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高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7節(jié) 正弦定理和余弦定理學(xué)案 理 北師大版

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1、 第七節(jié) 正弦定理和余弦定理 [考綱傳真] (教師用書獨具)掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題. (對應(yīng)學(xué)生用書第61頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ===2R.(R為△ABC外接圓半徑) a2=b2+c2-2bc·cos A; b2=c2+a2-2ca·cos B; c2=a2+b2-2ab·cos C 變形形式 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3)sin

2、A=,sin B=,sin C= cos A=; cos B=; cos C= 2.在△ABC中,已知a、b和A時,解的情況如下: A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 3.三角形常用面積公式 (1)S=a·ha(ha表示邊a上的高); (2)S=absin C=acsin B=bcsin A; (3)S=r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑). [知識拓展] 1.在△ABC中,A>B?a>b?sin A>sin B. 2.合比定

3、理:==2R. 3.在銳角三角形中①A+B>;②若A=,則<B,C<. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)在△ABC中,若A>B,則必有sin A>sin B.(  ) (2)在△ABC中,若b2+c2>a2,則△ABC為銳角三角形.(  ) (3)在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,則B=45°或135°.(  ) (4)在△ABC中,=.(  ) [解析] (1)正確.A>B?a>b?sin A>sin B. (2)錯誤.由cos A=>0知,A為銳角,但△ABC

4、不一定是銳角三角形. (3)錯誤.由b<a知,B<A. (4)正確.利用a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可知結(jié)論正確. [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,則sin B=(  ) A.    B. C. D.1 B [根據(jù)=,有=,得sin B=.故選B.] 3.(20xx·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,則b=(  ) A. B. C.2 D.3 D [由余弦定理得5=b2+4-2×b

5、×2×, 解得b=3或b=-(舍去),故選D.] 4.在△ABC中,a=3,b=2,cos C=,則△ABC的面積為________. 4 [∵cos C=,0<C<π, ∴sin C=, ∴S△ABC=absin C =×3×2×=4.] 5.(教材改編)在△ABC中,acos A=bcos B,則這個三角形的形狀為________. 等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=, 所以這個三角形為等腰三角

6、形或直角三角形.] (對應(yīng)學(xué)生用書第62頁) 利用正、余弦定理解三角形  (20xx·廣州綜合測試(二))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcos C+bsin C=a. (1)求角B的大?。? (2)若BC邊上的高等于a,求cos A的值. [解] (1)因為bcos C+bsin C=a, 由正弦定理得sin Bcos C+sin Bsin C=sin A. 因為A+B+C=π, 所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin(B+C). 即sin Bcos C+sin Bsin C=sin Bcos C+cos Bs

7、in C. 因為sin C≠0,所以sin B=cos B. 因為cos B≠0,所以tan B=1. 因為B∈(0,π),所以B=. (2)法一:設(shè)BC邊上的高線為AD,則AD=a. 因為B=,則BD=AD=a,CD=a. 所以AC==a,AB=a. 由余弦定理得cos∠BAC==-. 所以cos∠BAC的值為-. 法二:設(shè)BC邊上的高線為AD,則AD=a. 因為B=,則BD=AD=a,CD=a. 所以AC==a,AB=a. 由正弦定理得=, 則sin∠BAC===. 在△ABC中,由AB<AC,得C<B=, 所以∠BAC為鈍角. 所以cos∠BAC=-=-.

8、 所以cos∠BAC的值為-. [規(guī)律方法] 1.正弦定理是一個連比等式,只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的. 2.(1)運(yùn)用余弦定理時,要注意整體思想的運(yùn)用. (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角,求該三角形的其它邊角的問題時,首先必須判斷是否有解,如果有解,是一解還是兩解,注意“大邊對大角”在判定中的應(yīng)用. (3)重視在余弦定理中用均值不等式,實現(xiàn)a2+b2,ab,a+b三者的互化.) [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=_______

9、_. (2)(20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=________. (1) (2)60° [(1)在△ABC中,∵cos A=,cos C=, ∴sin A=,sin C=,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=. 又∵=,∴b===. (2)法一:由2bcos B=acos C+ccos A及正弦定理, 得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A. ∴2sin Bcos B=sin(

10、A+C). 又A+B+C=π,∴A+C=π-B. ∴2sin Bcos B=sin(π-B)=sin B. 又sin B≠0,∴cos B=.∴B=. 法二:∵在△ABC中,acos C+ccos A=b, ∴條件等式變?yōu)?bcos B=b,∴cos B=. 又0<B<π,∴B=.] 判斷三角形的形狀  (1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:79140131】 A.銳角三角形    B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定 (2)在△ABC中,角A,B,

11、C的對邊分別為a,b,c,若=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,則△ABC的形狀為(  ) A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形 C.等邊三角形 D.鈍角三角形 (1)B (2)C [(1)由已知及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, 即sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sin A, ∴sin A=1,∴A=.故選B. (2)∵=,∴=,∴b=c. 又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,∴b2+c2-a2=bc, ∴cos A===. ∵A∈(0,π),∴A=,∴△ABC是等邊三角形.] ([規(guī)律方法] 判定三角形形狀的

12、兩種常用途徑 (1)化角為邊:利用正弦定理、余弦定理化角為邊,通過代數(shù)恒等變換,求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. (2)化邊為角:通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. 易錯警示:無論使用哪種方法,都不要隨意約掉公因式;要移項提取公因式,否則會有漏掉一種情況的可能. [跟蹤訓(xùn)練] 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2sin Acos B=sin C,那么△ABC一定是(  ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 B [法一:由已知得2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=si

13、n Acos B+cos Asin B,即sin(A-B)=0,因為-π<A-B<π,所以A=B. 法二:由正弦定理得2acos B=c,再由余弦定理得2a·=c?a2=b2?a=b.] 與三角形面積有關(guān)的問題  (20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b. [解] (1)由題設(shè)及A+B+C=π得sin B=8sin2, 故sin B=4(1-cos B). 上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0

14、, 解得cos B=1(舍去),或cos B=. 故cos B=. (2)由cos B=得sin B=, 故S△ABC=acsin B=ac. 又S△ABC=2,則ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4. 所以b=2. [規(guī)律方法] 三角形面積公式的應(yīng)用方法 (1)對于面積公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式. (2)與面積有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化,所以解決此類問題通常圍繞某個已知角

15、,將余弦定理和面積公式都寫出來,尋求突破. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx·深圳二調(diào))已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,2b=asin B+bcos A,c=4. (1)求A; (2)若D是BC的中點,AD=,求△ABC的面積. 【導(dǎo)學(xué)號:79140132】 [解] (1)由2b=asin B+bcos A及正弦定理, 又0<B<π, 可得2=sin A+cos A, 即有sin=1, ∵0<A<π,∴<A+<, ∴A+=,∴A=. (2)設(shè)BD=CD=x,則BC=2x, 由余弦定理得cos∠BAC==, 得4x2=b2-4b+16.① ∵∠ADB=180°-∠ADC, ∴cos∠ADB+cos∠ADC=0, 由余弦定理得+=0, 得2x2=b2+2.② 聯(lián)立①②,得b2+4b-12=0,解得b=2(舍負(fù)), ∴S△ABC=bcsin∠BAC=×2×4×=2.

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