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1、【備戰(zhàn)2016】（湖北版）高考數(shù)學分項匯編 專題12 概率與統(tǒng)計（含解析）理 一．選擇題 1. 【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷12】以平行六面體ABCD—A′B′C′D′的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率p為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2.【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷9】連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3.【2007年普通高等

2、學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷文7】將5本不同的書全發(fā)給4名同學，每名同學至少有一本書的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：將5本不同的書全發(fā)給4名同學共有45種發(fā)法，其中每名同學至少有一本書的發(fā)法有， 故每名同學至少有一本書的概率是P=，選A. 4.【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷3】投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分別為m和n,則復數(shù)（m+ni）(n-mi)為實數(shù)的概率為（ ） A、 B、 C、 D、

3、5.【2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是（ ） A B C D 【答案】C 6.【2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷6】將參加夏令營的600名學生編號為：001，002，……600，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003．這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495住在第Ⅱ營區(qū)，從496到60

4、0在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為 A．26, 16, 8, B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9 【答案】B 【解析】 試題分析：依題意可知，在隨機抽樣中，首次抽到003號，以后每隔12個號抽到一個人，則分別是003、 015、027、039構(gòu)成以3為首項，12為公差的等差數(shù)列，故可分別求出在001到300中有25人， 在301至495號中共有17人，則496到600中有8人， 所以B正確。 7.【2011年普通高等學校招

5、生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 8.【2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】如圖，用K、三類不同的原件連接成一個系統(tǒng)，當K正常工作且至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K、正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為（ ） A.0.960 B. 0.864 C. 0.720 D.0.576 【答案】B

6、【解析】 試題分析：分兩種情況：①K正常且中一個正常，②全部正常。 故. 9.【2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷8】如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 10.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷9】如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割成125個同樣大小的小正方體。經(jīng)過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為，則的均值為（

7、 ） A. B. C. D. 第9題圖 【答案】B 【解析】 試題分析：三面涂有油漆的有8塊，兩面涂有油漆的有36塊，一面涂有油漆的有54塊，沒有涂有油漆的有27塊，所以.故選B. 11.2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) 3 4 5 6 7 8 4.0 2.5 0.5 得到的回歸方程為，則（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】B 【

8、解析】 試題分析：依題意，畫散點圖知，兩個變量負相關(guān)，所以，.選B. 考點：已知樣本數(shù)判斷線性回歸方程中的與的符號，容易題. 12. 【2015高考湖北，理2】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【答案】B 【解析】依題意，這批米內(nèi)夾谷約為石，選B. 【考點定位】用樣本估計總體. 13. 【2015高考湖北，理4】設(shè)，，這兩

9、個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（ ） A． B． C．對任意正數(shù)， D．對任意正數(shù)， 【答案】C 【解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，、的密度曲線分別關(guān)于、對稱，因此結(jié)合所給圖象可得且的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，所以對任意正數(shù)，. 【考點定位】正態(tài)分布密度曲線. 14. 【2015高考湖北，理7】在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則 （ ） A． B． C． D． 二．填空題 1.【20

10、06年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷12】接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0．80，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 精確到0．01） 【答案】0.94 【解析】 試題分析：P＝＝0.94. 2.【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】某籃運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率 ．（用數(shù)值作答） 3.【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷文12】甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達標的概率分別是0.8、0.6、0.5，則三人都達標的概率是 ，三人中至少有一人達標的

11、概率是 。 【答案】0.24 0.76 【解析】 試題分析：三人均達標為0.80.60.5=0.24,三人中至少有一人達標為1-0.24=0.76. 4.【2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷文13】一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9.則服用這咱新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為_______（用數(shù)字作答）. 5.【2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷文13】在30瓶飲料中，有3瓶已過了保持期．從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為 ．（結(jié)果用最簡分數(shù)表示） 【答案】 【解析】

12、 試題分析：. 考點：考查獨立事件的概率，屬于簡單題. 6.【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷12】樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計,樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻數(shù)為 ，數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為 . 7.【2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知的期望E=8.9，則y的值為 . 【答案】0.4 【解析】 試題分析：由表格可知：， 聯(lián)合解得. 8.【2013年普通

13、高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷11】從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖所示。 （I）直方圖中的值為 ； （II）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為 。 【答案】0.0044 70 【解析】 試題分析：， . 三．解答題 1.【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷文21】某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為

14、2年以上的概率為p2.從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換. （Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率； （Ⅱ）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率； （Ⅲ）當p1=0.8，p2=0.3時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）. 【解析】（I）在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為需要更換2只燈泡的概率為 （II）對該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為（1-p1）2；在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為

15、p1(1-p2)，故所求的概率為 （III）至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況，換5只的概率為p5（其中p為（II）中所求，下同）換4只的概率為（1-p），故至少換4只燈泡的概率為 2.【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機 會，一旦某次考試通過，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。 如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求 在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概 率.

16、 ∴李明實際參加考試次數(shù)ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 ∴ξ的期望Eξ=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544. 李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976. 3.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】在某校舉行的數(shù)學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名。 （Ⅰ）、試問此次參賽學生總數(shù)約為多少人？ （Ⅱ）、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設(shè)獎的分數(shù)線約為

17、多少分？ 可共查閱的（部分）標準正態(tài)分布表 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 0.8925 0.9099 0.9251

18、 0.9738 0.9793 0.9838 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 4.【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】在生產(chǎn)過程

19、中，測得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有100個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表： （Ⅰ）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系中畫出頻率分布直方圖； （Ⅱ）估計纖度落在中的概率及纖度小于1.40的概率是多少； （Ⅲ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間的中點值是1.32）作為代表. 據(jù)此，估計纖度的期望. 分 組 頻 數(shù) 4 25 30 29 10 2 合 計 100 【解析】（Ⅰ） （Ⅱ）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為． （Ⅲ）總體數(shù)據(jù)的期望約

20、為 ． 5.【2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷17】袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.ξ表示所取球的標號. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差； （Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,試求a,b的值. 【解析】（Ⅰ）的分布列為： 0 1 2 3 4 P ∴ （Ⅱ）由，得a22.75＝11，即又所以 當a=2時，由1＝21.5+b,得b=-2; 當a=-2時，由1＝-21.5+b，得b=4. ∴或即為所求. 6.【2009年普通高等學校招生全國

21、統(tǒng)一考試湖北卷16】一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)2，3，4，5；另一個盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)3，4，5，6?，F(xiàn)從一個盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望。 【解析】依題意，可分別取、6、11取，則有 的分布列為 5 6 7 8 9 10 11 . 7.【2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對工期的影響如下表： 歷年氣象資料表明，

22、該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9. 求： （Ⅰ）工期延誤天數(shù)的均值與方差； （Ⅱ）在降水量X至少是的條件下，工期延誤不超過6天的概率. 降水量X 工期延誤天數(shù) 0 2 6 10 【解析】（Ⅰ）由已知條件和概率的加法公式有： ， . . 所以的分布列為： 0 2 6 10 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，；

23、 . 故工期延誤天數(shù)的均值為3，方差為. （Ⅱ）由概率的加法公式， 又. 由條件概率，得. 故在降水量X至少是mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 8.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機變量。記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為。 （I）求的值；（參考數(shù)據(jù)：若，有，，。） （II）某客運公司用、兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，、兩種車輛的載客量分別為36人和6

24、0人，從甲地去乙地的運營成本分別為1600元/輛和2400元/輛。公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求型車不多于型車7輛。若每天要以不小于的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的運營成本最小，那么應(yīng)配備型車、型車各多少輛？ 【解析】（I） （II）設(shè)配備型車輛，型車輛，運營成本為元，由已知條件得 ，而 作出可行域，得到最優(yōu)解。 所以配備型車5輛，型車12輛可使運營成本最小。 9.【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單

25、位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立. （I）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率； （Ⅱ）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系: 年入流量 發(fā)電量最多可運行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？ 【解析】 當

26、時，一臺發(fā)電機運行，此時， 因此， 當時，兩臺發(fā)電機運行，此時， 因此.由此得的分布列如下： 4200 10000 0.2 0.8 所以. ③安裝3臺發(fā)電機. 依題意，當時，一臺發(fā)電機運行，此時， 因此； 當時，兩臺發(fā)電機運行，此時， 此時， 當時，三臺發(fā)電機運行，此時， 因此， 由此得的分布列如下： 34 9200 15000 0.2 0.8 0.1 所以. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺. 考點：二項分布，隨機變量的均值. 10. 【2015高考湖北，理20】某廠用鮮牛

27、奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品．生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1200元．要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個隨機變量． （Ⅰ）求的分布列和均值； （Ⅱ） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率．

28、 【答案】（Ⅰ）的分布列為： 8160 10200 10800 0.3 0.5 0.2 ；（Ⅱ）0.973. 【解析】（Ⅰ）設(shè)每天兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為，相應(yīng)的獲利為， 則有 （1） 第20題解答圖1 第20題解答圖2 第20題解答圖3 目標函數(shù)為 ． 最大獲利． 故最大獲利的分布列為 8160 10200 10800 0.3 0.5 0.2 因此， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過10000元的概率， 由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為 【考點定位】線性規(guī)劃的實際運用，隨機變量的獨立性，分布列與均值，二項分布.