《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第7章 立體幾何 第7節(jié) 第2課時(shí) 利用空間向量求空間角學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第7章 立體幾何 第7節(jié) 第2課時(shí) 利用空間向量求空間角學(xué)案 理 北師大版(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第2課時(shí) 利用空間向量求空間角
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第125頁(yè))
求異面直線的夾角
如圖7715,四面體ABCD中,O是BD的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.
圖7715
(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求異面直線AB與CD夾角的余弦值.
[解] (1)證明:連接OC,由CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,O是BD的中點(diǎn),知CO=,AO=1,AO⊥BD.
在△AOC中,AC2=AO2+OC2,
則AO⊥OC.
又BD∩OC=O,因此AO⊥平面BCD.
(2)如圖建立空間直角坐
2、標(biāo)系Oxyz,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),=(1,0,-1),=(-1,-,0),
所以|cos〈,〉|==.
即異面直線AB與CD夾角的余弦值為.
[規(guī)律方法] 利用向量法求異面直線夾角的步驟
(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系.
(2)求出兩直線的方向向量v1,v2.
(3)代入公式|cos〈v1,v2〉|=求解.
易錯(cuò)警示:兩異面直線夾角的范圍是θ∈,兩向量的夾角α的范圍是[0,π],當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí),就是該異面直線的夾角;當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí),其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.
3、[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·湖南五市十校3月聯(lián)考)有公共邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,則異面直線AB和CD夾角的余弦值為_(kāi)_______.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140254】
[設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2.
取BC的中點(diǎn)O,連接OA、OD,∵等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,∴OA,OC,OD兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,0,),B(0,-1,0),C(0,1,0),D(,0,0),
∴=(0,-1,-),=(,-1,0),
∴cos〈,〉===,
∴異面直線AB和CD夾角的余弦值為.]
求直線與平面的
4、夾角
(20xx·浙江高考)如圖7716,已知四棱錐PABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).
圖7716
(1)證明:CE∥平面PAB;
(2)求直線CE與平面PBC夾角的正弦值.
[解] (1)證明:如圖,設(shè)PA的中點(diǎn)為F,連接EF,F(xiàn)B.
因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PD,PA的中點(diǎn),
所以EF∥AD且EF=AD.
又因?yàn)锽C∥AD,BC=AD,
所以EF∥BC且EF=BC,
所以四邊形BCEF為平行四邊形,所以CE∥B
5、F.
因?yàn)锽F平面PAB,CE平面PAB,
所以CE∥平面PAB.
(2)分別取BC,AD的中點(diǎn)M,N.
連接PN交EF于點(diǎn)Q,連接MQ.
因?yàn)镋,F(xiàn),N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn),
所以Q為EF的中點(diǎn).
在平行四邊形BCEF中,MQ∥CE.
由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD.
由DC⊥AD,BC∥AD,BC=AD,N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD.
所以AD⊥平面PBN.
由BC∥AD得BC⊥平面PBN,
那么平面PBC⊥平面PBN.
過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線,
垂足為H,連接MH.
MH是MQ在平面PBC上的射影,
所以∠QMH是直線CE與平面PBC的夾角.
6、設(shè)CD=1.
在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=,
在△PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=,
在Rt△MQH中,QH=,MQ=,
所以sin∠QMH=.
所以,直線CE與平面PBC夾角的正弦值是.
[規(guī)律方法] (1)線面角范圍,向量夾角范圍為[0,π].
(2)線面角θ的正弦值等于斜線對(duì)應(yīng)向量與平面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值.即sin θ=.
即斜向量,n為平面法向量.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·廣州綜合測(cè)試(二))如圖7717 ,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠BAD=60°,EB⊥平面ABCD,F(xiàn)D⊥平
7、面ABCD,EB=2FD=a.
圖7717
(1)求證:EF⊥AC;
(2)求直線CE與平面ABF夾角的正弦值.
[解] (1)證明:連接BD,
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AC⊥BD.
因?yàn)镕D⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
所以AC⊥FD.
因?yàn)锽D∩FD=D,所以AC⊥平面BDF.
因?yàn)镋B⊥平面ABCD,F(xiàn)D⊥平面ABCD,
所以EB∥FD.
所以B,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.
因?yàn)镋F平面BDFE,所以EF⊥AC.
(2)法一:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閥軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
8、
可以求得A,B,
F,C(0,a,0),E.
所以=(0,a,0),=.
設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),
則即
令x=1,則平面ABF的一個(gè)法向量為n=(1,0,1).
設(shè)直線CE與平面ABF的夾角為θ,
因?yàn)椋剑?
所以sin θ=|cos〈n,〉|==.
所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為.
法二:如圖,設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
可以求得A,B,C,E,F(xiàn).
所以=.
=.
設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),
則即
令x=1,則平面ABF
9、的一個(gè)法向量為n=(1,,2).
設(shè)直線CE與平面ABF夾角為θ,
因?yàn)椋剑?
所以sin θ=|cos〈n,〉|==.
所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為.
求二面角
(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)如圖7718,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
圖7718
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角APBC的余弦值.
[解] (1)證明:由已知∠BAP=∠CD
10、P=90°,
得AB⊥AP,CD⊥PD.
因?yàn)锳B∥CD,所以AB⊥PD.
又AP∩DP=P,所以AB⊥平面PAD.
因?yàn)锳B平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為點(diǎn)F.
由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.
以F為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,||為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Fxyz.
由(1)及已知可得A,P,
B,C,
所以=,=(,0,0),
=,=(0,1,0).
設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PCB的一個(gè)法向量,則
即
所以可取n=(0,-
11、1,-).
設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PAB的一個(gè)法向量,則
即
所以可取m=(1,0,1),則cos〈n,m〉===-.
所以二面角APBC的余弦值為-.
[規(guī)律方法] 利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量,然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳(鈍)二面角.
(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·福州質(zhì)檢)如圖
12、7719(1),在等腰梯形PDCB中,PB∥DC,PB=3,DC=1,∠DPB=45°,DA⊥PB于點(diǎn)A,將△PAD沿AD折起,構(gòu)成如圖7719(2)所示的四棱錐PABCD,點(diǎn)M在棱PB上,且PM=MB.
(1) (2)
圖7719
(1)求證:PD∥平面MAC;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角MACB的余弦值.
[解] (1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)N,連接MN,
依題意知AB∥CD,∴△ABN∽△CDN,
∴==2.
∵PM=MB,
13、∴==2,
∴在△BPD中,MN∥DP.
又PD平面MAC,MN平面MAC,
∴PD∥平面MAC.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,PA平面PAD,
∴PA⊥平面ABCD.
又AD⊥AB,∴PA,AD,AB兩兩垂直.
以A為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.
依題意AP=AD=1,AB=2,又PM=MB,
∴A(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,1),M,C(1,1,0),
∴=(0,0,1),=,=(1,1,0).
∵PA⊥平面ABCD.
∴取n1==(0,0,1)為平面BAC的一個(gè)法向量.
設(shè)n2=(x,y,z)為平面MAC的法向量,
則即
令x=1,則y=-1,z=1,
∴n2=(1,-1,1)為平面MAC的一個(gè)法向量,
∴cos〈n1,n2〉===,
∴二面角MACB的余弦值為.