《萬(wàn)變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專(zhuān)題六 函數(shù)的應(yīng)用 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《萬(wàn)變不離其宗:高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一:專(zhuān)題六 函數(shù)的應(yīng)用 Word版含解析(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
一、題之源:課本基礎(chǔ)知識(shí)
1.函數(shù)的零點(diǎn)
使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)。
注:函數(shù)有零點(diǎn) 函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn) 方程有實(shí)根
2.函數(shù)零點(diǎn)的判定:
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn),并且有。那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),即存在。
3.函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),注意它是數(shù)而不是點(diǎn).
4.基本函數(shù)模型:
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
二次函數(shù)模型
指數(shù)型函數(shù)模型
f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)
對(duì)數(shù)型函數(shù)模型
f(x)=
2、blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)
冪型函數(shù)模型
f(x)=axn+b(a,b為常數(shù),a≠0)
5.解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟
(1)審題:數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的文字?jǐn)⑹鲩L(zhǎng),數(shù)量關(guān)系分散且難以把握,因此,要認(rèn)真讀題,縝密審題,準(zhǔn)確理解題意,明確問(wèn)題的實(shí)際背景,收集整理數(shù)據(jù)信息,這是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ).
(2)建模:在明確了問(wèn)題的實(shí)際背景和收集整理數(shù)據(jù)信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)的抽象概括,將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,合理引入自變量,運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式(也叫目標(biāo)函數(shù)),將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,即實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,建立數(shù)
3、學(xué)模型.
(3)解模:利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題(即數(shù)學(xué)模型或目標(biāo)函數(shù))予以解答,求得結(jié)果.
(4)還原:將求解數(shù)學(xué)模型所得的結(jié)果還原為實(shí)際問(wèn)題的意義,回答數(shù)學(xué)應(yīng)用題提出的問(wèn)題.
以上過(guò)程可以用示意圖表示為:
模擬函數(shù)的過(guò)程可以用下面框圖表示:
二、題之本:思想方法技巧
1.判斷函數(shù)在給定區(qū)間零點(diǎn)的步驟
(1)確定函數(shù)的圖象在閉區(qū)間上連續(xù);
(2)計(jì)算f(a),f(b)的值并判斷f(a)f(b)的符號(hào);
(3)若f(a)f(b)<0,則有實(shí)數(shù)解.
除了用上面的零點(diǎn)存在性定理判斷外,有時(shí)還需結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象來(lái)作出判斷.
2.確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程f
4、(x)=0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法:
(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),一般由對(duì)應(yīng)的二次方程f(x)=0的判別式Δ>0,Δ=0,Δ<0來(lái)完成;對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù),則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷.
(2) 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上有f(a)f(b)<0時(shí),函數(shù)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),但不能確定究竟有多少個(gè).要更準(zhǔn)確地判斷函數(shù)在(a,b)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),還得結(jié)合函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性、極值等性質(zhì)進(jìn)行判斷.如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.
(3)若函數(shù)f(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn),且是單調(diào)函數(shù),又f(a)f(b)<0,則y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一零點(diǎn).
(
5、4)對(duì)于解析式較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn),可根據(jù)解析式特征,利用函數(shù)與方程思想化為f(x)=g(x)的形式,通過(guò)考察兩函數(shù)圖像交點(diǎn)來(lái)確定零。
3.“實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”,你是否注意到必須;若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式,你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形?例如:對(duì)一切恒成立,求a的取值范圍,你討論了a=2的情況了嗎?
4.數(shù)模型的選擇
解題過(guò)程中選用哪種函數(shù)模型,要根據(jù)題目具體要求進(jìn)行抽象和概括,靈活地選取和建立數(shù)學(xué)模型.一般
來(lái)說(shuō):如果實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)特點(diǎn)為直線(xiàn)上升,則選擇直線(xiàn)模型;若增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)
值增大的速度越來(lái)越快(指數(shù)爆炸),則選
6、擇指數(shù)型函數(shù)模型;若增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值的
增大速度越來(lái)越慢,則選擇對(duì)數(shù)型函數(shù)模型;如果實(shí)際問(wèn)題中變量間的關(guān)系,不能用同一個(gè)關(guān)系式表示,
則選擇分段函數(shù)模型等。另外,常見(jiàn)的出租車(chē)計(jì)費(fèi)問(wèn)題、稅收問(wèn)題、商品銷(xiāo)售等問(wèn)題,通常用分段函數(shù)模
型;面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題常選擇冪型函數(shù)模型,特別是二次函數(shù)模型;而對(duì)于利率、細(xì)胞分裂、
物質(zhì)衰變,則常選擇指數(shù)型函數(shù)模型.
三、題之變:課本典例改編
26.原題(必修1第八十八頁(yè)例1)求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
改編1 函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】
7、【解析】易知函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程|log0.5x|==x的根的個(gè)數(shù)?函數(shù)y1=|log0.5x|與y2=x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),故選B.
改編2 已知函數(shù),若在區(qū)間(2,3)內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù),不等式恒成立,且在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
【答案】
改編3函數(shù)y=x-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別做出y1=,y2=的圖象,根據(jù)圖象可以看出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.故選B.
27.原題(必修1第
8、九十頁(yè)例2)借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解(精確度0.1).
改編1 用二分法研究函數(shù)f(x)=x3+3x-1的零點(diǎn)時(shí),第一次經(jīng)計(jì)算f(0)<0,f(0.5)>0可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________,第二次應(yīng)計(jì)算________.
【解析】 ∵f(x)=x3+3x-1是R上的連續(xù)函數(shù),且f(0)<0,f(0.5)>0,則f(x)在x∈(0,0.5)上存在零點(diǎn),且第二次驗(yàn)證時(shí)需驗(yàn)證f(0.25)的符號(hào).
改編2 為了求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),某同學(xué)利用計(jì)算器得到自變量和函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值(精確度0.1)如下表所示
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
9、
1.5625
-0.8716
-0.5788
-0.2813
0.2101
0.32843
0.64115
則方程的近似解(精確到0.1)可取為( )
A.1.32 B.1.39 C.1.4 D.1.3
【答案】C.
28.原題(必修1第九十五頁(yè)例1)假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報(bào)如下:方案一:每天回報(bào)40元;方案二:第一天回報(bào)10元,以后每天比前一天多回報(bào)10元;方案三:第一天回報(bào)0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請(qǐng)問(wèn),你會(huì)選擇哪種投資方案?
改編1 某市一家商場(chǎng)的新年最高促銷(xiāo)獎(jiǎng)設(shè)立了三
10、種領(lǐng)獎(jiǎng)方式,這三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式如下:方式一:每天到該商場(chǎng)領(lǐng)取獎(jiǎng)品,價(jià)值為40元;方式二:第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為10元,以后每天比前一天多10元;方式三:第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。若商場(chǎng)的獎(jiǎng)品總價(jià)值不超過(guò)600元,則促銷(xiāo)獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)設(shè)置為幾天?在領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)的情況下,你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎(jiǎng)方式讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓啵?
【解析】設(shè)促銷(xiāo)獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)為天,三種方式的領(lǐng)取獎(jiǎng)品總價(jià)值分別為。
則;;
要使獎(jiǎng)品總價(jià)值不超過(guò)600元,則
解得
又 ,故
答:促銷(xiāo)獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)可設(shè)置10天,在這10天內(nèi)選擇方式二會(huì)讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓?
改編2 某家庭
11、進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè),投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類(lèi)產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元.
(1)分別寫(xiě)出兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;
(2)若該家庭有20萬(wàn)元資金,全部用于理財(cái)投資,問(wèn):怎樣分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬(wàn)元?
29.原題(必修1第一百一十二頁(yè)復(fù)習(xí)參考習(xí)A組第七題)
改編1 如圖所示,已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為合理利用這塊鋼板,在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM,使點(diǎn)P在邊DE上.
12、
(1)設(shè)MP=x米,PN=y(tǒng)米,將y表示成x的函數(shù),并求出該函數(shù)的定義域;
(2)求矩形BNPM面積的最大值.
改編2 已知線(xiàn)段的長(zhǎng)為,以為直徑的圓有一內(nèi)接梯形,若橢圓以為焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn),求橢圓的離心率的范圍.
【解析】梯形為圓內(nèi)接梯形,故其為等腰梯形,設(shè),則在中,
由橢圓的定義知
離心率,其中,所以,故橢圓離心率
30.原題(必修1第一百一十三頁(yè)復(fù)習(xí)參考習(xí)A組第九題)某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場(chǎng)供應(yīng),若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開(kāi)始x月后,公司的存貨量大致滿(mǎn)足模型,那么下次生產(chǎn)應(yīng)在多長(zhǎng)時(shí)間后開(kāi)始?
改編1 某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場(chǎng)供應(yīng),
13、在存貨量變?yōu)?的前一個(gè)月,公司進(jìn)行下次生產(chǎn)。若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開(kāi)始月后,公司的存貨量大致滿(mǎn)足模型,那么下次生產(chǎn)應(yīng)在 月后開(kāi)始.
【答案】?jī)蓚€(gè)月.
改編2研究表明:使全球氣候逐年變暖的一個(gè)重要因素是人類(lèi)在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據(jù)測(cè),2010年、2011年、2012年大氣中的CO2濃度分別比2009年增加了1個(gè)可比單位、3個(gè)可比單位、6個(gè)可比單位.若用一個(gè)函數(shù)模擬每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)與年份增加數(shù)x的關(guān)系,模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r(其中p,q,r為常數(shù))或函數(shù)g(x)=abx+c(其中a,b,c為常數(shù)),且又知2014年大氣中的CO2濃度比2009年增加了16個(gè)可比單位,請(qǐng)問(wèn)用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?
【解析】:若以f(x)=px2+qx+r作模擬函數(shù),則依題意得:
解得p=,q=,r=0,所以f(x)=x2+x.
若以g(x)=abx+c作模擬函數(shù),則
解得a=,b=,c=-3.
所以g(x)=-3.
利用f(x),g(x)對(duì)2014年的CO2濃度作估算,則其數(shù)值分別為:f(5)=15可比單位,g(5)=17.25可比單位,
∵|f(5)-16|<|g(5)-16|,故選f(x)=x2+x作為模擬函數(shù)較好.