《高考數(shù)學(xué) 備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題 數(shù)列學(xué)生版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題 數(shù)列學(xué)生版（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 數(shù)列 一、高考預(yù)測(cè) 數(shù)列是歷年高考的重點(diǎn)與難點(diǎn)，以等差數(shù)列與等比數(shù)列為基礎(chǔ)考查數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和的問(wèn)題是數(shù)列中的中低檔難度問(wèn)題，一般只要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)即可正確得出結(jié)果.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段學(xué)習(xí)的兩種最基本的數(shù)列，也是高考中經(jīng)常考查并且重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，這類問(wèn)題多從數(shù)列的本質(zhì)入手，考查這兩種基本數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡(jiǎn)單運(yùn)算、通項(xiàng)公式、求和公式等．本講內(nèi)容在高考中多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題．解題時(shí)應(yīng)從基礎(chǔ)處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運(yùn)算量，既準(zhǔn)又快地解決問(wèn)題.除此

2、以外，數(shù)列與其他知識(shí)的綜合考查也是高考中?？嫉膬?nèi)容，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它能與很多知識(shí)進(jìn)行綜合，如方程、函數(shù)、不等式、極限，數(shù)學(xué)歸納法（理）等為主要綜合對(duì)象，概率、向量、解析幾何等為點(diǎn)綴.數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題在高考中大多屬于中高檔難度問(wèn)題. 數(shù)列是新課程的必修內(nèi)容，從課程定位上說(shuō)，其考查難度不應(yīng)該太大，數(shù)列試題傾向考查基礎(chǔ)是基本方向．從課標(biāo)區(qū)的高考試題看，試卷中的數(shù)列試題最多是一道選擇題或者填空題，一道解答題．由此我們可以預(yù)測(cè)20xx年的高考中，數(shù)列試題會(huì)以考查基本問(wèn)題為主，在數(shù)列的解答題中可能會(huì)出現(xiàn)與不等式的綜合、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合等，但難度會(huì)得到控制． 二、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 要點(diǎn)1：有關(guān)

3、等差數(shù)列的基本問(wèn)題 1．涉及等差數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題往往用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式“知三求二”解決問(wèn)題； 要點(diǎn)向3：等差、等比數(shù)列綜合問(wèn)題 1.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。 2．?dāng)?shù)列求通項(xiàng)的常見(jiàn)類型與方法：公式法、由遞推公式求通項(xiàng)，由求通項(xiàng)，累加法、累乘法等 3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組法、倒序相加法等。 4．解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題

4、策略． 要點(diǎn)4：可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和問(wèn)題 某些遞推數(shù)列可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列解決，其轉(zhuǎn)化途徑有： 1．湊配、消項(xiàng)變換——如將遞推公式（為常數(shù)，≠0，≠1）。通過(guò)湊配變成；或消常數(shù)轉(zhuǎn)化為 2．取倒數(shù)法—如將遞推公式遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有 令則可歸為型。 3．對(duì)數(shù)變換——如將遞推公式取對(duì)數(shù)得 4．換元變換——（其中p，q均為常數(shù)，（或,其中p，q, r均為常數(shù)）。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：則轉(zhuǎn)化為的形式。 要點(diǎn)5：數(shù)列求和的常用方法： 1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對(duì)公比的討論. 2、錯(cuò)位相減法：主要用于一個(gè)等

5、差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣. 3、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解. 4、裂項(xiàng)相消法：主要用于通項(xiàng)為分式的形式，通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)項(xiàng)相消剩下首尾若干項(xiàng)，注意一般情況下剩下正負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)相同. 5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣). 三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛 命題角度1 數(shù)列的概念 1．已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,(n≥2)，則｛an｝的通項(xiàng)an=_________. [考場(chǎng)錯(cuò)解] ∵a

6、n=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，∴an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2，兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1，∴an=nan-1.由此類推： an-1=(n-1)an-2，…a2=2a1，由疊乘法可得an= [專家把脈] 在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)向前遞推一項(xiàng)時(shí)應(yīng)考慮n的范圍．當(dāng)n=1時(shí)，a1=與已知a1=1，矛盾． 3.已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an=3n-1+an-1(n≥2) (1)求a2，a3； (2)求通項(xiàng)an的表達(dá)式． [考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)∵a1=1，∴a2=3+1=4，a3=32+4=13． (2)由已知an=

7、3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差數(shù)列，公差d=3n-1．故an=1+(n-1)3n-1． [專家把脈] (2)問(wèn)中an-an-1=3n-1，3n-1不是常數(shù)，它是一個(gè)變量，故不符合等差數(shù)列的定義． [對(duì)癥下藥] (1)∵a1=1，∴a2=4，a3=32+4=13． (2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+ (a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=. 4．等差數(shù)列｛an｝中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于 (

8、) A.160 B．180 C. 200 D．220 [考場(chǎng)錯(cuò)解] 由通項(xiàng)公式an=a1+(n+1)d.將a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求a1、d，再利用等差數(shù)列求和，選C． [專家把脈] 此方法同樣可求得解．但解法大繁，花費(fèi)時(shí)間多，計(jì)算量大故而出錯(cuò)，應(yīng)運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)求解就簡(jiǎn)易得多． [對(duì)癥下藥] B 由公式m+n=2Pam+an=2ap?(只適用等差數(shù)列)即可求解．由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24 由a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26又∵S

9、20==10(a2+a19)=180 2．若｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0，a2003+a2004>0，a2003a2004＜0，則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是 ( ) A.4005 B．4006 C.4007 D.4008 [考場(chǎng)錯(cuò)解] ∵a2004+a2003>0，即2a1+2002d+2003d>0，(a1+2002d)(a1+2003d)<0，要使Sn>0．即使na1+d＞0．這樣很難求出a1，d.從而求出最大的自然數(shù) n.故而判斷a2003>0，a2004<0，所以前2003項(xiàng)為正，從第2004項(xiàng)起為負(fù)，由等差數(shù)列的

10、n項(xiàng)和的對(duì)稱性使Sn＞0．故而取n=4005使Sn>0． [專家把脈] 此題運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)及圖象中應(yīng)注意．a(chǎn)2003>0，a2004<0． 且忽視了這兩項(xiàng)的大?。? [對(duì)癥下藥] B ∵a1>0，a2003+a2004>0，a2003a2004＜0，且｛an｝為等差數(shù)列 ∴{an}表示首項(xiàng)為正數(shù)，公差為負(fù)數(shù)的單調(diào)遞減等差數(shù)列，且a2003是絕對(duì)值最小的正數(shù)，a2004是絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)(第一個(gè)負(fù)數(shù))，且|a2003|＞|a2004|∴在等差數(shù)列｛an｝中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006=＞0 ∴使Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是4006．

11、 3．設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.(Ⅰ)若首項(xiàng)a1=，公差d=1，求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k; (Ⅱ)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列｛an｝；使得對(duì)于一切正整數(shù)中k都有Sk2=(Sk)2成立． [考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4． ∴k≠0．故k=4． (Ⅱ)由對(duì)一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立． 即k2a1+d=(ka1+)2 即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0對(duì)—切正整數(shù)k恒成立故求得a1=0或1，d=0 ∴等差數(shù)列an=｛0,

12、0,0,…｝，或an=｛1，1，1，…｝． [專家把脈] (Ⅱ)中解法定對(duì)一切正整數(shù)k都成立．而不是一切實(shí)數(shù)．故而考慮取k的特值也均成立． [對(duì)癥下藥] (Ⅰ)當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k≠0，所以k=4． (Ⅱ)設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d，則在Sk2=(Sk)2中分別取k=1,2,得 由（1）得a1=0或a1=1. 當(dāng)a1=0時(shí)，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,則an=0,sn=0,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0,d=6,則an=6(n-1),由S3=18，（S

13、3）2=324,S9=216知S9≠(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)a1=1時(shí),代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,則an=1,Sn=n,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+…+（2n-1）=n2,從而Sk2=(Sk)2成立.綜上,共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列:①{an}：an=0,即0，0，0，…；②{an}:an=1,即1，1，1，…；③{an}:an=2n-1,即1，3，5，…. 4.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿足:a0=1,an+1=an(4-an),nN.(1)證明an＜an+1＜

14、2,n∈N.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an. 2(4-2),也即當(dāng)x=k+1時(shí) ak＜ak+1＜2成立，所以對(duì)一切n∈N,有ak＜ak+1＜2 (2)下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)：an+1=an(4-an)=[-(an-2)2+4],所以2（an+1-2）=-(an-2)2令bn=an-2,則bn=-=-(-)2=-()2…=-（）1+2+…+2n-1b2n，又bn=-1,所以bn=-()2n-1,即an=2+bn=2-()2n-1 專家會(huì)診1.要善于運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)：“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq”；等差數(shù)列前n項(xiàng)和符合二次函數(shù)特征.借助二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合法解等差數(shù)列

15、問(wèn)題.2.會(huì)運(yùn)用一般與特殊的邏輯思維,利用滿足條件的特值求相關(guān)參數(shù)的值,學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題. 命題角度3 等比數(shù)列 1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,aa+1=(n=1,2,3…).證明:(Ⅰ)數(shù)列{}是等比數(shù)列；(Ⅱ)Sn+1=4an. [考場(chǎng)錯(cuò)解] (Ⅰ)已知a1=1,an+1=,∴a2=3S1=3,∴S2=4 a3=S2=24=8.∴S3=1+3+8=12. 即.故{}是公比為2的等比數(shù)列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知=4于是Sn+1=4(n+1)=4an.又a2=3.S2=a1+a2=4,因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1,都有Sn+1=4an. [專家把脈] (Ⅰ)

16、中利用有限項(xiàng)判斷數(shù)列類型是運(yùn)用不完全歸納法,應(yīng)給予證明. (Ⅱ)中運(yùn)用前推一項(xiàng)必須使 n≥2. [對(duì)癥下藥] (Ⅰ) ∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(n+1)=Sn,所以=2故{}是以2為公比的等比數(shù)列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知=4(n2).于是Sn+1=4(n+1)=4an(n≥2).又a2=3S1=3, 故S1=a1+a2=4.因此對(duì)于任意整數(shù)n≥1,都有Sn+1=4an. 2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(an-1)(n∈N*).(Ⅰ) 求a1,a2;(Ⅱ)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列. [考場(chǎng)錯(cuò)解]

17、 (Ⅰ)S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. (Ⅱ)an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以{an}是首項(xiàng)為-，公比為-的等比數(shù)列. [專家把脈] 在利用an=Sn-Sn-1公式時(shí),應(yīng)考慮n≥2時(shí)才能成立. [對(duì)癥下藥] (Ⅰ)由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),∴a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. (Ⅱ)當(dāng)n＞1時(shí),an=SnSn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以{an}是首項(xiàng)為-,公比為-的等比數(shù)列. 3.等比數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為16,中間兩個(gè)

18、數(shù)之和為5,則該數(shù)列的公比q的取值為 ( ) A. 或4 B. 或C. 4或- D. 4或或或 [考場(chǎng)錯(cuò)解] 設(shè)這四個(gè)數(shù)為,aq,aq3.由題意得由①得a=,代入②得q=或q2=2.q2=或q2=4,故所求的公比為或4.故應(yīng)選A. [專家把脈] 上述解答設(shè)等比數(shù)列的公比為q2是不合理的.這相當(dāng)于增加了四個(gè)數(shù)同號(hào)這個(gè)條件,而題設(shè)中的四個(gè)數(shù)不一定同號(hào).因此,產(chǎn)生了漏解現(xiàn)象. [對(duì)癥下藥]設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,aq,aq2,aq3,則或-.因此,應(yīng)選D. 4.設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a≠,且an+1= (Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;(Ⅲ)

19、求(b1+b2+b3+…+bn). [考場(chǎng)錯(cuò)解] (Ⅰ)a2=a1+=a+,a3=a2=a; (Ⅱ)bn+1=a2n+1-. (Ⅲ)求(b1+b2+b3+…+bn)= =. [專家把脈]在求證bn是等比數(shù)列是時(shí)，式子中，an中n為偶數(shù)時(shí)， 是連續(xù)兩項(xiàng)，并不能得出. [對(duì)癥下藥] (Ⅰ)a2=a1+=a+,a3=a2=a+; (Ⅱ)∵a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:{bn}是公比為的等比數(shù)列. 證明如下:因?yàn)閎n+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(n∈N*)所以{bn}是首

20、項(xiàng)為a-,公比為的等比數(shù)列. (Ⅲ)求(b1+b2+b3+…+bn)= 專家會(huì)診1.證明等比數(shù)列時(shí)應(yīng)運(yùn)用定義證為非0常數(shù),而不能(此時(shí)n≥2).2.等比數(shù)列中q可以取負(fù)值.不能設(shè)公比為q2.3.會(huì)運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì),“若m+n=p+k,則aman=apak”. 命題角度 4 等差與等比數(shù)列的綜合 1.(典型例題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a[2-()n-1]-b[2-(n+1)()n-1](n=1,2,…),其中a,b是非零常數(shù),則存在數(shù)列{xn}、{yn}使得（ ） A.an=xn+yn,其中{xn}為等差數(shù)列，{yn}為等比數(shù)列 B．a(chǎn)n=xn+yn,其中{xn}

21、和{yn}都為等差數(shù)列 C．a(chǎn)n=xnyn,其中{xn}為等差數(shù)列，{yn}為等比數(shù)列D．a(chǎn)n=xnyn,其中{xn}和{yn}都為等比數(shù)列 ==1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列. (Ⅱ)解法:Tn=a1+2a4+3a7+…+na3a-2=a+2aq3+3aq6+…+naq3(n-2), 即Tn=a+2(-)a+3(-)2a+…+n(-)n-1a. ① ①(-)3a得:-Tn=-a+2(-)2a+3(-)3a+…+n(-)na ② ①-②有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+…(-)n-1a-n(-)na =-n(-

22、)na=a-(+n)(-)na.所以Tn=(-)na. 3.如圖，△OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設(shè)P1為線段BC的中點(diǎn)，P2為線段CO的中點(diǎn)，P3為線段OP1的中點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn)，令Pn的坐標(biāo)為（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2. (Ⅰ)求a1,a2,a3及an;(Ⅱ)證明yn+4=1-,n∈N*,(Ⅲ)若記bn=y4n+4-y4n,n∈N*,證明{bn}是等比數(shù)列. [考場(chǎng)錯(cuò)解]（1）∵y1=y2=y4=1,y3=,y5=,可求得a1=a2=a3=2,由此類推可求得an=2 (Ⅱ)將yn+yn+1+

23、yn+2=2同除以2，得yn+4=∴yn+4=1-. (Ⅲ)bn+1=y4n+8-y4n+4=-(y4n+4-y4n)=- bn.∴=-.故{bn}是等比數(shù)列. [專家把脈]第(Ⅰ)問(wèn)題運(yùn)用不完全歸納法求出an的通項(xiàng).理由不充分,第(Ⅲ)問(wèn)中=-.要考慮b1是否為0.即有意義才更完整. [對(duì)癥下藥] (Ⅰ)因?yàn)閥1=y2=y4=1,y3=,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由題意可知yn+3=.∴an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,∴{an}為常數(shù)列.∴an=a1=2,n∈N*. (Ⅱ)將等式y(tǒng)n+yn+1+yn+2=2兩邊除

24、以2,得yn+=1,又∵yn+4=,∴yn+4=1-. (Ⅲ)∵bn+1=y4n+8-y4n+4=-=-(y4n+4-y4n)=- bn,又∵b1=y8-y4=-≠0,∴{bn}是公比為-的等比數(shù)列. 4.在等差數(shù)列{an}中,公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項(xiàng).已知數(shù)列a1,a3,,…,akn,…成等比數(shù)列,求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)kn. [考場(chǎng)錯(cuò)解]∵an=a1+(n-1)d,=a1a4 ∴(a1+d)2=a1(a1+3d).∴d=a1,∴an=nd.a1=d.a3=3d.∴=3=q.∴. ∴=q=3.∴{kn}是公比為3的等比數(shù)列.∴kn=13n-1=3n-1. [專家把脈

25、]錯(cuò)因在把k1當(dāng)作數(shù)列{an}的首項(xiàng).k1=1.而實(shí)際上k1=9. [對(duì)癥下藥]依題設(shè)得an=a1+(n-1)d,=a1a4,∴(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d, ∵d≠0,∴d=a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,…kndn…是等比數(shù)列.由d≠0,所以數(shù)列1,3, k1,k2,…kn,… 也是等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為q==3,由此得k1=9.等比數(shù)列{kn}的首項(xiàng)k1=9,公比q=3,所以kn=9qn-1=3n+1(n=1,2,3,…),即得到數(shù)列{kn}的通項(xiàng)kn=3n+1. 專家會(huì)診1.賦值法在解等差、等比數(shù)列問(wèn)題中是常用方法.從而求

26、出系數(shù)的值及從中找出規(guī)律.2.等比數(shù)列中應(yīng)注意考慮公比等于1的特殊情況,等比數(shù)列中的公差為0的特殊情況在解題時(shí)往往被忽視.3在等差數(shù)列與等比數(shù)列中,經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解.要注意常兩種情形的不同之處. 命題角度5 數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合 1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列{an}滿足下列條件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,…),a2≠a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,…),其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).(Ⅰ)令bn=aa+1-an(n∈N*),證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅲ)當(dāng)

27、|k|＜1時(shí)，求 [考場(chǎng)錯(cuò)解](Ⅰ)證明:由b1=a2-a1≠0,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.由數(shù)學(xué)歸納法可證bn=an+1-an≠0(n∈N*).由題設(shè)條件，當(dāng)n≥2時(shí)=k 故數(shù)列{bn}是公比為k的等比數(shù)列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=kn-1(a2-a1)(n∈N*)b1+b2+…+bn-1=(a2-a1). (n≥2) 而b1+b2+…+bn-1=a2-a1+a3-a2+…+an-an-1=an-a1(n≥2)∴an-a1=(a2-a1)(n≥2) [考場(chǎng)錯(cuò)解]證明：設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是（xn,yn）,由已知條件得點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)

28、分別是： .由Pn+1在直線l1上，得=kxn+1+1-k.所以（xn-1）=k(xn+1-1). 即xn+1-1=（xn-1）,n∈N*. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，故{xn-1}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)x1-1=-，公比為.從而求得xn=1-2()n,n∈N*. [專家把脈] （Ⅱ）問(wèn)中對(duì)于xn+1-1=(xn-1)先應(yīng)考慮xn-1能否為0，繼而可求. [對(duì)癥下藥]（Ⅰ）同錯(cuò)解中（Ⅰ）. （Ⅱ）解法：由題設(shè)知x1=1-,x1-1=-≠0,又由（Ⅰ）知xn+1-1=(xn-1),所以數(shù)列{xn-1}是首項(xiàng)為x1-1,公比為的等比數(shù)列.從而xn-1=-()n-1,即xn=1-2()n,n∈N*.

29、 （Ⅲ）解法：由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）.所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8()2n+2(2)2n-2,4k2|PP1|2＋5＝4k2[(1--1)2(0-1)2]+5=4k2+9. [考場(chǎng)錯(cuò)解](Ⅰ)bn=|an-|,又∵an=1+，an+1=(n≥2),∴a2=2,a3=,a4=2.…∴an≥1.bn==…由疊代法.bn≤. （Ⅱ）Sn=b1+b2+…+bn＜(-1)+＜. [專家把脈]運(yùn)用疊代法時(shí)并不能化簡(jiǎn)成. [專家會(huì)診]函數(shù)、數(shù)列、解析幾何三者的綜合，展示了知識(shí)的交匯性，方法的靈活性.因此解此類題目應(yīng)充分運(yùn)用函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，即數(shù)列是一

30、種特殊函數(shù)，以及解析幾何中方程與函數(shù)、數(shù)列的關(guān)系來(lái)解題.而數(shù)列與不等式的綜合更顯出問(wèn)題的綜合性. 命題角度6 數(shù)列的應(yīng)用 1.某企業(yè)20典型例題)若an=n2+An,且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________. [考場(chǎng)錯(cuò)解] ∵（n,an）(nN+)是函數(shù)f(x)=x2+λx圖象上的點(diǎn)，且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列， 只需-≤1，即λ≥-2，∴λ的取值范圍是[-2，+∞]． [專家把脈] 忽視了數(shù)列的離散型特征．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列，只要求滿足a1

31、軸x=-既可以不超過(guò)直線x=1，也可以在 1-3． ∴λ的取值范圍是(-3，+∞)．(答案不唯一，λ>-3的所有實(shí)數(shù)均可)． 4．(典型例題)自然狀態(tài)下的魚(yú)類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響．用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N+,且x1>0．不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與x2n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，C，(Ⅰ)求xn+1與xn的關(guān)系式；(Ⅱ)猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1,a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變?(不要求證明) (Ⅲ)設(shè)a=2

32、，c=1，為保證對(duì)任意x1∈(0，2)，都有xn>0，n∈N+，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論． [考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分別為繁殖量、捕撈量，死亡量) (Ⅱ)xn=x1(n∈N+)．由(Ⅰ)式得xn(a-b-cxn)=0． ∴x1= (Ⅲ)∵x1 ∈(0，2)．a(chǎn)=2．c=1．∴0<2-b<2 0

33、長(zhǎng)8％．另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米．那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2004年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)平方米?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％? [考場(chǎng)錯(cuò)解] (1){an}是等差數(shù)列 an是中低價(jià)房面積．a(chǎn)1=250，d=50．∴Sn=25n2+225n由25n2+ 225n ≥4750即n≥10． (2)設(shè)幾年后新建住房面積S為：400(1+8％)n． 85％<25n2+225n． [專家把脈] (2)問(wèn)中應(yīng)是第幾年的中低價(jià)房的面積而不是累計(jì)面積． [對(duì)癥下藥

34、] (1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中a1=250，d=50，則Sn= 250n+50=25n2+225n， 令25n2+225n≥4750，即n2+9n-190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10．到 底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米．設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知 {bn}是等比數(shù)列，其中b1=400，q=1．08，則bn=400(1．08)n-10．85．由題意可知an>0．85bn，有250+ (n-1)50>400(1．08)n-10．85．由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6．到2009年底，當(dāng)年

35、建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％． 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1、各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和。 ,,.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在數(shù)列中,對(duì)任意的正整數(shù), 都成立，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和試比較與的大小. 6、已知數(shù)列滿足：且（）（Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：（）。 7、已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.①求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；②解不等式. 8、數(shù)列{}的前n項(xiàng)和記為，點(diǎn)在曲線上（）. （Ⅰ）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的值. 9、在等差數(shù)列{an}中，滿足3a5＝

36、5a8，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．（Ⅰ）若a1＞0，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，求n的值；（Ⅱ）若a1＝－46，記bn＝，求bn的最小值． 10、數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，，點(diǎn)（Sn，）在直線上，n∈N*．（Ⅰ）若數(shù)列是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值；（Ⅱ）設(shè)，在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（Ⅲ）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列中，所有滿足的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的“積異號(hào)數(shù)”，令（），在（2）的條件下，求數(shù)列的“積異號(hào)數(shù)” 11、定義數(shù)列： ，且對(duì)任意正整數(shù)，有. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（Ⅱ）問(wèn)是否存在正整數(shù)，使得？若存在，則求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，則加以證明. 12、在數(shù)列中，已知，

37、，且 （Ⅰ）記,求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）對(duì), 是否總使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 13、設(shè)數(shù)列滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，． 16、已知數(shù)列、滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求證：；（Ⅲ）求證：對(duì)任意的都有成立． 17、在數(shù)列中，已知， （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若（為非零常數(shù)），問(wèn)是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意都有？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 18、數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且對(duì)任意正整數(shù),點(diǎn)在直線上. (Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，則說(shuō)明理由. （Ⅲ）已知數(shù)列，，，求證：. 19、已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于，總有成等差數(shù)列.