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1、
一、題之源:課本基礎(chǔ)知識
1.絕對值三角不等式
定理1:如果a,b是實數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時,等號成立.
定理2:如果a,b,c是實數(shù),那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時,等號成立.
2.絕對值不等式的解法
(1)含絕對值的不等式|x|a的解集:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|a
{x|x>a或x<-a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|(zhì)
2、ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.
3.基本不等式
定理1:設(shè)a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.
定理2:如果a、b為正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.
定理3:如果a、b、c為正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.
定理4:(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)如果a1,a2,…,an為n個正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時,等號成立.
4.柯西不等式
(1)設(shè)a,b,c,d均為實數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時等號成立.
(2)若ai
3、,bi(i=1,2,…,n)為實數(shù),則(a)(b)≥(aibi)2,當(dāng)且僅當(dāng)==…=(當(dāng)ai=0時,約定bi=0,i=1,2,…,n)時等號成立.
(3)柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β為平面上的兩個向量,則|α||β|≥|αβ|,當(dāng)且僅當(dāng)α,β共線時等號成立.
5.不等式的證明方法
證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.
二、題之本:思想方法技巧
1.解絕對值不等式要掌握去絕對值符號的方法,必要時運用分類討論的思想,有時也可利用絕對值的幾何意義解題.去掉絕對值符號的方法主要有:公式法、分段討論法、平方法、幾何法等.這幾種方法應(yīng)用時各有側(cè)重,在解只含有一個
4、絕對值的不等式時,用公式法較為簡便;但是若不等式含有多個絕對值時,則應(yīng)采用分段討論法;應(yīng)用平方法時,要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運用.因此,在去絕對值符號時,用何種方法須視具體情況而定.
2.在對不等式證明題進(jìn)行分析,尋找解(證)題的途徑時,要提倡綜合法和分析法同時使用,如同打山洞一樣,由兩頭向中間掘進(jìn),這樣可以縮短條件與結(jié)論的距離,是數(shù)學(xué)解題分析中最有效的方法之一.
3.作差比較法一般適用于式子為多項式、對數(shù)式、三角式結(jié)構(gòu);作商比較法一般適用于式子為乘積、冪結(jié)構(gòu).
4.運用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a”可解決恒成立問題中的參數(shù)范圍問題
5、.
5.用放縮法證不等式,將所證不等式中的某些項的質(zhì)適當(dāng)放大或縮小(主要方法是拆分、配湊、增減項等),可使有關(guān)項之間的不等關(guān)系更加明晰,更加強化,且有利于式子的代數(shù)變形、化簡,從而達(dá)到證明的目的.這種方法靈活性較大,技巧性較強.
6.注意下面幾個絕對值的函數(shù)最值的求法:
,。
三、題之變:課本典例改編
1. 原題(選修4-5第十頁習(xí)題1.1第十一題)改編1 已知.求的最小值.
【解析】由于,當(dāng)=時有最小值.
改編2 已知求的最小值.
【解析】故ax=by=cz時,有最小值.
改編3 已知,求的最大值.
【解析】由于,當(dāng)a=b=c時有最大值3.
2.原題(選
6、修4-5第十頁習(xí)題1.1第十五題)改編 已知若H=max{,,},求H的最小值.
【解析】H>0,H>0.H>0,.
3.原題(選修4-5第十六頁例3)改編1 不等式的解集為,則實數(shù)的取值范圍 .
改編2 已知函數(shù)(1)若不等式的解集為,求實數(shù)的值。(2)在(1)的條件下,令(?。┤舨坏仁綄σ磺袑崝?shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍。(ⅱ)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
【解析】(1)由得:,所以 ,即 .
(2)由(1)可得:,則
(?。?,則的最小值是15,故,解得,所以實數(shù)的取值范圍是.
(ⅱ)由題意得:,
,即解不等式得:,所以實數(shù)的取值范圍是.
4.原題(選修4-5第十頁習(xí)題1.1第十一題)改編 設(shè),且, 若不等式對一切正實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍。