《萬變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題三 函數(shù)的性質(zhì) Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《萬變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專題三 函數(shù)的性質(zhì) Word版含解析(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
一、題之源:課本基礎(chǔ)知識
1.一般地,設(shè)函數(shù)的定義域為:
如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值,當時,都有,那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值,當時,都有,那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性
2.如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù),在該區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,函數(shù)圖象在該區(qū)間上的部分自左到右呈上升趨勢;如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上是減函數(shù),則在該區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來越小,函數(shù)圖象在該區(qū)間上的部分自左到右呈下降趨勢.并不是每個函
2、數(shù)都有單調(diào)性,如函數(shù) 就不具有單調(diào)性.
3.對于函數(shù)和,如果在區(qū)間上是具有單調(diào)性,當時,且在區(qū)間上區(qū)間也具有單調(diào)性,則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性:
①若在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;②若在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;③若在上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;④若在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
4.一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:①對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.f(x)≤M反映了函數(shù)y=
3、f(x)的所有函數(shù)值不大于實數(shù)M;這個函數(shù)的特征是圖象有最高點,并且最高點的縱坐標是M.
5.一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:①對于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
②存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)最小值的幾何意義:函數(shù)圖象上最低點的縱坐標.
6.函數(shù)最值的重要結(jié)論
(1)設(shè)f(x)在某個集合D上有最小值,m為常數(shù),則f(x)≥m在D上恒成立的充要條件是f(x)min≥m;
(2)設(shè)f(x)在某個集合D上有最大值,m為常數(shù),則f(x)≤m在D上恒成立的充要條件是f(x)max≤m.
7.函數(shù)的奇偶性(在整個定
4、義域內(nèi)考慮)
(1)奇函數(shù)滿足, 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;
(2)偶函數(shù)滿足, 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;
注:①具有奇偶性的函數(shù),其定義域關(guān)于原點對稱; ②若奇函數(shù)在原點有定義,則
③根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類:奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。
8.判斷函數(shù)奇偶性的步驟
①求函數(shù)定義域,看定義域是否關(guān)于原點對稱,若不對稱,則既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);
②驗證f(-x)是否等于±f(x),或驗證其等價形式f(x)±f(-x)=0或=±1(f(x)≠0)是否成立.對于分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段驗證,但比較繁瑣,且容易判斷
5、錯誤,通常是用圖象法來判斷.對于含有x的對數(shù)式或指數(shù)式的函數(shù)通常用“f(-x)±f(x)=0”來判斷.
二、題之本:思想方法技巧
1.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”,即內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)單調(diào)性相同時,復(fù)合函數(shù)為增函數(shù),內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)單調(diào)性相異時,復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).
2.根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時,要注意格式的規(guī)范.
3.研究函數(shù)的單調(diào)性切記定義域優(yōu)先.注意單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間表示,不可用集合的其它表示形式,并注意區(qū)間端點值的取舍,如端點值在定義域內(nèi),閉開均可,如端點值不在定義域內(nèi),必須為開;如增(減)區(qū)間不只一個,區(qū)間之間應(yīng)該用“和”或“,”,不可用“∪”.
4.若f(x)是
6、增(減)函數(shù),則f(x1)<f(x2)?x1<x2(x1>x2).在解決“與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式”問題時,可以利用函數(shù)單調(diào)性的“可逆性”,脫去“函數(shù)符號f”,化為一般不等式求解,但運算必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進行.
5.已知奇(偶)函數(shù)或周期函數(shù)在定義域的某一區(qū)間內(nèi)的解析式,求函數(shù)在另一區(qū)間或整體定義域內(nèi)的解析式時,一定要注意區(qū)間的轉(zhuǎn)換.如:若x>0,則-x<0;若1<x<2,則3<x+2<4等.如果要研究其值域、最值、單調(diào)性等問題,通常先在原點一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮,然后推廣到整個定義域上.
6.解題中要注意以下性質(zhì)的靈活運用
(1)f(
7、x)為偶函數(shù)?f(x)=f(|x|);
(2)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=0;
(3)若f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),則它的圖象一定在x軸上.
7.下面幾類函數(shù)都是奇函數(shù):①y=(ab≠0);②y=(a>0且a≠1);③y=(a>0且a≠1);⑷y=(a>0且a≠1).
8. ①若f(x)滿足對任意實數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),則f(x)是奇函數(shù);②若f(x)滿足對任意實數(shù)a,b都有f(a+b)+m=f(a)+f(b),則f(x)-m是奇函數(shù).
9.抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定,常在依托定義的基礎(chǔ)上,用賦值法.
例:已知函數(shù)
8、f(x)在(-1,1)上有定義,f()=-1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明:(1)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減
證明:(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)為奇函數(shù).
(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.
令0<x1<x2<1,則f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f()
∵0<x1<
9、;x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,
又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0
∴x2-x1<1-x2x1,
∴0<<1,由題意知f()<0,
即f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù),又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.
∴f(x)在(-1,1)上為減函數(shù).
10.函數(shù)的幾個重要性質(zhì):
①如果函數(shù)對于一切,都有,那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱Û是偶函數(shù);
②若都有,那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱;函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱;
③函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)
10、于直線對稱;函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱;函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱
11.抽象函數(shù)的周期性是高考考查的熱點,故這里給出周期函數(shù)的定義及常用結(jié)論:
(1)已知函數(shù)的定義域為,若存在非零常數(shù),對任意都有,則成為周期函數(shù),T為的一個周期。
(2)對函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)(其中為非零常數(shù)),
①,則是以為周期的周期函數(shù);
②,則是以為周期的周期函數(shù);
③,則是以為周期的周期函數(shù);
④,則是以為周期的周期函數(shù);
⑤,則是以為周期的周期函數(shù).
⑥,則是以為周期的周期函數(shù)
⑦,則是以為周期的周期函數(shù).
⑧函數(shù)滿足(),若為奇函數(shù),則其周期為,若為偶函數(shù),則其周期為.
⑨
11、函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對稱,則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù);
⑩函數(shù)的圖象關(guān)于兩點、都對稱,則函數(shù)是以為
周期的周期函數(shù);函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對稱,則函數(shù)是
以為周期的周期函數(shù);
三、題之變:課本典例改編
1.原題(必修1第二十四頁習(xí)題1.2A組第七題)畫出下列函數(shù)的圖象:(1)
改編 設(shè)函數(shù)D(x)=,則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.D(x)的值域為{0,1} B. D(x)是偶函數(shù) C.D(x)不是周期函數(shù) D.D(x)不是單調(diào)函數(shù)
【答案】C.
2.原題(必修1第三十六頁練習(xí)第1題(3))判斷下列函數(shù)的奇偶性:.
改編 關(guān)于函數(shù),有下列
12、命題:①其圖象關(guān)于軸對稱;②當時,是增函數(shù);當時,是減函數(shù);③的最小值是;④在區(qū)間上是增函數(shù);⑤無最大值,也無最小值.其中所有正確結(jié)論的序號是 .
【答案】①③④
【解析】 為偶函數(shù),故①正確;令,則當時,在上遞減,在上遞增,∴②錯誤;③④正確;⑤錯誤.故答案:①③④.
3.原題(必修1第三十九頁復(fù)習(xí)參考題B組第1題)已知函數(shù),
.(1)求,的單調(diào)區(qū)間;(2) 求,的最小值.
改編1 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】函數(shù)圖像是開口向上
13、的拋物線,其對稱軸是,由已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減可知區(qū)間應(yīng)在直線的左側(cè),∴,解得,故選D.
改編2 已知函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù),那么的取值范圍是_________.
【答案】.
【解析】函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù),由于其圖像(拋物線)開口向上,所以其對稱軸或與直線重合或位于直線的左側(cè),即應(yīng)有,解得,
∴ ,即.
改編3 已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
【答案】或.
4.原題(必修1第三十九頁復(fù)習(xí)參考題B組第三題)已知函數(shù)是偶函數(shù),而且在上是減函數(shù),判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的判斷.
改編1 已知定義在上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),
14、 若f(1-m)f(m), 則實數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由偶函數(shù)的定義, , 又由f(x)在區(qū)間上是減函數(shù), 所以.故答案:.
改編2 下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是奇函數(shù),是減函數(shù);故選A.
改編3 函數(shù)是R上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是 ( )A. B. C. D.或
【答案】D.
5.原題(必
15、修1第四十五頁復(fù)習(xí)參考題B組第五題)證明:(1)若,則
;(2)若則.
改編1 函數(shù)在上有定義,若對任意,有則稱 在上具有性質(zhì).設(shè)在上具有性質(zhì),求證:對任意,有.
【解析】證明:
改編2 如圖所示,是定義在[0,1]上的四個函數(shù),其中滿足性質(zhì):“對[0,1]中任意的和,任意恒成立”的只有 ( )
A.和 B. C.和 D.
【答案】A.
【解析】當時,符合條件的函數(shù)是凹函數(shù),從圖像可看出有和,故選擇A.
改編3 設(shè)函數(shù)=的圖象如下圖所示,則a、b、c的大小關(guān)系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b
【答案】B.
改編4 如圖所示,單位圓中弧AB的長為表示弧AB與弦AB
所圍成的弓形面積的2倍,則函數(shù)的圖象是 ( )
【答案】D.
【解析】據(jù)題意選D.