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1、2019學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修精品資料
13二項(xiàng)式定理
§1.3.1 二項(xiàng)式定理
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)
通過(guò)分析(a+b)2的展開式,歸納得出二項(xiàng)式定理;掌握二項(xiàng)式定理的公式特征并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
1、(a+b)2=
(a1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________
(a+b)3=
(a+b)4=
2、
2、二項(xiàng)式定理的證明過(guò)程
3、(a+b)n=
4、(a+b)n的二項(xiàng)展開式中共有______項(xiàng),其中各項(xiàng)的系數(shù)______叫做二項(xiàng)式系數(shù),式中的____________叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用Tk+1表示,即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng):_____________________
5、在二項(xiàng)式定理中,若a=1,b=x,則有
(1+x)n=_______________________________________
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.用計(jì)
3、數(shù)原理分析(a+b)3的展開式,進(jìn)而探究(a+b)4的展開式,從而猜想二項(xiàng)式定理。
2.熟悉二項(xiàng)式定理中的公式特征,能夠應(yīng)用它解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。
3. 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力。
二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn):
教學(xué)重點(diǎn):二項(xiàng)式定理的內(nèi)容及應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn):二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程及內(nèi)涵
三、學(xué)習(xí)過(guò)程
(一)探究(a+b)3、(a+b)4的展開式
問(wèn)題1:(a1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)展開式中每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的?展開式有幾項(xiàng)?
問(wèn)題2:將上式中,若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,則展開式又是什么?
合作探究一:合并同類項(xiàng)后,為什么a2b的系
4、數(shù)是3?
問(wèn)題3:(a+b)4的展開式又是什么呢?
結(jié)論:(a+b)4= C a4+ C a3b+ C a2 b2+ C ab3+ Cb4
(二)猜想、證明“二項(xiàng)式定理”
問(wèn)題4:(a+b)n的展開式又是什么呢?
合作探究二: (1) 將(a+b)n展開有多少項(xiàng)?
(2)每一項(xiàng)中,字母a,b的指數(shù)有什么特點(diǎn)?
(3)字母“a”、“b”指數(shù)的含義是什么?是怎么得到的?
(4)如何確定“a”、“b”的系數(shù)?
二項(xiàng)式定理:
(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N+)
(三)歸納小結(jié):二項(xiàng)式定理的公式特征
(1)項(xiàng)數(shù):_______;
5、(2)次數(shù):字母a按降冪排列,次數(shù)由____遞減到_____;字母b按升冪排列,次數(shù)由____遞增到______;
(3)二項(xiàng)式系數(shù):下標(biāo)為_____,上標(biāo)由_____遞增至_____;
(4)通項(xiàng):Tk+1=__________;指的是第k+1項(xiàng),該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為______;
(5)公式所表示的定理叫_____________,右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式。
(四)典型例題
例1 求的展開式 (分析:為了方便,可以先化簡(jiǎn)后展開。)
例2 ①的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)及第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。
②求的展開式中含的系數(shù)。
6、
(五)當(dāng)堂檢測(cè)
1.寫出(p+q)7的展開式;
2.求(2a+3b)6的展開式的第3項(xiàng);
3.寫出的展開式的第r+1項(xiàng);
4.(x-1)10的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是( )
(A) (B) (C) (D)
答案:1.(p+q)7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.
2.T3= 2160a4b2 3. T=(-1)rC··x,4.D
課后練習(xí)與提高
1.在的展開式中,的系數(shù)為 ( )
A. B. C
7、. D.
2.已知(的展開式的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比為11∶2,則n是 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
3.展開式中的系數(shù)是
4. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為
5. 的展開式中,含項(xiàng)的系數(shù)是 .
6. 若的展開式中前的系數(shù)是9900,求實(shí)數(shù)的值。
§1.3.2 “楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)
借助“楊輝三角”數(shù)表,掌握二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性,增減性與最
8、大值。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
1、二項(xiàng)式定理:________________________________________________;
二項(xiàng)式系數(shù):______________________________________________;
2、( 1+x) n =________________________________________________;
練一練:把( a+b) n (n=1,2,3,4,5,6)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)填入課本P37的表格。
想一想:楊輝三角揭示了二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的變化情況,那么楊輝三角有何特點(diǎn)?或者說(shuō)二項(xiàng)式系
9、數(shù)有何性質(zhì)呢?
畫一畫:當(dāng)n=6時(shí),作出函數(shù)f(r)的圖象,并結(jié)合圖象分析二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
①了解“楊輝三角”的特征,讓學(xué)生償試并發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律;
?、谕ㄟ^(guò)探究,掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并能用它計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題;
二、學(xué)習(xí)重難點(diǎn):
學(xué)習(xí)重點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用;
學(xué)習(xí)難點(diǎn):楊輝三角的基本性質(zhì)的探索和發(fā)現(xiàn)。
三、學(xué)習(xí)過(guò)程
(一)、楊輝三角的來(lái)歷及規(guī)律
問(wèn)題1:根據(jù)( a+b) n (n=1,2,3,4,5,6)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)表,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
問(wèn)題2:楊輝三角揭示了二
10、項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的變化情況,那么楊輝三角有何特點(diǎn)?或者說(shuō)二項(xiàng)式系數(shù)有何性質(zhì)呢?
對(duì)于( a+b) n展開式的二項(xiàng)式系數(shù),,,…,,從函數(shù)角度看,可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r),其定義域是{0,1,2,…,n},令f(r)= ,定義域?yàn)閧0,1,2,…,n}
問(wèn)題3:當(dāng)n=6時(shí),作出函數(shù)f(r)的圖象,并結(jié)合圖象分析二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。
(2) 二項(xiàng)式系數(shù)的重要性質(zhì)
1、對(duì)稱性:二項(xiàng)展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。即=
分析:
2、增減性與最大值:二項(xiàng)式系數(shù)先增大后減小,中間取最大。
提示:(1)討論與的大小關(guān)系。 (2)討論與
11、1的大小關(guān)系。
3、各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和:( a+b) n的展開式中的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n
分析:賦值法的應(yīng)用。
四、典型例題(性質(zhì)4)
試證:在(a+b)n的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。
分析:奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為+++…,
偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為+++…,
由于(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn中的a,b可以取任意實(shí)數(shù),因此我們可以通過(guò)對(duì)a,b適當(dāng)賦值來(lái)得到上述兩個(gè)系數(shù)和。
五、當(dāng)堂檢測(cè)
1、已知=a,=b,那么=__________;
2、(a+b)n的各二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是____________;
12、
3、++…+=________;
4、__________;
5、證明:+++…+ =2n-1 (n是偶數(shù)) ;
課后練習(xí)與提高
1、在(a+b)20的展開式中,與第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是( )
(A)第15項(xiàng) (B) 第16項(xiàng) (C) 第17項(xiàng) (D) 第18項(xiàng)
2、(1—x)13的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是( )
(A)第6項(xiàng) (B) 第7項(xiàng) (C) 第8項(xiàng) (D) 第9項(xiàng)
3若與同時(shí)取得最大值,則m=_____________
4、已知(1—2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7
則a1+a2+…+a7=__________ a1+a3+ a5+a7=__________ a0+a2+ a4+a6=__________
5、已知()n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù).