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1、2019年編人教版高中數(shù)學
23離散型隨機變量的均值與方差
2.3.1離散型隨機變量的期望
課前預習學案
一、預習目標
1.了解離散型隨機變量的期望定義,會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望.
2.理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”,熟記若ξ~Β(n,p),則Eξ=np”.能熟練地應用它們求相應的離散型隨機變量的期望
二、預習內(nèi)容
1.數(shù)學期望: 一般地,若離散型隨機變量ξ的概率分布為
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
則稱 _________________ 為ξ的數(shù)學期望,簡稱_______________.
2.
2、 數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù),它反映了____________
3. 平均數(shù)、均值:一般地,在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中,令…,則有…,,所以ξ的數(shù)學期望又稱為____________
4. 期望的一個性質(zhì):若(a、b是常數(shù)),ξ是隨機變量,則η也是隨機變量,它們的分布列為
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
____________
5.若ξ~Β(n,p),則Eξ=____________
課內(nèi)探究學案
學習目標:
1了解離散型隨機變量的期望的意義,會根據(jù)離散型隨機變量的分
3、布列求出期望.
⒉理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”,以及“若ξ~Β(n,p),則Eξ=np”.能熟練地應用它們求相應的離散型隨機變量的期望
學習重點:離散型隨機變量的期望的概念
學習難點:根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望
學習過程:
一、復習引入:
1.隨機變量:如果隨機試驗的結(jié)果_________________,那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用_________________等表示
2. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值,可以_________________,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量
3.連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值,可以___
4、_____________,這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量
4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是________________;但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按________________,而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果________________
若是隨機變量,是常數(shù),則也是隨機變量 并且不改變其屬性(離散型、連續(xù)型)
5. 分布列:設(shè)離散型隨機變量ξ可能取得值為x1,x2,…,x3,…,
ξ取每一個值xi(i=1,2,…)的概率為,則稱表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
為隨機變
5、量ξ的概率分布,簡稱ξ的分布列
6. 分布列的兩個性質(zhì): ⑴_______________; ⑵________________.
7.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是
________________,(k=0,1,2,…,n,).
于是得到隨機變量ξ的概率分布如下:
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
稱這樣的隨機變量ξ服從________________
6、,記作ξ~B(n,p),其中n,p為參數(shù),并記
合作探究一:期望定義
某商場要將單價分別為18,24,36的3種糖果按3:2:1的比例混合銷售,,如何對混合糖果定價才合理?
1上述問題如何解決?為什么
2如果混合糖果中每顆糖果的質(zhì)量都相等,你能解釋權(quán)數(shù)的實際含義嗎?
二.概念形成
一般地,若離散型隨機變量的概率分布為
…
…
…
…
則稱____________為的數(shù)學期望或均值,數(shù)學期望又簡稱為____________
合作探究二:你能用文字語言描述期望公式嗎?
E=++…++…
即:___
7、_____________________
即學即練: 練習1:離散型隨機變量的概率分布
1
100
P
0.01
0.99
求的期望。
練習2:隨機拋擲一個骰子,求所得骰子的點數(shù)的期望。
練習3.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分,已知他命中的概率為0.7,求他罰球一次得分的期望
合作探究三:若(a、b是常數(shù)),ξ是隨機變量,則η也是隨機變量,你能求出 ____________嗎?
即學即練:1、隨機變量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)則Eξ= ____________ (2
8、)若η=2ξ+1,則Eη=____________
熟記若ξ~Β(n,p),則Eξ=np
例1 一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成,每個選擇題有4個選項,其中有且僅有一個選項是正確答案,每題選擇正確答案得5分,不作出選擇或選錯不得分,滿分100分 學生甲選對任一題的概率為0.9,學生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個,求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望
解析:甲乙兩生答對的題目數(shù)這個隨機變量是20次實驗中“答對”這個事件發(fā)生的次數(shù)k,服從二項分布。
解:
點評:分數(shù)與答對個數(shù)之間呈一次函數(shù)關(guān)系,故應用到“E(aξ+b)=aEξ+b”,這個
9、公式。
思考:學生甲在這次測試中的成績一定會是90分嗎?他的均值為90分的含義是什么?
即學即練:在數(shù)字傳輸通道中,發(fā)生一個錯誤的概率是0.2(p),當然,每次傳輸試驗獨立。
令 X 為在每10位傳輸中(n)發(fā)生錯誤的位數(shù),求 X的數(shù)學期望。
例2見課本例三
即學即練:統(tǒng)計資料表明,每年端午節(jié)商場內(nèi)促銷活動可獲利2萬元;商場外促銷活動如不遇下雨可獲利10萬元;如遇下雨可則損失4萬元。6月19日氣象預報端午節(jié)下雨的概率為40%,商場應選擇哪種促銷方式?
四、課堂練習:
1. 口袋中有5只球,編號為1,2,3,4,5,從中任取3球,以表示取出球的最大號碼,則( )
10、 A.4; B.5; C.4.5; D.4.75
2. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中的1分,罰不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,求⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學期望;⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學期望;
⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學期望.
歸納總結(jié) :⑴求離散型隨機變量ξ的方差、標準差的步驟:①理解ξ的意義,寫出ξ可能取的全部值;②求ξ取各個值的概率,寫出分布列;③根據(jù)分布列,由期望的定義求出Eξ;若ξ~B(n,p),則不必寫出分布列,直接用公式計算即可.
課后練習與提高
1.若隨機變量X的分布列如下表,則EX等于:( )
X
0
1
2
3
4
5
11、
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A.1/18 B.1/9 C.20/9 D.9/20
2.隨機變量X的分布列為
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
3.兩封信隨機投入A、B、C三個空郵箱,則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學期望EX=_________.
4.在一次語文測試中,有道把我國四大文學名著《水滸傳》、《三國演義》、《西游記》、《紅樓夢》與它們的作者連線的題目,每連對一個得3分,連錯不得分,一位同學該題的X分。(1)求該同學得分不少于6分的概率;(2)求X的分布列及數(shù)學期望。
2.3.2離散型隨機變量
12、的方差
課前預習學案
一、預習目標
了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義,會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差.
2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”,以及“若ξ~Β(n,p),則Dξ=np(1—p)”,并會應用上述公式計算有關(guān)隨機變量的方差
二、預習內(nèi)容
1、 對于離散型隨機變量ξ,如果它所有可能取的值,是,,…,,…,且取這些值的概率分別是,,…,,…,那么, _________________
稱為隨機變量ξ的均方差,簡稱為方差,式中的是隨機變量ξ的期望.
2、標準差: _________________叫做隨機變量ξ的標準差,記作__________
13、_______.
注:方差與標準差都是反映_________________它們的值越小,則_________________小,即越集中于均值。
課內(nèi)探究學案
一、學習目標
1了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義,會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差.
2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”,以及“若ξ~Β(n,p),則Dξ=np(1—p)”,并會應用上述公式計算有關(guān)隨機變量的方差
學習重難點:離散型隨機變量的方差、標準差;比較兩個隨機變量的期望與方差的大小,從而解決實際問題
二、學習過程
問題探究: 已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊,所得環(huán)數(shù)x1、x
14、2的分布列如下
x1
8
9
10
P
0.2
0.6
0.2
x2
8
9
10
P
0.4
0.2
0.4
試比較兩名射手的射擊水平. .
合作探究一:方差的概念
顯然兩名選手的水平是不同的,這里要進一步去分析他們的成績的穩(wěn)定性.樣本方差的公式及作用是什么,你能類比這個概念得出隨機變量的方差嗎?
對于離散型隨機變量ξ,如果它所有可能取的值,是,,…,,…,且取這些值的概率分別是,,…,,…,那么, _________________稱為隨機變量ξ的均方差,簡稱為方差,式中的是隨機變量ξ的期望.
標準差: ______
15、___________做隨機變量ξ的標準差,記作_________________
注:方差與標準差都是反映_________________它們的值越小,則_________________小。
即學即練:
1.隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點數(shù)X的均值,方差和標準差。
2.若隨機變量x滿足P(x=c)=1,其中c為常數(shù),求Ex和Dx.
3.剛才問題再思考:其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右,應派哪一名選手參賽?,如果其他對手的射擊成績都在9
16、環(huán)左右,應派哪一名選手參賽?
熟記結(jié)論:.方差的性質(zhì)
(1);(2);
(3)若ξ~B(n,p),則np(1-p) (4)若ξ服從兩點分布,則p(1-p) (
即學即練:已知x~B(100,0.5),則Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____
例2:有甲乙兩個單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息:
乙單位不同職位月工資X2/元
1000
1400
1800
2200
獲得相應職位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
甲單位不同職位月工資
17、X1/元
1200
1400
1600
1800
獲得相應職位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
根據(jù)工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位?
解析;先求期望,看期望是否相等,在兩個單位工資的數(shù)學期望相等的情況下,再算方差,,如果認為自己能力很強,應選擇工資方差大的單位,;如果認為自己能力不強,就應選擇工資方差小的單位.
歸納總結(jié):⑴隨機變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的;
⑵隨機變量ξ的方差、標準差也是隨機變量ξ的特征數(shù),它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度;
⑶標準差與隨機變量本身有相
18、同的單位,所以在實際問題中應用更廣泛
(4)求離散型隨機變量ξ的方差、標準差的步驟:①理解ξ的意義,寫出ξ可能取的全部值;②求ξ取各個值的概率,寫出分布列;③根據(jù)分布列,由期望的定義求出Eξ;④根據(jù)方差、標準差的定義求出、.若ξ~B(n,p),則不必寫出分布列,直接用公式計算即可.
(5)對于兩個隨機變量和,在和相等或很接近時,比較和
,可以確定哪個隨機變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際,適合人們的需要
四.課堂練習
1.已知,則的值分別是( )
A.; B.; C.; D.
2. 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%,從中任意地連續(xù)取出200件商品,設(shè)其中次品數(shù)為ξ
19、,求Eξ,Dξ
3. 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p,證明事件A在一次試驗中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4
4.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量和,已知和 的分布列如下:(注得分越大,水平越高)
1
2
3
p
a
0.1
0.6
1
2
3
p
0.3
b
0.3
試分析甲、乙技術(shù)狀況。
課后練習與提高
1.甲、乙兩個運動員射擊命中環(huán)數(shù)X、Y的分布
20、列如下:
環(huán)數(shù)k
8
9
10
P(X=k)
0.3
0.2
0.5
P(Y=k)
0.2
0.4
0.4
其中射擊比較穩(wěn)定的運動員是( )
A.甲 B.乙 C.一樣 D.無法比較
2.設(shè)隨機變量X~B(n,p),且EX=1.6,DX=1.28,則( )
A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4
C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45
3.(2008 高考寧夏、海南卷)AB兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2。根據(jù)市場分析,X1和X2的分布列分別為
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元,Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤,求方差DY1和DY2;
(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項目,100-x萬元投資B項目,f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和。求f(x)的最小值,并指出x為何值時,f(x)取到最小值。(注:D(aX+b)=a2DX)