在△ABC中，∠C=900,AC=4,BC=3,將△ABC繞點(diǎn)A

11、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，則B、D兩點(diǎn)間的距離為（ ） A. B.2 C.3 D.2 【答案】A 【逐步提示】要求兩點(diǎn)B、D的距離，連接BD，從圖上發(fā)現(xiàn)BD是三角形BDE的一邊，且三角形BDE是直角三角形，DE=BC=3,如能求出BE長，則BD可用勾股定理求出，BE=AB-AE，AB是直角三角形ABC的斜邊可求，AE=AC=4,所以問題可解. 【詳細(xì)解答】解：連接BD.因?yàn)?∠C=900,AC=4,BC=3,所以AB= ，AE=AC=4,所以BE=1,又DE=3,∠DEA=∠C=900,所以BD=,

12、故選A. 【解后反思】解此類題，要緊扣旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，由此可得出一些線段及角的值，象本題中的AE=AC=4，BC=DE=3,∠DEA=∠C=900,都是解題過程中不可缺少的條件. 【關(guān)鍵詞】 旋轉(zhuǎn)；圖形旋轉(zhuǎn)的特性；勾股定理； 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1. (2016浙

13、江金華，16，4分)由6根鋼管首尾順次鉸接而成六邊形鋼架ABCDEF，相鄰兩鋼管可以轉(zhuǎn)動(dòng).已知各鋼管的長度為AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米. (鉸接點(diǎn)長度忽略不計(jì))（第16題圖1） （第16題圖2） B D C E A F B D C E A F (1)轉(zhuǎn)動(dòng)鋼管得到三角形鋼架，如圖1,則點(diǎn)A，E之間的距離是 米. (2)轉(zhuǎn)動(dòng)鋼管得到如圖2所示的六邊形鋼架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120，現(xiàn)用三根鋼條連接頂點(diǎn)使該鋼架不能活動(dòng),則所用三根鋼條總長度的最小值是 米. 【答案】(1)；(2) 【逐步提示】(1)連接

14、AE，根據(jù)線段間的比例關(guān)系得到AE∥BD.再由△FAE∽△FBD，通過相似三角形的性質(zhì)求得AE的長．(2)固定多邊形的形狀需要通過連接對角線將多邊形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形來達(dá)到目的，為此需要求得多邊形對角線的長度．根據(jù)圖形特征構(gòu)造出多個(gè)等邊三角形，根據(jù)圖形條件求得相關(guān)對角線的長度，通過比較對角線的長度得到三根鋼條總長度的最小值． 【解析】(1)連接AE，因?yàn)锳F：AB=FE：ED=2：1,所以AE∥BD.所以△FAE∽△FBD，所以AF：FB=AE：BD，即2：3=AE：4,解得AE=． (2)作直線AF，ED，BC，三直線相交于點(diǎn)H，N，M，因?yàn)椤螦=∠B=∠C=∠D=120，AB=DE=1米

15、，BC=CD=EF=FA=2米,所以△FEH，△CDN均為邊長為2的等邊三角形，△ABM為邊長1等邊三角形，所以EF∥BC，AB∥DE，AF∥CD，連接AE，則△AEH為直角三角形，所以AE=2，AD>AE=2；連接CF，由平行線分線段成比例可得CF∥DE，所以△MCF為邊長3的等邊三角形，所以CF=3；連接AC，作AG⊥MN于點(diǎn)G，由已知條件可得AG=，GC=,由勾股定理得AC=,同理可得CE=DF=，現(xiàn)用三根鋼條連接頂點(diǎn)使該鋼架不能活動(dòng),則所用三根鋼條總長度的最小值是AC+CE+DF=3. 【解后反思】固定多邊形的形狀需要將多邊形通過連對角線的方式將多邊形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形，根據(jù)圖形的

16、特征利用相關(guān)知識求得相關(guān)線段的長度． 【關(guān)鍵詞】三角形的穩(wěn)定性；最小值 2. 3. （ 2016四川省綿陽市，14，3分）如圖，AC∥BD，AB與CD相交于點(diǎn)O，若AO＝AC，∠A＝48，∠D＝________． 【答案】66． 【逐步提示】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．由AO＝AC，∠A＝48得∠C＝66．由AC∥BD得∠D＝∠C＝66． 【詳細(xì)解答】解：因?yàn)锳O＝AC，所以∠C＝∠AOC＝＝＝66．因?yàn)锳C∥BD，所以∠D＝∠C＝66，故答案為66． 【解后反思】（1）在等腰三角形中，頂角與底角中知道任一個(gè)的度數(shù)，就可求出另一個(gè)的度數(shù)．（2）平行線的性

17、質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （2016山東菏澤，23，10分）如圖，△ACB 和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．

18、（1）如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50， ① 求證：AD＝BE； ② 求∠AEB的度數(shù)． （2）如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝120，CM為△DCE中DE邊上的高，BN為△ABE中AE邊上的高，試證明：AE＝2CM＋BN． A B C D E 圖1 A B C D M E N 圖2 【逐步提示】（1）①等腰三角形△ACB 和△DCE的底角相等，則它們的頂角相等，故得∠ACD=∠BCE，于是易證△ACD≌△BCE，則有AD=BE；②由①中△ACD≌△

19、BCE，得∠CAD=∠CBE，于是∠EAB與∠ABE之和等于等腰△ACB的兩底角之和，從而易求∠AEB的度數(shù)；（2）顯然AE=DE＋AD=DE＋BE，則在等腰△DCE中用高CM表示DE的長，在Rt△BEN中用BN表示BE的長，結(jié)論即可獲證． 【詳細(xì)解答】解：（1）①證明：∵△ACB 和△DCE均為等腰三角形，∴AC=BC，CD=CE． ∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE． ②解：由①得△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE． 在△ABE中，∠AEB=180―∠EAB―∠ABE=180―∠

20、EAB―∠ABC－∠CBE=180―∠EAB―∠ABC－∠CAD=180―∠CAB－∠ABC=180－50－50=80． （2）證明：在等腰△DCE中，∵CD=CE，∠DCE=120，CM⊥DE，∴∠DCM=∠DCE=60，DM=EM． 在Rt△CDM中，DM=CMtan∠DCM= CMtan60=CM，∴DE=2CM． 由（1）中②，得∠AEB=180―∠CAB－∠ABC=180―(180－120)=120，∴∠BEN=60． 在Rt△BEN中，sin∠BEN=，∴BE=BNsin60=BN． 由（1）中①知AD=BE，∴AD=BN． ∴AE=DE＋AD=2CM＋BN，即AE=2

21、CM＋BN． 【解后反思】（1）含有特殊角的等腰三角形，往往通過作底邊上的高轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題． （2）在解決幾何綜合題中，相等角與線段的等量轉(zhuǎn)換往往是溝通解證思路的“橋梁”，起著關(guān)鍵作用． 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；解直角三角形；直角三角形的性質(zhì) 2. (2016山東威海，24，11) (11分)如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90，AB=AC，CB=CD.延長CA至點(diǎn)E，使AE=AC；延長CB至點(diǎn)F，使BF=BC.連接AD，AF，DF，EF.延長DB交EF于點(diǎn)N. (1)求證：AD=AF； (2)求證：BD

22、=EF； (3)試判斷四邊形ABNE的形狀，并說明理由. 【逐步提示】(1)根據(jù)條件可得△ABF≌△ACD，則AD=AF；(2)根據(jù)條件可得△AEF≌△ABD，則BD=EF；(3)根據(jù)條件可得四邊形ABNE的形狀為矩形，再由AE=AB，可得矩形ABNE為正方形。 【詳細(xì)解答】解：(1)∵ AB=AC，∠BAC=90，∴ ∠ABC=∠ACB=45.∴ ∠ABF=135. ∵ ∠BCD=90，∴ ∠ACD=135，∴ ∠ABF=∠ACD. ∵ CB=CD，CB=BF，∴ BF=CD. 在△ABF和△ACD中，∵ AB=AC，∠ABF=∠ACD，BF

23、=CD， ∴ △ABF≌△ACD，∴ AD=AF； (2)由(1)知，AF=AD，△ABF≌△ACD，∴ ∠EAB=∠DAC. ∵ ∠BAC=90，∴ ∠EAB=∠BAC=90，∴ ∠EAF=∠BAD. ∵ AB=AC，AC=AE，∴ AB=AE. 在△AEF和△ABD中，∵ AE=AB，∠EAF=∠BAD，AF=AD， ∴ △AEF≌△ABD，∴ BD=EF； (3)四邊形ABNE是正方形。 ∵ CD=CB，∠BCD=90，∴ ∠CBD=45. ∵ ∠ABC=45，∴ ∠ABD=90，∴ ∠ABN=90. 由(2)知，∠EAB=90，△AEF≌△ABD，∴ ∠AEF=∠A

24、BD=90. ∴ 四邊形ABNE是矩形. 又∵ AE=AB，∴ 矩形ABNE是正方形. 【解后反思】(1)要證明兩條線段相等的思路有：借助于其所在的兩個(gè)三角形全等；等角對等邊；平行四邊形的性質(zhì)；若，則b=c；(2)平行四邊形、矩形及正方形的判定方法.兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形. 【關(guān)鍵詞】等腰直角三角形的性質(zhì)；

25、全等三角形的條件和性質(zhì)；矩形的條件；正方形的條件 3. （ 2016山東濰坊，24，12分）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F. （1）如圖1，連接AC分別交DE、DF于點(diǎn)M、N，求證：； （2）如圖2，將∠EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點(diǎn)G、P，連接GP，當(dāng)△DGP的面積等于時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向． 【逐步提示】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線分線段成比例、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似、全等、旋轉(zhuǎn)等方法來證明題目中的線段和角的關(guān)系． （1）連接BD

26、，設(shè)BD交AC于O，先證明△ABD是等邊三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得到AE=AB，從而AE=DC，再根據(jù)平行線分線段成比例可得，同理可得，則M、N是AC的三等分點(diǎn)，結(jié)論可證； （2）先解Rt△DAE和Rt△DCF，得到DE=DF=，然后根據(jù)垂直和旋轉(zhuǎn)得到角的關(guān)系，利用ASA，證明△DEG≌△DFP，從而DG=DP，而∠GDP=∠EDF=60，故可得△DGP為等邊三角形；利用面積等于求出DG的長度，再解Rt△DGE求出旋轉(zhuǎn)角∠EDG的大小，同理可得逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)結(jié)論同樣存在． 【詳細(xì)解答】（1）證明：連接BD，設(shè)BD交AC于O， ∵在菱形ABCD中，∠DAB=60，AD=AB， ∴

27、△ABD為等邊三角形. ∵DE⊥AB， ∴E為AB中點(diǎn)， ∵AE∥CD， ∴， 同理：， ∴M、N是線段AC的三等分點(diǎn)， ∴. （2）解：∵AB∥CD，∠BAD=60， ∴∠ADC=120， 又∵∠ADE=∠CDF=30， ∴∠EDF=60. 當(dāng)∠EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60， ∵DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90， ∴△DEG≌△DFP， ∴DG=DP， ∴△DGP是等邊三角形， 則， 由，又DG＞0，解得DG=， ∴cos∠EDG=， ∴∠EDG=60． 所以，當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60時(shí)，△DGP的面積

28、也是． 綜上所述，當(dāng)∠EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60時(shí)，△DGP的面積是． 【解后反思】此類問題容易出錯(cuò)的地方是：不能正確的利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換找到邊角之間的關(guān)系并使之對應(yīng)起來．解答本題時(shí)需利用菱形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，仔細(xì)觀察圖形，找出圖中的等邊三角形、全等三角形、直角三角形，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系解直角三角形是解決此類問題的一般思路． 【關(guān)鍵詞】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)；解直角三角形；平行線分線段成比例；分類討論思想； 4. (2016浙江寧波，25，12分)從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這

29、個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線. (1)如圖 1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A = 40，∠B = 60，求證：CD為△ABC的完美分割線. (2)在△ABC中，∠A = 48，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù). (3)如圖2，在△ABC中，AC = 2，BC =，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以 CD為底邊的等腰三角形.求完美分割線CD的長. 【逐步提示】本題考查了等腰三角形、相似三角形、分類討論思想，解題的關(guān)鍵是正確理解新定

30、義的概念“三角形的完美分割線”. (1)只要證明△ACD為等腰三角形，且△BCD與△BAC相似，可得CD是△ABC的完美分割線；(2)分三種情況進(jìn)行討論：①AD=CD 時(shí)，②AD=AC時(shí)，③AC=CD時(shí)，對每一種情況分別求出∠ACD，再根據(jù)△BCD與△BAC相似，求出∠BCD，∠ACD與∠BCD的和即為∠ACB的度數(shù)； (3)由題意AC=AD=2，△BCD∽△BAC，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得CD的長. 【解析】(1) ∵∠A=40，∠B=60, ∴∠ACB=80, ∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB =

31、40 ∴∠ACD=∠A=40, ∴△ACD為等腰三角形. ∵∠DCB=∠A=40，∠CBD=∠ABC， ∴△BCD∽△BAC. ∴CD是△ABC的完美分割線. (2)當(dāng) AD=CD 時(shí)(如圖①)，∠ACD=∠A=48 ∵△BDC∽△BCA ∴∠BCD=∠A=48， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96. 當(dāng) AD=AC時(shí)(如圖②)，∠ACD=∠ADC== 66. ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD= 114. 當(dāng)

32、AC=CD時(shí)(如圖③)，∠ADC=∠A=48 ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48, ∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍去. ∴∠ACB=96或 114. (3)由已知 AC=AD=2， ∵△BCD∽△BAC, ∴, 設(shè)BD=x， ∴ 解得：, ∵x>0, ∴, ∵△BCD∽△BAC, ∴, ∴. 【解后反思】本題屬于新定義題型，對新定義題目，一定要讀懂、理解新定義的內(nèi)容.解答本題時(shí)要牢牢抓住三角形的完美分割線含義：從非等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)引一條射線把三角形分割成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)小三角形為等腰三角形，另一個(gè)小三角形與原三角形相似，還要注意分類討論思想的運(yùn)用. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定；分類討論思想；新定義題型 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.