《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識點(diǎn)031圓的基本性質(zhì)A》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)真題類編 知識點(diǎn)031圓的基本性質(zhì)A（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 一、選擇題 1. （ 2016山東聊城，9，3分）如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是弧CD上一點(diǎn)，且，連接CF并延長交AD的延長線于點(diǎn)E，連接AC，若∠ABC=105，∠BAC=25，則∠E的度數(shù)為 A、45 B、50 C、55 D、60 【答案】B 【逐步提示】第一步先利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)求出ACD的度數(shù)，第二步利用等弧所對的圓周角相等求出∠DCE，第三步利用三角形的一個外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和求出∠E的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解：因?yàn)?，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，所以∠ADC=180-∠ABC=180-

2、105=75，又因?yàn)椋浴螪CE=∠BAC=25，又因?yàn)椤螦DC=∠DCE+∠E，所以∠E=∠ADC-∠DCE=75-25=50，故選擇B . 【解后反思】本題考查了圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，并結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系解決問題．等弧所對的圓周角相等；圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；三角形的一個外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和. 【關(guān)鍵詞】圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì) ；圓心角、圓周角定理；與三角形有關(guān)的線段、角；； 2. c（ 2016山東泰安，10，3分）如圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，且四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC交圓O于點(diǎn)F，則∠BAF等于（ ）

3、A O C B F 第10題圖 A．12．5 B．15 C．20 D．22．5 【答案】B 【逐步提示】本題考查了垂徑定理及等邊三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圓的有關(guān)性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)判定三角形的形狀．連接OB，由四邊形ABCO是平行四邊形，可知，再由半徑相等可得△ABO為等邊三角形，由OF⊥OC可得OF⊥AB，從而知道∠BOF的度數(shù)，利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可以計算出∠BAF的度數(shù)． 【詳細(xì)解答】解：連接OB，∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴，∵OA＝OB＝OC，∴AB＝OB＝OA，∴△

4、ABO為等邊三角形，∴∠AOB＝60．又∵OF⊥OC，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOB＝30，∴∠BAF＝∠BOF＝15．故選擇B . A O C B F 第10題圖 【解后反思】(1)圓周角定理能有效地把圓心角與圓周角聯(lián)系起來即在同圓或等圓中圓周角的度數(shù)等于同弧或等弧所對的圓心角的一半；(2)圓中任意兩條半徑和弦組成的三角形都是等腰三角形．此題利用平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，并結(jié)合圓中半徑都相等，得到一個等邊三角形，從而求得一個60的角，這是解決問題的關(guān)鍵所在． 【關(guān)鍵詞】平行四邊形的性質(zhì)；等邊三角形；圓心角、圓周角定理． 3. （ 2016山東泰安，

5、17，3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠B＝30，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于點(diǎn)D，連接AE，則的值等于（ ） O C A B E D 第17題圖 A．1： B．1： C．1：2 D．2：3 【答案】D 【逐步提示】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握有關(guān)的性質(zhì)及圖形之間的聯(lián)系．因?yàn)榭梢灾馈鰽DE∽△CDB，面積比就等于相似比的平方．所以求出相似比即可．因?yàn)锳B是⊙O的直徑，∠B＝30，可知BC＝ABcos30，再找出AE

6、與AB的關(guān)系就可以了．因?yàn)镃E平分∠ACB，連接BE可知△AEB為等腰直角三角形，AE＝ABcos45．這樣就知道了，問題解決． O C A B E D 第17題圖 【詳細(xì)解答】解：連接BE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠AEB＝90，在Rt△ABC中，∠B＝30，∴BC＝ABcos30＝．∵ CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝45，∵∠BCE＝∠BAE，∴∠BAE＝45，∴AE＝ABcos45＝，∴＝，∵∠BCE＝∠BAE，∠ADE＝∠CDB，∴△ADE∽△CDB，∴ 故答案為D . 【解后反思】求兩個三角形的面積關(guān)系首先判斷兩個三

7、角形是否相似，如果相似可以用相似三角形的性質(zhì)：兩個相似三角形面積比等于相似比的平方去解決．此題解題的關(guān)鍵是利用直徑所對的圓周角是直角得到兩個直角三角形，然后通過特殊角的三角形函數(shù)值找到線段AE與BC的等量關(guān)系． 【關(guān)鍵詞】圓周角定理 ；特殊角的三角函數(shù)值；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì) 4. （ 2016山東濰坊，9，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點(diǎn)A（8，0）．與y軸分別交于點(diǎn)B（0，4）與點(diǎn)C（0，16）．則圓心M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是（ ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【逐步提示】本題考查了垂徑定理及圖形與坐標(biāo)，解題的關(guān)

8、鍵是作出輔助線，利用勾股定理進(jìn)行解答．過點(diǎn)M作MN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，連接OM、BM，先利用垂徑定理求出BN的長度，再利用勾股定理求出⊙M的半徑，然后利用勾股定理求OM的長度. 【詳細(xì)解答】解：過點(diǎn)M作MN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，連接OM、BM， 由A（8，0）、B（0，4）、C（0，16）可得：OA=8，BC=16－4=12. ∴MN=OA=8，BN=BC=6 ∴在Rt△MNB中，BM=，即⊙M的半徑為10. ∴ON=10. 在Rt△OMN中， . 故選擇D . 【解后反思】垂徑定理與勾股定理聯(lián)系密切，解此類題時需注意構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行解答. 【關(guān)鍵詞】

9、垂徑定理；勾股定理；平面直角坐標(biāo)系； 5. （ 2016山東省煙臺市，10，3分）如圖，Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點(diǎn)與0刻度線的一端重合，∠ABC=40，射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動，與量角器外沿交于點(diǎn)D.若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是（ ） 【答案】D 【逐步提示】由于不明確等腰三角形的邊和腰，所以要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)BC為底邊時，當(dāng)BC為腰時，分別求出∠BCD的度數(shù)，即可求解. 在求解過程中要注意：點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，所以點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)等于2∠BCD的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解：∵∠AC

10、B=90，∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上. 分兩種情況進(jìn)行討論： 當(dāng)BC為底邊時，∠BCD=∠ABC=40， ∴點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是402=80， 當(dāng)BC為腰時，∠BCD==70， ∴點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是702=140， 故選擇D . 【解后反思】解此題的關(guān)鍵是掌握圓心角、圓周角定理和等腰三角形的定義和性質(zhì)． 1.圓周角定理的推論：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半． 2.已知頂角求底角的方法：底角＝． 3.解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角或圓心角，然后利用圓周角定理以及推論求解，特別地，當(dāng)有直徑

11、這一條件時，往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一性質(zhì)；或是當(dāng)有直角時，往往要用到90的圓周角所對的斜邊是直徑.． 4.沒有明確等腰三角形的底或腰時，一定要注意分類討論．分類討論是一種重數(shù)學(xué)思想，在研究數(shù)學(xué)問題時，常常需要通過分類討論解決問題.分類要依據(jù)一個標(biāo)準(zhǔn)，且要做到不重不漏. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形；圓周角；??；分類討論思想； 6.(2016浙江杭州，8，3分)如圖，已知AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B在圓周上(不與A．C重合)，點(diǎn)D在AC的延長線上，連結(jié)BD交⊙O于點(diǎn)E．若∠AOB＝3∠ADB，則( ) A．DE＝EB B．DE＝EB C．DE＝DO

12、 D．DE＝OB 第8題圖 第7題圖 【答案】D． 【逐步提示】本題考查了圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)與判斷，解題的關(guān)鍵是充分利用半徑相等、等腰三角形的兩底角相等及等角對等邊等有關(guān)性質(zhì)．由四個選項(xiàng)中都是線段DE與相關(guān)線段的大小比較，且題目中條件為角之間的倍數(shù)關(guān)系，這樣就聯(lián)想到通過三角形之間的邊角關(guān)系來探索相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系了：不妨連接OE，首先由OB＝OE，得到∠B＝∠OEB；再由三角形的外角性質(zhì)，得到∠AOB＝∠B＋∠D，∠OEB＝∠EOD＋∠D，加上已知條件∠AOB＝3∠ADB，就不難推導(dǎo)出∠DOE＝∠D，最后由等角對等邊，得到DE＝EO＝OB． 【解析】連接OE，如下圖．

13、 ∵OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB． ∵∠AOB＝∠B＋∠D，∠OEB＝∠EOD＋∠D，∠AOB＝3∠ADB， ∴∠B＝∠OEB＝2∠D． ∴∠DOE＝∠D． ∴DE＝EO＝OB． 故選擇D． 【解后反思】本題是一道探究題，由兩個角之間的3倍關(guān)系去探索線段DE與圖中相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系．如何充分利用已知條件與圖形中隱含的條件，是解題的關(guān)鍵．連接OE后，就容易利用圓的半徑相等，加上等腰三角形的性質(zhì)與判定定理及三角形的外角性質(zhì)，得到圖中兩組相等的角及這兩組角的對邊也相等的結(jié)論，從而就探究出DE與圓的半徑相等的正確結(jié)論了． 【關(guān)鍵詞】圓的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)和判定；三角形的外角性

14、質(zhì) 7.(2016浙江金華，9，3分)足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門AB的張角大小時，張角越大，射門越好.如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D,E均在格點(diǎn)上,球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在( ) （第9題圖） A E C D B A.點(diǎn)C B.點(diǎn)D或點(diǎn)E C.線段DE(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn) D.線段CD(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn) jscm 【答案】C 【逐步提示】認(rèn)真審題確定解題思路，過A．B．D三點(diǎn)作圓，可以根據(jù)圓內(nèi)角、圓周角及圓外角的性質(zhì)確定各射點(diǎn)到球門AB的張角，比較各張角的大小，確定答

15、案． 【解析】連接EB．AD．DB．AC．CB，作過點(diǎn)A．B．D的圓，可以確定點(diǎn)E在圓上，點(diǎn)C在圓外，根據(jù)圓周角及圓外角的性質(zhì)可以確定∠AEB=∠ADB>∠ACB,所以最好的射點(diǎn)是線段DE(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn)，故選擇C. 【解后反思】解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造圓，然后根據(jù)圓周角、圓內(nèi)角及圓外角的性質(zhì)確定各張角的大小，進(jìn)而得出結(jié)論． 【關(guān)鍵詞】圓周角；“網(wǎng)格”數(shù)學(xué)題型 8.(2016淅江麗水，10，3分)如圖，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圓，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E，若BC=4,AD=，則AE的長是 A.3 B.2 C.1 D.1.2 【答案】 【逐步提示】

16、確定AC=BC，△CBE∽△DAE，根據(jù)相似比判斷各選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)是否正確． 【解析】由題意得AC=BC=4,BD=，△CBE∽△DAE，所以AE：BE=DE：CE=AD：CB=：4=，所以BE˙DE=AE˙CE，若AE=3,則BE=15>,錯誤；若AE=2,則BE=10>,錯誤；若AE=1,則BE=5,DE=,CE=4-1=3,此時滿足BE˙DE=AE˙CE，故AE=1；若AE=1.2,則BE=6>,錯誤,故選擇C. 【解后反思】根據(jù)題意確定圖形中各線段間的關(guān)系，然后根據(jù)已知條件對所給選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證得出正確的結(jié)論． 【關(guān)鍵詞】圓；相似三角形的性質(zhì)；驗(yàn)證法；； 9.（2016四川

17、達(dá)州，7，3分）如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0，2)，B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tan∠OBC為 第7題圖 A. B.2 C. D. 【答案】C 【逐步提示】本題主要考查了圓中有關(guān)計算.解題的關(guān)鍵是把∠OBC的正切值轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解．解題是：如圖，連接CD，則CD是⊙A的直徑，且∠OBC＝∠ODC，在Rt△OCD中可求得tan∠ODC. 【詳細(xì)解答】解：連接CD，∵∠COD=90，∴CD是⊙A的直徑，∠OBC＝∠ODC，在Rt△OCD中，OD==4，∴tan∠ODC=＝故選擇C. 【解后反思】解答這類問題時，往往將坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的

18、長度，進(jìn)而化歸到直角三角形中，應(yīng)用三角函數(shù)定義求得三角函數(shù)值． 求銳角三角函數(shù)的方法：（1）直接定義法；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）借助三角函數(shù)關(guān)系求值． 【關(guān)鍵詞】圓周角定理及推論；三角函數(shù) 10. （ 2016四川樂山，7，3分）如圖4，C、D是以線段AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn)，若CA=CD，且∠ACD=40，則∠CAB= ( )． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B． 【逐步提示】欲求∠CAB，在Rt△ABC中，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90，所以只需知道∠ABC的度數(shù)，在⊙O 中，∠ABC=∠ADC，這樣在等腰三角形ACD中，由∠A

19、CD=40可得解． 【詳細(xì)解答】解：∵CA=CD，并且∠ACD=40，∴∠ADC=70．在⊙O中，∵AB為直徑，∠ACB=90，∵∠ABC與∠ADC是⊙O中的圓周角，∴∠ABC=∠ADC=70，∴∠CAB=∠ACB-∠ABC= 90-70=20，故選擇B． 【解后反思】對于圓的有關(guān)性質(zhì)的考查，一般會將圓周角、圓心角，弧、弦、弦心距等量之間的關(guān)系合并考查，解題的關(guān)鍵是明確相關(guān)性質(zhì)．本題涉及到的有：①在同圓（或等圓）中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等；②直徑其所對的圓周角是90． 【關(guān)鍵詞】等腰三角形性質(zhì)；圓周角定理 11. （201

20、6四川省自貢市，5，4分）如圖，⊙O中，弦AB與CD交于點(diǎn)M，∠A=45，∠AMD=75，則∠B的度數(shù)是 A．15 B．25 C．30 D．75 【答案】C 【逐步提示】∠B為圓周角，可以考慮將其轉(zhuǎn)移，再利用三角形的內(nèi)外角關(guān)系求解即可. 【詳細(xì)解答】解：∵∠A=45，∠AMD=75，∴∠C=30，∴∠B=30，故選擇C. 【解后反思】求角度數(shù)問題，通常手段就是轉(zhuǎn)移和分解，本題在第一步是將角分解求出∠C，再利用轉(zhuǎn)移的方法求出∠B. 【關(guān)鍵詞】三角形的內(nèi)角和；圓心角、圓周角定理 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19

21、. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1. .（ 2016山東青島，11，3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C , D是⊙O上的兩點(diǎn)， 若∠BCD = 28 ,則∠ABD= . 【答案】62 【逐步提示】∠ABD和∠ACD都是弧AD所對的圓周角，故只要求出∠ACD的度數(shù)即可； 根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”可知∠ACB＝90，進(jìn)而由∠BCD的度數(shù)可求得∠ACD的度數(shù)，問題得解. 【詳細(xì)解答】解：

22、∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90.∵∠BCD=28，∴∠ACD＝90-28=62，∴∠ABD＝62，故答案為62. 【解后反思】與圓周角有關(guān)的知識點(diǎn)有：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是圓的直徑；同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角等于圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】 圓周角；圓周角定理 2. （ 2016山東省棗莊市，15，4分）如圖，在半徑為3的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，連接AC，BD，若AC＝2，則tan D＝ ． A B D C O E 【答案】 【逐步提示】本題考查了有關(guān)圓周角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用直徑所對圓周角為

23、直角及同弧所對圓周角相等把∠D與直角三角形聯(lián)系起來．連接BC，利用直徑所對圓周角為直角，解Rt△ABC，然后利用同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得tan D的值． 【詳細(xì)解答】解：連接BC，∵AB為⊙O直徑，∠ACB＝90，又∵AB＝2r＝6，∴BC＝＝＝，∵＝，∴∠D＝∠A，∴tan D＝tan A＝＝＝ ，故答案為 . A B D C O E 【解后反思】在圓中解決與角有關(guān)的問題時，常用的是弧、弦、圓心角的對應(yīng)關(guān)系和圓周角定理，從而實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角、圓周角與圓周角的互換．若如涉及到三角函數(shù)，通常利用直徑所對圓周角為直角，或構(gòu)造垂徑定理三角形求解． 【

24、關(guān)鍵詞】 圓心角、圓周角定理；銳角三角函數(shù)值的求法 3. (2016重慶A，15，4分)如圖，OA，OB是⊙O的半徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC. 若∠AOB=120，則∠ACB=_______度. 【答案】60 【逐步提示】∠AOB與∠ACB是同弧()所對的圓心角和圓周角，則∠ACB=∠AOB. 【解析】∵∠AOB=120，∠AOB所對的弧為，所對的圓周角為∠ACB，∴∠ACB=∠AOB=120=60. 故答案為60. 【解后反思】在圓中，同弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理 4. (2016重慶B，15，4分

25、)如圖，CD是⊙O的直徑，若AB⊥CD，垂足為B，∠OAB=40，則∠C等于　　度． 【答案】25 【逐步提示】利用直角三角形的兩個銳角互余，由∠OAB的度數(shù)可求得∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系求解． 【解析】∵AB⊥CD，∠OAB=40，∴∠AOB=50. ∵∠C與∠AOB分別為所對的圓周角和圓心角，∴∠C=∠AOB=25. 故答案為25． 【解后反思】在圓中，求角的度數(shù)時，首先要考慮要求的角是圓周角還是圓心角，再根據(jù)圓心角、圓周角的性質(zhì)定理求解. 在同圓中，同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半. 【關(guān)鍵詞】三角形的內(nèi)角和；圓心角、圓周角定理

26、 5. （ 2016四川省巴中市，16，3分）如圖，∠A是⊙O的圓周角，∠OBC=550，則∠A= . 【答案】350. 【逐步提示】本題考查了圓心角、圓周角定理及其推論，解題的關(guān)鍵是理解并能熟練運(yùn)用圓心角、圓周角定理及其推論，在⊙O中，弧BC所對的圓心角和圓周角分別是∠BOC和∠BAC，在△BOC中，OB=OC，由∠OBC=550，可以求得圓心角∠BOC的度數(shù)，從而求得圓周角∠A的度數(shù). 【詳細(xì)解答】解：∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=550，∴∠BOC=700 ， ∴∠A=∠BOC=350，故答案為350 . 【解后反思】解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計算時，一般

27、先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理； 6. （ 2016四川省成都市，23，4分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AH⊥BC于點(diǎn)H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半徑OC＝13，則AB＝ ． H A O C B M H A O C B 【答案】． 【逐步提示】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是利用直徑所對圓周角為直角及同弧所對圓周角相等，構(gòu)造相似三角形．延長CO交⊙O于點(diǎn)E，連接AM，證明△A

28、MC∽△HBA，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的值． 【詳細(xì)解答】解：延長CO交⊙O于點(diǎn)M，連接AM．∵CM是⊙O的直徑，∴∠MAC＝90，∵AH⊥BC，∴∠MAC＝∠AHB＝ 90，又∵∠M＝∠B，∴△AMC∽△HBA，∴＝，∵CM＝2OC＝26，即＝，∴AB＝＝． 【解后反思】在有關(guān)圓的問題中，有直徑通常作直徑所對的圓周角，構(gòu)造直角三角形；有弧、弦中點(diǎn)，通常連弧、弦中點(diǎn)與圓心，應(yīng)用垂徑定理；有切線，連過切點(diǎn)的半徑． 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理 ；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì) 7. （ 2016四川南充，15，3分）如圖是由兩個長方形組成的工件平面圖(單位，mm)

29、，直線l是它的對稱軸，能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是 mm. 【答案】50 【逐步提示】本題考查的圓內(nèi)接四邊形，是垂徑定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答． 根據(jù)已知條件得到CM=30，AN=40，根據(jù)勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到結(jié)論． 【詳細(xì)解答】解：設(shè)圓心為O,由題意知，點(diǎn)O在l上。 連接AO，CO， ∵直線l是它的對稱軸， ∴CM=30，AN=40， ∵CM2+OM2=AN2+ON2， ∴302+OM2=402+（70﹣OM）2， 解得：OM=40， ∴OC= =50， ∴能完全覆蓋這個平面圖形的

30、圓面的最小半徑是50mm． 故答案為：50． 【解后反思】垂徑定理和勾股定理在解決圓的計算問題時，經(jīng)常結(jié)合起來使用，一般需要先作輔助線構(gòu)造出直角三角形． 【關(guān)鍵詞】 勾股定理；垂徑定理；構(gòu)造法 8 （ 2016四川省雅安市，16，3分）如圖，在△ABC中，AB =AC = 10，以 AB 為直徑的⊙0與BC交與點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連OD交BE于點(diǎn)M，且MD=2，則BE的長為 . 【答案】8 【逐步提示】本題考查了等腰三角形性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用垂徑定理求出BM的長. 由題意，可得OD平行于AC,即OD垂直BE,在Rt△OB

31、M中求得BM的長，即可求出BE的長. 【詳細(xì)解答】解：∵AB =AC=10，∴∠ABC=∠C,∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵AB為⊙O的直徑，∴BE⊥AC,∴OD⊥BE,∴BM=ME,∵M(jìn)D=2，∴OM=OD-MD=5-2=3，∴BM=,∴BE=2BM=8，故答案為 8 . 【解后反思】圓中涉及弦長的計算，往往構(gòu)造半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形進(jìn)行求解. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì) ；平行線的判定；平行線的性質(zhì) ；勾股定理；垂徑定理；圓心角、圓周角定理 9. （ 2016四川省宜賓市，13，3分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點(diǎn)P(1,1)為圓

32、心、為半徑作圓，則該圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 . 【答案】(0，3) 、（0，-1） 【逐步提示】如圖，圓與y軸有兩個交點(diǎn)，兩個交點(diǎn)間的距離即是圓的弦AB的長.根據(jù)垂徑定理可求出半弦長AC及BC，由于點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，1）可證四邊形ODEC是正方形，DE=CE=CO=OD=1.由圖知OA=AC+OC,OB=BC-CO,兩交點(diǎn)坐標(biāo)可求. 【詳細(xì)解答】解：如圖，作EC⊥y軸于點(diǎn)C，ED⊥x軸于點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，1），所以ED=CE=OD=OC=1.在直角三角形AEC中，CE=1,AE=,所以AC=,所以O(shè)A=AC+CO=3,OB=BC-CO=1,所以點(diǎn)A的

33、坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-1）.故答案為：（0，3），（0，-1）. 【解后反思】這是垂徑定理在直角坐標(biāo)系內(nèi)的應(yīng)用.關(guān)鍵要結(jié)合圖象找出反應(yīng)坐標(biāo)的線段及求出線段的長度.易錯點(diǎn)是忽視點(diǎn)的坐標(biāo)的符號及寫錯橫、縱坐標(biāo)的位置. 【關(guān)鍵詞】 直角坐標(biāo)系；點(diǎn)的坐標(biāo)；垂徑定理及應(yīng)用 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三

34、、解答題 1. ．(2016山東臨沂，23，9分) 如圖，A，P，B，C是圓上的四個點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60，AP，CB的延長線相交于點(diǎn)D． (1)求證：△ABC是等邊三角形； (2)若∠PAC=90，AB=，求PD的長． 【逐步提示】(1)由圓周角定理得出∠ABC=∠APC=∠CPB=∠BAC=60，再由等腰三角形的判定得出△ABC是等腰三角形，進(jìn)一步得出△ABC是等邊三角形．(2)由∠PAC=90，∠ACB=60，可得∠D=30；由直角三角形的性質(zhì)可得DC的長，得出BD的長；由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠PBC=90，則∠PBD=90；在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的

35、長． 【詳細(xì)解答】解：(1)證明：∵A，P，B，C是圓上的四個點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60， ∴∠ABC=∠APC，∠CPB=∠BAC． 又∵∠APC=∠CPB=60， ∴∠ABC=∠BAC=60， ∴AC=BC，且∠BAC=60， ∴△ABC是等邊三角形．………………………………………………4分 (2)解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60，AC=AB=BC=． ∵∠PAC=90，∴∠D=30． ∴DC=2AC=， ∴BD=．………………………………………………………6分 ∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，∠PAC=90， ∴∠PBC=90，∴∠PBD=90．

36、 在Rt△PBD中， PD===4．………………………………………………9分 【解后反思】(1)圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角相等；(2)等邊三角形的判定：①三個角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形． 【一題多解】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60，AC=AB=BC=． ∵∠PAC=90，∴∠D=30． ∴DC=2AC=，AD=6， ∴BD=． ∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，∠PAC=90， ∴∠PBC=90，∴∠PBD=90． 在Rt△PBD和Rt△CAD中，∠D是公共角， ∴Rt△PBD∽Rt△CAD， ∴=， 即=，

37、 ∴PD=4． 【關(guān)鍵詞】圓周角定理；等邊三角形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形 2. （ 2016山東濰坊，21，8分）正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，如圖所示，在劣弧上取一點(diǎn)E，連接DE、BE，過點(diǎn)D作DF∥BE交⊙O于點(diǎn)F，連接BF、AF，且AF與DE相交于點(diǎn)G. 求證：（1）四邊形EBFD是矩形； （2）DG=BE. 【逐步提示】本題是一道圓與四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用圓的基本性質(zhì)得到題目所需的條件，再進(jìn)行證明. （1）要證明四邊形BEDF是矩形，需證明有三個角是直角，先根據(jù)同弧所對的圓周角相等及正方形的性質(zhì)，得到∠BED=∠BFD=90，再根據(jù)兩

38、直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得第三個直角即可.（2）根據(jù)圓周角與它所對弧的關(guān)系求得∠AFD=45，則△DFG為等腰直角三角形，再根據(jù)矩形的對邊相等得到BE=DG. 【詳細(xì)解答】證明：（1）∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴∠BED=∠BAD=90，∠BFD=∠BCD=90， 又∵DF∥BE， ∴∠EDF+∠BED=180， ∴∠EDF=90， ∴四邊形EBFD是矩形. （2）∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴的度數(shù)是90， ∴∠AFD=45， 又∵∠GDF=90， ∴∠DGF=∠DFG=45， ∴DG=DF， 又∵在矩形EBFD中，BE=DF， ∴BE=DG. 【解后反思

39、】看到求與圓有關(guān)的角，應(yīng)考慮如下幾點(diǎn)（1）同弧或等弧所對的圓周角相等；（2）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；（3）圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半（4）圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)等。 【關(guān)鍵詞】 圓的有關(guān)性質(zhì)；圓周角定理；矩形的判定；正方形的性質(zhì) 3. （2016山東淄博，23，9分）已知，點(diǎn)M是二次函數(shù)y=ax2(a＞0)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，），直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)M，F(xiàn)在同一個圓上，圓心Q的縱坐標(biāo)為. （1）求a的值； （2）當(dāng)O，Q，M三點(diǎn)在同一條直線上時，求點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo)； （3）當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N. 求

40、證：MF=MN+OF. 【逐步提示】本題考查二次函數(shù)，圓，勾股定理，垂徑定理，數(shù)形結(jié)合思想，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識，并能據(jù)題意畫出有關(guān)圖形，能數(shù)形結(jié)合地解決問題. （1）由垂徑定理的逆定理，知圓心Q在弦OF的垂直平分線上. （2）點(diǎn)Q為OM的中點(diǎn)，由此可先得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求點(diǎn)Q的坐標(biāo). （3）設(shè)M（n，n2）（n＞0），則N（n，0），利用勾股定理求出MF即可解決問題． 【詳細(xì)解答】解：（1）圓心Q的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為， ∴=1. 解得a=1. （2）由（1）知二次函數(shù)的解析式為y= x2. 當(dāng)O，Q，M三點(diǎn)在同一條直線上時，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為. 將y=代入y

41、= x2，得x=. ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)或(－，). 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)或(－，). （3）設(shè)M(n，n2)(n＞0)，∴N(n，0). ∵F(0，)，∴MN+OF= n2+. MF== n2+. ∴MF=MN+OF． 【解后反思】知道圓心在任意弦的垂直平分線上是解決（1）題的關(guān)鍵；知道圓心是直徑的中點(diǎn)是解（2）的關(guān)鍵；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離是解決（3）題的關(guān)鍵. 【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)，圓，勾股定理，垂徑定理，數(shù)形結(jié)合思想 4. （ 2016四川省成都市，20，10分）如圖在Rt△ABC中，∠ABC＝90，以CB為半徑作⊙C，交AC于點(diǎn)D，交AC的延長線于點(diǎn)

42、E，連接BD、BE． ⑴求證：△ABD∽△AEB； ⑵當(dāng)＝時，求tanE； ⑶在⑵的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點(diǎn)F，若AF＝2，求⊙C的半徑． A C E B F D 【逐步提示】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識的綜合應(yīng)用．⑴利用直徑所對圓周角是直角，求得∠DBE＝∠ABC＝90，然后通過∠ABD＝∠CBE，∠E＝∠CBE，得到∠E＝∠ABD即可證明△ABD∽△AEB；⑵過B作BH⊥AE于點(diǎn)H，根據(jù)題意設(shè)AB＝4x，BC＝3x，利用勾股定理及三角形面積公式在Rt△ABC中，求出AC、高BH及HE

43、的長，再在Rt△BEH中，運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求出tanE；⑶過F作FM⊥AE交AE于點(diǎn)M．根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的值，再利用△EFM∽△EBH，把EM，F(xiàn)M用含x的式子表示出來，在Rt△AFM中利用勾股定理列方程求解． 【詳細(xì)解答】解：⑴∵DE為⊙C的直徑，∴∠DBE＝90，∵∠ABC＝90，∠ABD＝∠CBE，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠E，∴∠ABD＝∠E，又∵∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB． ⑵過B作BH⊥AE交AE于點(diǎn)H． ∵＝，設(shè)AB＝4x，BC＝3x，∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝5x，CE＝3x， ∵S△ABC＝ACBH＝ABBC，∴ACBH＝ABBC，∴BH

44、＝＝，∴AH＝＝＝，∴HE＝AC＋CE－AH＝5x＋3x－＝， ∴tanE＝＝． A C E B F D H ⑶過F作FM⊥AE交AE于點(diǎn)M． ∵AF平分∠BAC，∴＝＝＝2，∴＝，∵BH∥FM，∴△EFM∽△EBH，∴＝＝＝，∴EM＝EH＝，F(xiàn)M＝BH＝，∴AM＝AE－ME＝，在Rt△AFM中AM2＋FM2＝AF2，即()2＋()2＝22，解得x＝，∴⊙C的半徑r＝3x＝． A C E B F D M H 【解后反思】（1）圓中涉及到直角問題時，通常運(yùn)用直徑所對圓周角是直角構(gòu)造直角三角形； （2）在解決直角三角形求值問題時，通常運(yùn)用面積法已知三

45、邊求斜邊上的高； （3）求線段的長度有以下常用的方法：用勾股定理——適用于直角三角形；用相似三角形——適用于有相似三角形的圖形中． 【關(guān)鍵詞】勾股定理；圓心角、圓周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì)；方程與函數(shù)思想 5. （2016四川達(dá)州，22，8分）如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作半圓O的切線交OD的延長線于點(diǎn)E，連接BD并延長交AE于點(diǎn)F. (1)求證：AE?BC=AD?AB； (2)若半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，求AF的長. 【逐步提示】本題考查了圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、解

46、直角三角形.解題的關(guān)鍵是掌握圓的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形求線段AF的長.解題的思路是：（1）證明△ADE∽△BCA，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可證；（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB，由已知可依次求得OD，AD，DG，AG，BG..由已知有△BDG∽△BFA，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例易求AF. 【詳細(xì)解答】解：（1）證明：∵AB是直徑，∴∠C＝90，∠CAB＋∠ABC＝90. ∵AE是⊙O的切線，∴∠OAE＝90. ∵OD⊥AC，∴∠CAB＋∠AOE＝90. ∴∠AOE＝∠ABC，∠OAE∠C. ∴△ADE∽△BCA，∴＝.即AE?BC=AD?AB. （2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB， 在R

47、t△AOD中，OA＝AB＝5，sin∠BAC=， ∴OD＝5＝3，AD＝＝4. 在Rt△ADG中，DG＝AD?sin∠BAC=4=， ∴AG＝. ∴BG＝10-＝. ∵∠BGD＝∠BAF＝90，∠DBG＝∠FBA， ∴△BG∽△BFA. ∴＝. ∴＝. ∴AF＝. 【解后反思】求線段的長度有以下常用的方法：用勾股定理——適用于已知兩邊的直角三角形中；用相似三角形的性質(zhì)——適用于有相似三角形的圖形中，銳角三角函數(shù)求線段的長度——適用于已知一邊及一角的三角函數(shù)值． 【關(guān)鍵詞】圓的切線的性質(zhì)定理；圓周角定理的推論；相似三角形的性質(zhì)和判定；解直角三角形 6. （2016四川

48、省廣安市，25，9分）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、C兩點(diǎn)且與BC邊交于點(diǎn)E.點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD，交線段EO于點(diǎn)F，若AB＝BF. （1）求證：AB是⊙O的切線；（3分） （2）若CF＝4，DF＝，求⊙O的半徑r及sinB.（6分） 【逐步提示】本題考查了圓的性質(zhì)及切線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法及解直角三角形的方法.（1）連接OD，利用等邊對等角，通過角的轉(zhuǎn)換，得出∠OAF 與∠BAF的和為90，從而證明AC是⊙O的切線；（2）在Rt△ODF中利用勾股定理可求得r的長，從而可求OF的長，在Rt△ABO中利用勾股定理可求得BO的長，

49、從而求出sinB. 【詳細(xì)解答】證明：連接AO、DO. ∵D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)， ∴∠EOD＝90. ∵AB＝BF，OA＝OD＝r， ∠BAF＝∠BFA＝∠OFD，∠OAD＝∠ADO ∴∠BAF＋∠DAO＝∠OFD＋∠ADO＝90即∠BAO＝90 ∴AB是⊙O的切線. （2）∵OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝， 在Rt△OFD中，OF2＋OD2＝DF2即r2＋(4－r)2＝（）2即r1＝3,r2＝1（舍去） ∴半徑r＝3 ∴OA＝3，OF＝CF－OC＝4－3＝1，∴BO＝BF＋FO＝AB＋1 在Rt△ABO中，AB2＋AO2＝BO2即AB2＋32＝（AB＋

50、1）2 ∴AB＝4，BO＝5 ∴sinB＝. 【解后反思】判別直線是圓的切線有兩種方法，如果直線與圓有交點(diǎn)，則連接交點(diǎn)與圓心，證明半徑垂直于直線即可；如果直線與圓沒有交點(diǎn)，則過圓心作直線的垂線段，證垂線段等于圓的半徑即可. 【關(guān)鍵詞】切線的判定；銳角三角函數(shù)；勾股定理；方程思想 7 （2016四川省涼山州，27，8分）如圖，已知四邊形內(nèi)接于，是的中點(diǎn)，于，與及的延長線交于點(diǎn)、，且. （1）求證：； （2）如果，，求的值. 【逐步提示】（1）根據(jù)等弧等條件找出兩組相等的角，證明兩個三角形相似；（2）通過相似三角形的性質(zhì)將∠CAD轉(zhuǎn)化為∠AEB，在Rt△

51、AEC中考慮tan∠AEB，從而求出tan∠CAD. 【詳細(xì)解答】解：（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接于，∴∠D+∠ABC=180，又∠ABC+∠ABE=180，∴∠D=∠ABE；∵，∴∠BAE=∠ACD，∴△ADC∽△EBA. （2）∵△ADC∽△EBA，∴ ，∠AEB=∠CAD；∵是的中點(diǎn)，∴AB=AC=8，∴ ，即 ，又AE⊥AC，∴∠BAC=90，∴tan∠CAD=tan∠AEB= 【解后反思】題中∠CAD并沒有處于一個直角三角形中，三角函數(shù)值不易求，所以就必須將∠CAD轉(zhuǎn)化為與之相等的∠AEB，這樣做是因?yàn)椤螦EB是Rt△AEC的一個銳角，容易通過三角函數(shù)的概念求出三角函數(shù)值.同時

52、本題也可以采用以下方法構(gòu)造直角三角形：連接AO并延長與相交于點(diǎn)M，連接DM，則∠AMD=∠ACD且△AMD為直角三角形（∠ADM=90），如圖所示. 【關(guān)鍵詞】三角形相似的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；圓內(nèi)接四邊形及性質(zhì)； 8 （ 2016四川省雅安市，24，10分）如圖1，AB是⊙O的直徑，E是 AB 延長線上一點(diǎn)，EC切⊙0于點(diǎn)C，連接AC，OP⊥AO交AC于點(diǎn)P，交EC的延長線于點(diǎn) D. (1)求證：△PCD是等腰三角形； (2)CG⊥AB于H點(diǎn), 交⊙O于G點(diǎn),過B點(diǎn)作BF∥EC, 交⊙O于點(diǎn)F, 交CG于Q點(diǎn)，連接AF，如圖2，若sinE =,CQ =5,求 AF的

53、值. 【逐步提示】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)、切線的判定、銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法以及圓中長度計算的方法． (1) 連接OC，則OC垂直DE,可證∠3=∠4=∠5，即△PCD是等腰三角形；（2）連接BC，證CQ=BQ=5，因BF∥EC,得sin∠ABF=sinE =,求得QH=3，BH=4，設(shè)⊙0的半徑為 r，在Rt△OCH中用勾股定理求出r,再在Rt△ABF中，用銳角三角函數(shù)定義求出AF的長. 【詳細(xì)解答】解：(1)證明：如圖1所示，連接OC ∵EC切⊙0于點(diǎn) C ∴OC⊥DE，∴∠1 +∠3 =90 ① 又∵OP⊥OA,∴

54、∠2 +∠4=90 ② ∵OA=OC,∴∠1 =∠2 ③ 由①②③可得，∠3 =∠4 又∵∠4 =∠5，∴∠3=∠5，∴DP =DC， 即△PCD為等腰三角形. (2)解：如圖2所示，連接BC ∵EC切⊙0于C點(diǎn) ∴∠1 +∠2 =90① 又∵OC = OB ∴∠2 =∠3 ② ∵CG⊥AB, ∴∠3 +∠4=9O③ 由①②③可得，∠1 =∠4 ④ ∵BF∥DE,∴∠5 =∠1 ⑤ 由④⑤，得∠4 =∠5， ∴CQ =BQ， 又∵CQ =5,∴BQ=5, ∵BF∥DE,∴∠ABF=∠E, 又∵sinE =, ∴sin∠ABF=, 即QH=3，BH=4

55、， 設(shè)⊙0的半徑為 r，在Rt△OCH中，， 解得r=10，∴AB=20， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AFB= 90, ∴sin∠ABF==,∴AF=12. 【解后反思】（1）圓中遇到切線條件，連接切點(diǎn)和圓心構(gòu)造直角是常見的輔助線； （2）圓中線段長度計算常用的方法有：①用勾股定理求解；②用銳角三角函數(shù)定義求解；③用相似三角形求解. 【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；平行線的性質(zhì)；勾股定理；切線的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.