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萬變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題二 函數(shù)的概念與函數(shù)的表示 Word版含解析

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1、 一、題之源:課本基礎(chǔ)知識(shí) 1.函數(shù)概念 設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域. 2.區(qū)間的概念 設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),而且a<b.我們規(guī)定: (1)滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間,表示為; (2)滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間,表示為(a,b); (3)滿足不等式或的實(shí)數(shù)的集

2、合叫做半開半閉區(qū)間,分別表示為. 這里的實(shí)數(shù)a,b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).這些區(qū)間的幾何表示如下表: 定義 名稱 符號(hào) 數(shù)軸表示 {x|a≤x≤b} 閉區(qū)間 {x|a<x<b} 開區(qū)間 (a,b) {x|a≤x<b} 半閉半開 區(qū)間 [a,b) {x|a<x≤b} 半開半閉 區(qū)間 (a,b] 實(shí)數(shù)集可用區(qū)間表示為,我們把滿足,,,的實(shí)數(shù)的集合分別表示為,,,.“¥” 讀作“無窮大”,“-¥” 讀作“負(fù)無窮大”,“+¥” 讀作“正無窮大”

3、. 3.函數(shù)的定義域 當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí),求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合,求函數(shù)的定義域的原則:(解決任何函數(shù)問題,必須要考慮其定義域) ①分式的分母不為零; ②偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零; ③對數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1; ④對數(shù)的真數(shù)大于0; ⑤指數(shù)為0的底不能為零;,則 ⑥如果函數(shù)有實(shí)際背景,那么除符合上述要求外,還要符合實(shí)際情況. ⑦當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí),定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合. 4. 函數(shù)相等 構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以

4、,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))。 5. 函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的常用的方法有解析法、圖象法、列表法. (1)解析法:把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)等式來表示,這個(gè)等式叫函數(shù)的解析表達(dá)式,簡稱解析式. (2)圖象法:用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系. (3)列表法:列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系. 6.分段函數(shù):在定義域的不同部分,有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)。如 二、題之本:思想方法技巧 1.在映射f:A→B中滿足兩允許,兩不允許:允許B中有剩余元素,不允許中有剩余元素A;允許多對一,不允許一對多.函數(shù)是一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空

5、數(shù)集上的映射. 例:已知函數(shù)f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)是.( ) A.0 B.1 C.0或1 D.1或2 分析:這里首先要識(shí)別集合語言,并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言.從函數(shù)觀點(diǎn)看,問題是求函數(shù)y=f(x),x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化),不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè),并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的,這是不正確的,因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素組成的.這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F,但未明確給出1與F的關(guān)系,當(dāng)1

6、∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn),當(dāng)1 F時(shí)沒有交點(diǎn),所以選C. 2.討論函數(shù)是否為同一函數(shù)問題時(shí),要保持定義域優(yōu)先的原則,判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同,要先求定義域,若定義域不同,則不相等;若定義域相同,再化簡函數(shù)的解析式,看對應(yīng)關(guān)系是否相同.兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同雖然表示自變量的與函數(shù)的字母不相同,則仍是同一函數(shù),如如與是同一函數(shù). 3.提醒:在高中階段求定義域、值域及解不等式,結(jié)果都要用集合表示。 4.求函數(shù)解析式的主要方法 待定系數(shù)法、換元法、方程(組)法等.如果已知函數(shù)解析式的類型,可用待定系數(shù)法

7、;若已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的表達(dá)式時(shí),可用換元法;若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式時(shí),常用解方程(組)法. 5.分離常數(shù)法是對分式形式的式子進(jìn)行恒等變換的一種基本方法,在研究分式形式的函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列時(shí)常用到這種方法:如求y=的值域. 解:y===1-,∵x2+1≥1,∴0<≤1,∴0≤1-<1,即y=的值域?yàn)? 其中表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù). 若關(guān)于x 的方程f(x)=kx+k有三個(gè)不同的實(shí)根, 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 . 【答案】B. 【解析】畫出f(x)的圖象(如右圖), 與過定點(diǎn)(-1, 0)的直線y=kx+k=k(x+1) 有三個(gè)不同的公共點(diǎn), 利用

8、數(shù)形結(jié)合的辦法, 可求得直線斜率k的取值范圍為. 故選B. 改編3 對于任意實(shí)數(shù)x,符號(hào)表示x的整數(shù)部分,即是不超過x的最大整數(shù).這個(gè)函數(shù)叫做“取整函數(shù)”,它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用.那么, (1)++++……+= (2)設(shè),則的值域?yàn)? 【答案】8204; 改編4 函數(shù)的值域?yàn)? . 【答案】 【解析】 當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),;∴值域?yàn)?故答案:. 3.原題(必修1第四十四頁復(fù)習(xí)參考題A組第八題)設(shè),求證:(1);(2). 改編1 設(shè)定在R上的函

9、數(shù)滿足:,則 . 【答案】0. 【解析】由.得 .由所求式子特征考查:..故答案0. 改編2 函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件,若則__________. 【答案】. 改編3 若奇函數(shù)滿足,則 【答案】 【解析】由已知,令,則 ,又∵是奇函數(shù),所以,∴,∴,故答案. 改編4 函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),是一個(gè)奇函數(shù),且,則等于( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】由題知 ① 以代,①式得,即 ② +②得,故答案:A. 4.原題(必修1第四十五頁復(fù)習(xí)參考題B組第四題)已知函數(shù)求,,的值. 改

10、編1 已知函數(shù),關(guān)于的方程有四個(gè)不同的根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D. 【答案】A. 改編2 設(shè)則__________ 【答案】. 【解析】.故答案. 改編3 已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】分段函數(shù)的單調(diào)性需分段處理.故答案選C. 改編4 設(shè)函數(shù)f(x)= 則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為( ) A.(-∞,-2]∪[0,10] B.(-∞,-2]∪[0,1] C.(-∞,

11、-2]∪[1,10] D.[-2,0]∪[1,10] 【答案】A. 5.原題(必修1第四十五頁復(fù)習(xí)參考題B組第七題)《中華人民共和國個(gè)人所得稅》規(guī)定,公民全月工資、薪金所得不超過2000元的部分不必納稅,超過2000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額.此項(xiàng)稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算: 某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款為26.78元,那么他當(dāng)月的工資、薪金所得是多少? 改編1 2011年4月 25日,全國人大常委會(huì)公布《中華人民共和國個(gè)人所得稅法修正案(草案)》,向社會(huì)公開征集意見.草案規(guī)定,公民全月工薪不超過3000元的部分不必納稅,超過3000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額.此項(xiàng)稅款按下表分

12、段累進(jìn)計(jì)算. 級 數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅 率 1 不超過 1500元的部分 5% 2 超過 1500元至4500元的部分 10% 3 超過 4500元至9000元的部分 20% 依據(jù)草案規(guī)定,解答下列問題:(1)李工程師的月工薪為8000元,則他每月應(yīng)當(dāng)納稅多少元?(2)若某納稅人的月工薪不超過10000元,他每月的納稅金額能超過月工薪的8%嗎?若能,請給出該納稅人的月工薪范圍;若不能,請說明理由. 答:若該納稅人月工薪大于9375元且不超過10000元時(shí),他的納稅金額能超過月工薪的8%. 改編2某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段

13、進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià),該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下: 高峰時(shí)間段用電價(jià)格表 低谷時(shí)間段用電價(jià)格表 高峰月用電量 (單位:千瓦時(shí)) 高峰電價(jià) (單位:元/千瓦時(shí)) 低谷月用電量(單位:千瓦時(shí)) 低谷電價(jià)(單位:元/千瓦時(shí)) 50及以下部分 0.568 50及以下部分 0.288 超過50至200的部分 0.598 超過50至200的部分 0.318 超過200的部分 0.668 超過200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí),低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí),則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付電費(fèi)為 元(用數(shù)字作答). 【答案】148.4 【解析】高峰時(shí)段電費(fèi)a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元);低谷時(shí)段電費(fèi)b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元).故該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為a+b=148.4(元).故填148.4.

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