《高考數(shù)學 一輪復(fù)習學案訓練課件北師大版文科: 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓學案 文 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學 一輪復(fù)習學案訓練課件北師大版文科: 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓學案 文 北師大版(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第五節(jié) 橢 圓
[考綱傳真] 1.了解橢圓的實際背景,了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡單應(yīng)用.
(對應(yīng)學生用書第120頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.橢圓的定義
(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.
①若a
2、>c,則集合P為橢圓;
②若a=c,則集合P為線段;
③若a<c,則集合P為空集.
2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
圖形
性
質(zhì)
范圍
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
對稱性
對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點
頂點
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|=2c
離心
3、率
e=∈(0,1)
a,b,c的關(guān)系
a2=b2+c2
[知識拓展]
1.點P(x0,y0)和橢圓的關(guān)系
(1)點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)?+<1.
(2)點P(x0,y0)在橢圓上?+=1.
(3)點P(x0,y0)在橢圓外?+>1.
2.焦點三角形
橢圓+=1(a>b>0)上一點P(x0,y0)與兩焦點構(gòu)成的焦點三角形F1PF2中,若∠F1PF2=θ,則S△F1PF2=|PF1||PF2|·sin θ=·b2=b2tan
3.過焦點垂直于長軸的弦長
橢圓過焦點垂直于長軸的半弦長為.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論
4、的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的集合是橢圓.( )
(2)橢圓上一點P與兩焦點F1,F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a+2c(其中a為橢圓的長半軸長,c為橢圓的半焦距).( )
(3)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓.( )
(4)橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.(教材改編)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率等于,則C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+
5、=1 D.+=1
D [橢圓的焦點在x軸上,c=1.
又離心率為=,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,
故橢圓的方程為+=1.]
3.(20xx·廣東高考)已知橢圓+=1(m>0)的左焦點為F1(-4,0),則m=
( )
A.2 B.3
C.4 D.9
B [由左焦點為F1(-4,0)知c=4.又a=5,∴25-m2=16,解得m=3或-3.又m>0,故m=3.]
4.(20xx·全國卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為( )
A. B
6、.
C. D.
B [如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·,所以e==.]
5.橢圓+=1的左焦點為F,直線x=m與橢圓相交于點A,B,當△FAB的周長最大時,△FAB的面積是__________.
3 [直線x=m過右焦點(1,0)時,△FAB的周長最大,由橢圓定義知,其周長為4a=8,即a=2,
此時,|AB|=2×==3,
∴S△FAB=×2×3=3.]
(對應(yīng)學生用書第121頁)
橢圓的定義與標準方程
(1)如圖8
7、173;51所示,一圓形紙片的圓心為O,F(xiàn)是圓內(nèi)一定點,M是圓周上一動點,把紙片折疊使M與F重合,然后抹平紙片,折痕為CD,設(shè)CD與OM交于點P,則點P的軌跡是( )
圖851
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.圓
(2)已知橢圓的中心在原點,以坐標軸為對稱軸,且經(jīng)過兩點P1(,1),P2(-,-),則橢圓的方程為________. 【導(dǎo)學號:00090290】
(3)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x軸,則橢圓E
8、的方程為__________.
(1)A (2)+=1 (3)x2+y2=1 [(1)由條件知|PM|=|PF|.
∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|.
∴P點的軌跡是以O(shè),F(xiàn)為焦點的橢圓.
(2)設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
∵橢圓經(jīng)過點P1,P2,∴點P1,P2的坐標適合橢圓方程.
則
①②兩式聯(lián)立,解得
∴所求橢圓方程為+=1.
(3)不妨設(shè)點A在第一象限,設(shè)半焦距為c,
則F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).
∵AF2⊥x軸,則A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b
9、<1).
又|AF1|=3|F1B|,得=3,
設(shè)B(x0,y0),則(-2c,-b2)=3(x0+c,y0),
∴x0=-且y0=-,
代入橢圓x2+=1,得25c2+b2=9, ①
又c2=1-b2, ②
聯(lián)立①②,得b2=.
故橢圓E的方程為x2+y2=1.]
[規(guī)律方法] 1.(1)利用橢圓的定義定形狀時,一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件.
(2)當涉及到焦點三角形有關(guān)的計算或證明時,常利用勾股定理、正(余)弦定理、橢圓定義,但一定要注意|PF1|+|PF2|與|PF1|·|PF2|的整體代換.
2.求橢圓標準方程
10、的基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定位,再定量,即首先確定焦點所在的位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組,若焦點位置不確定,可把橢圓方程設(shè)為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式.
[變式訓練1] (1)與圓C1:(x+3)2+y2=1外切,且與圓C2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為________.
(2)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓C上的一點,且∠F1PF2=60°,S△PF1F2=3,則b=________.
(3)已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且
11、垂直于x軸的直線交C于A,B兩點,且|AB|=3,則C的方程為__________. 【導(dǎo)學號:00090291】
(1)+=1 (2)3 (3)+=1 [(1)設(shè)動圓的半徑為r,圓心為P(x,y),則有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.
所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,
即P在以C1(-3,0),C2(3,0)為焦點,長軸長為10的橢圓上,得點P的軌跡方程為+=1.
(2)由題意得|PF1|+|PF2|=2a,
又∠F1PF2=60°,
所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2,
12、 所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4c2,
所以3|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,
所以|PF1||PF2|=b2,
所以S△PF1F2=|PF1||PF2|sin 60°=×b2×=b2=3,所以b=3.
(3)依題意,設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0).
過點F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長|AB|=3,
∴點A必在橢圓上,∴+=1. ①
又由c=1,得1+b2=a2. ②
由①②聯(lián)立,得b2=3,a2=4.
故所求橢圓C的方程為+=1.]
橢圓的幾何性
13、質(zhì)
(1)(20xx·泉州質(zhì)檢)已知橢圓+=1的長軸在x軸上,焦距為4,則m等于( )
A.8 B.7
C.6 D.5
(2)(20xx·江蘇高考)如圖852,在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)是橢圓+=1(a>b>0)的右焦點,直線y=與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90°,則該橢圓的離心率是 ________.
圖852
(1)A (2) [(1)∵橢圓+=1的長軸在x軸上,
∴解得6<m<10.
∵焦距為4,∴c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
(2)將y=
14、代入橢圓的標準方程,得+=1,
所以x=±a,故B,C.
又因為F(c,0),所以=,=.
因為∠BFC=90°,所以·=0,
所以+2=0,即c2-a2+b2=0,將b2=a2-c2代入并化簡,得a2=c2,所以e2==,所以e=(負值舍去).]
[規(guī)律方法] 1.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析.
2.求橢圓離心率的主要方法有:(1)直接求出a,c的值,利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.
[變式訓練2] (1)已知橢圓+
15、=1的離心率為,則k的值為( )
A.-21 B.21
C.-或21 D.或-21
(2)過橢圓+=1(a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P,F(xiàn)2為橢圓的右焦點,若∠F1PF2=60°,則橢圓的離心率為( )
【導(dǎo)學號:00090292】
A. B.
C. D.
(3)(20xx·全國卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
(1)D (2)B (3)A [(1)當9>4-k>0
16、,即-5<k<4時,
a=3,c2=9-(4-k)=5+k,
∴=,解得k=.
當9<4-k,即k<-5時,a=,c2=-k-5,
∴=,解得k=-21,所以k的值為或-21.
(2)由題意,可設(shè)P.
因為在Rt△PF1F2中,|PF1|=,|F1F2|=2c,∠F1PF2=60°,所以=.又因為b2=a2-c2,所以c2+2ac-a2=0,即e2+2e-=0,解得e=或e=-,又因為e∈(0,1),所以e=.
(3)由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標為(0,0),半徑為A.
又直線bx-ay+2ab=0與圓相切,
∴圓心到直線的距離d==a,
17、解得a=b,
∴=,
∴e=====.
故選A.]
直線與橢圓的位置關(guān)系
角度1 由位置關(guān)系研究橢圓的方程與性質(zhì)
已知橢圓E:+=1(a>b>0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為.
圖853
(1)求橢圓E的離心率;
(2)如圖853,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,求橢圓E的方程.
[解] (1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到該直線的距離d==, 3分
由d=c,得a
18、=2b=2 ,解得離心率=. 5分
(2)由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.①
依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=.
易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,
代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 8分
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-,x1x2=.
由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.
從而x1x2=8-2b2. 10分
于是|AB|=|x1-x2|
==.
由|AB|=,得=,解得b2=3.
故橢圓E的方程為+=1.
19、 12分
角度2 由位置關(guān)系研究直線的性質(zhì)
(20xx·全國卷Ⅱ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,點(2,)在C上.
(1)求C的方程.
(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
[解] (1)由題意有=,+=1,
解得a2=8,b2=4. 3分
所以C的方程為+=1. 5分
(2)證明:設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
7分
將y=kx+b代入+=1,得
(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 9分
故xM==,yM=k·xM+b=.
于是直線OM的斜率kOM==-,
即kOM·k=-.
所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. 12分
[規(guī)律方法] 1.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單.
2.設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=
=(k為直線斜率).